2023共考研数学三模拟1试卷与解答

绝密★启用前

2023年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）

（科目代码：304）

（模拟试卷1）

考生注意事项

1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。

2.答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。

3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。

4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。

2023年全国硕士研究生入学统一考试

数学三（模拟1）

考生注意:本试卷共二十三题，满分150分，考试时间为3小时.

下列命题中不亚建的是().

(A)若/(X)在X=Xo处左、右导数均存在但不相等，则/(X)在X=Xo连续

(B)若lim/(〃)=A,lim/'(x)=0,贝!jlim/(x)=A

n->ocx-»+8x->+oo

(C)若lim/(x),limg(x)均不存在，则limf(x)g(x)不存在

Xf沏X—>JV0x—

(D)lim［/(x)+g(x)］不存在，但limg(x)存在,则limf(x)不存在

X—>XQX—>jr0A—>XQ

⑵设f(x),g(x)在区间［0,2］上二阶可导，且/(0)=g(0)=0,/(2)=g(2)=1,且f"(x)>0,

1*22

g"(x)<0,记S|=L/(x)dx,S2=rLg(x)dx,则().

J0J。

(A)5i<1<S2(B)52<1<Si

(C)S1<S2<1(D)1<S2<5|

⑶设f(x,y)=g(x,y)\x-y\,g(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，则g(0,0)=0是£(0,0),4(0,0)存

在的()条件。

(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)非充分且非必要

(4)设/(x,y)为连续函数，则使JJ/(x,y)d;vdy=4］必［/(x,)，)dy成立的一个充分条件是

/+./口

()

(A)f(-x,-y)=-f{x,y)(B)f(.-x,-y)=f(x,y)

(C)f(.-x,-y)=-f(x,y)且/(t,y)=f(x,y)(D)/(—x,y)=/(x,y)且/(x,—y)=/(x,y)

⑸设a,a,a是非齐次线性方程组AX=。的三个解向量，且7?(A)=3,a=(1,2,3,4)「，

1231

%+4=(0，1，2,3尸，。表示任意常数，则线性方程组AX=。的通解X=()。

(A)(l,2,3,4)r+C(l,l,l,l)r(B)(l,2,3,4y+C(0,l,2,3尸

(C)(l,2,3,4/+C(2,3,4,5((D)(1,2,3,4)、C(3,4,5,6/

(1-11、

⑹设4,8为3阶非0矩阵，满足45=0,其中5=2a\-ala，则

a-aor-1

(A)a=—1时，必有7?(A)—1(B)aw-1时，必有H(4)=2

(C)a=2时，必有R(A)=1(D)a=2时，必有R(4)=2

(7)设随机变量X服从标准正态N(0,l),且y=x2,则乂与丫()

(A)相互独立且相关(B)相互独立且不相关

(C)不独立且相关(D)不独立且不相关

(8)设％,乂2，,X,是X〜P”)(Poisson分布)的简单随机样本,X与片分别是样本X1,,X〃的样本

均值与样本方差，方差O(X)与E(S2)分别是().

A,A

(A)4、2(B)、4(C)nA.2(D)A.

nn

二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指点位置上.

|^vcosr4-sinr+x-l=0

(9)设)=,(%)由/_'e11-du,确定，则曲线y=在r=0处法线方程为

(10)微分方程y，—6y'+9y=2e3v满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的特解为

r-1.

(11)I-----------------------dx=

2a—1户f—2x

(12)设级数(X-D"在X=O处条件收敛，则级数(%-ir的收敛区间是.

nn

Zl=ln=}

23OO

11OO

(1\-1

(13)已知A=A是A的伴随矩阵，则=

0

I。

001J

fAe-(2x+y),x>0,y>0%

(14)设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为/Q,y)=47，则方差

[0,其他

0(XY)=.

三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本小题满分10分)已知函数仪X)是以T(T>0)为周期的连续函数，且仪0)=1,

求/'(T)的值.

（16）（本小题满分10分）设z=z。,y）是由方程%2+尸-z=奴％+y+z）所确定的函数，其中。具有二

阶导数，且0'/1.⑴求dz；（2）记〃（x,y）=1（dz—gz],求

-y弟母徐

（17）（本小题满分10分）证明：x>0,时也侬入+x）>3工一3X2。

2

（18）体小题满分10分）计算二重积分n（x+y）2dxdy,其中D是由不等式/2y和/+产44

确定的区域。

（19）（本小题满分10分）求/U）=xarctanx-In2+x2的麦克劳林级数，并求级数

8„-in2n+I-2/1-1

y（-i）':的和.

沙”n（2n-l）2n+l

（20）（本小题满分11分）⑴设a

。不能同时由a,a,a我

I2123

Ax=5有解，有解时求出其全部解.

（21）（本小题满分11分）设4是〃阶矩阵，A的第i行，j列元素ay=i-j

⑴求R（4）；⑵求A的特征值，特征向量，并问4能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵，若不能,

则说明理由.

（22）（本小题满分11分）设随机变量*~根0,1）,尸{丫=一1}=「{丫=1}=1,且X与丫相互独立,

2

Z=XY,求证⑴Z~M0,l）；（II）X与Z不相关也不独立.

（23）（本小题满分11分）设X,,X”为总体X的简单随机样本，总体X的密度函数为

[2e-/,x>0

/（x）=/夕%

[0,x<0

试求：⑴参数。的最大似然估计灰（H）考察炉是否为夕的无偏估计

数学三(模拟1)参考答案

f0,x<0,fl,x<0,

⑴【解】当/(尤)=<g(x)=〈，则lim/(x)g(x)=O是存在的，故【答案】C.

[l,x>0.[0,x>0.a。

⑵【解】根据定积分的几何意义及函数曲线的凹凸性可得【答案】A.

(3)【答案】C

(4)【答案】D

(5)【解】因R(A)=3,”=4,故导出组AX=0的一个基础解系只含〃—R(A)=4—3=1个解。又根

据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解，因而

2a-(a+a)=(a-a)+(a-a)=(2,3,4,5)7工0为其导出组的一个解，因它不等于0,故

1231213

(2,3,4,51为其导出组的基础解系。又显然％为其自身的一个特解，故所求通解为

a+C[2a-(a+a)]=(1,2,3,4)，+。(2,3,4,5)丁，故【答案】C.

1123

(6)【答案】C

⑺【解】由于E(XY)=E(X3)=f，Xx3(^x)dx=0；又E(X)=0,所以E(XY)=E(X)E(Y);

*-co

所以cov(x,y)=o,即不相关;

概率P{XKl,y=l}=P{XV1,X2<1}=P{X<1}=2①(1)一1,P{XK1}=①(1)

P{yVl}=P{X2«l}=2①⑴―1,4{*41,丫41}看尸{乂41}「{丫£1},*与丫不独立.【答案】D

(8)【答案】B

二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指点位置上.

一"sinf+cosf

dx---------------------

(9)【解】由题设可知f=0时，x=y=0,--=l+^cosr=J.，所以所求法线方程为y=_Lx.

dye'222

r=0

(10)【解】y=(c+cx)e",/=Q(x)e3x=,Q"(x)=2A=2=P(x),24=1=(x+x2>3'»

12in

5

(11)【解】原式=jseertanrdt=12cos2=。

i+secr0secttant04

(12)【答案】(0,2)

2320

(13)【解】网=

1101

(1、-14J

-A*A2=4(A2)-1(A*)-1=4(A-1)2-A=(44-^-'-A)(--)=-2A」

(4)|A|2

oOI6oo\

-Xn

oI4oo

OX

-22=-2oo7o

OUY

ooo0-27

(14)【解】由于X与y相互独立，A=2,且X〜E(2),y〜E(l),则方差

D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=£(X2)E(y2)-{£(Xi)E(y)}2],3

=[DX+(EX)2][DY+(EYY]-{E(X)E(y)}2=[+2+l2]-(xl)2=l一'='.

()][1

42244

三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

(15)【解】

x2xx2xx2x

f(x)=£(x-t)^(t)dt+£(t-x)*)df=e⑺dt-x£(pgdz-£dZ+£4")dt,

f\x)=J(g)(t)d/-1(p(t')d/+2xp(2x),

所以/'(T)=⑺df-J；>Q)df+2T0(2T),

fTf2T

因夕(x)是周期为T的周期函数，故有⑺口=匕0(r)df,0(27)="))：1,所以尸(T)=27.

(16)【解】(1)2xdr+2ydy-dz=。'(匕+dy+dz),dz=W+2、一甲dy

1+81+”

(2)包二工<包=马二二二，久〜”出色

dx+1dy3+\@+\dx(1+(ff)3

(17)【证明】令/(x)=ln(e2x+x)—3X+!"X2,X10,+8),则/-(0)=0,

2

2v2

、(5x-l)e+5X-3x+l...znx八

f(x)=------------------------------，设g(x)=(5x—1)e"+5JT-3x+l,贝ijg(0)=0，

e~-x+x

g'(x)=3(eZ、.一1)+10x(e2x+1),%>0时,g'(©〉0,因而x>0时，有g(x)>g(0)=0,即f\x)>0,

由此可得函数/(x)在[0,+8)上单增，因而有》>0时,/。)=111(6太+幻一3》+5_/>/(0)=0,即

2

ln(e2'+x)>3x-三%2。

2

(18)【解】原式njjM+y2)djvdy+2jjxydxdy=JJ(/+y2)drdy++y2)(kdy+0

D。。10

Mcr2T「2sin031〃329

=4[2d^-r2rdr-2[2d^^rdr=8〃-4・_・_・_=8%一_"=一兀

00oo42244

],vx

（19）【解】xarctanx=xJ后八町。Z（-l）〃产df

it=0

必包2“」纪工尤2"，|X|<1

X

n=01n+\-Q2〃-1

2

11x118㈠尸12〃

InV2+x2=2,2+—ln(l+5)=5In2+万不-------X，H<i

n2〃

合并上面两级数，，得到

y(-ir'2,.11^(-1)"-'.12〃1_n-\11____12n

f(x)=-------ln2-乙---------Xln2+乙(―1)

自n-2n+'户

J2〃-122,i〃2〃Ln=\

2/z-l

喙敛域号yu优犷，1得

17117112

Z(T)=/(l)+_ln2=-In3+In2=+In

M+1

/7=1“(2〃-1)2242423

(20)【解】⑴(a,a,a\pp)Mo12T1]

20

12312

100a-30b-\)

1.a=3力wl时，用不能由功,。2。表出

2.aw3,任意，生，咫均可由即。2,。3表出，且表示法唯一.

A^i=,解为/=-3,々=2,%3=0，即/?i=-3a+2a2

AJ=0,解为x=1+空，x=1+-2("-1),*=b-l

1

a—32Q—33Q—3

即p2=X\a\+%2电+%3。3

3.a=3力=1有无穷多解.夕|,巴均可由火。),以线性表出，且不唯一.

A4=/有解k(1-220

1i1

A立=用有解%2(1—21>,(,10

(11)1.由⑴知，当a=3力wl,4X=5无解

1+空〕

-3

ci—3

2.当aw3力任意,4X=5有唯一解，且乂=2-2(/?-1)

ci—3

0b-\

a-3

ki+1

3.a=3力,4X=3有无穷多解，且有X=-2k

2

k~

2

(21)【解】(1)由题设条件知

2n1

1

a42n2得

A=.=|.|(1，2,…，〃)=aa「，故R(A)=1,

,2

h2nnfl

2

(2)因A=(0a)(aa)aaA=|^zU,|A|=0,义=0是A特征值.

k/=1)

对应特征向量满足Aact!x,aTa=^i20

/=!

故方程组=0与是同解方程组，

只余解方程a,x=0,即满足x+2x++nx=0,

有线性无关特征向量为4=(—2,1,0：,0)，，=(—3,0,1,,0)，4=(一〃,0,,0,1)。

1***2**-n-\

由此可知4=0至少是〃—1重根，

nnn

又trA=Y'2=EL%H0.故A有一个非零特征值儿=>2*o

/=!f=li=l

当2=Za=a1a时，由(2E—A)x=(a'aE-aaT)x=0

i=l

由观察可知x=a时,(a7aE-a£”=0.故。=(1,2,・一，〃)，=&是对应2=Y'2特征向量・

A有“个线性无关特征向量，A能相似对角化.、

(-2-3-nHro

112I°

取p=(g,j,,g)」，则P4P==/。