2022-2023学年八年级数学常考点精练（苏科版）：专题26 实数、数轴与勾股定理（解析版）

专题26实数、数轴与勾股定理1．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得M点表示的数．【详解】解：AC==，则AM=，∵A点表示-1，∴M点表示的数为：，故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．2．如图，在数轴上以-1表示的点为圆心，以直角三角形的斜边为半径作出一条圆弧（虚线），该圆弧与数轴交于点A，点A所表示的数为m，则m的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求出直角三角形的斜边，从而求出点A到表示-1的点的距离，然后根据数轴上两点之间的距离公式即可求出结论．【详解】解：由数轴可知：直角三角形的两个直角边分别为1－（-1）=2和1利用勾股定理，直角三角形的斜边为即点A到表示-1的点的距离为，∵点A在表示-1的点的左侧∴m的值为故选D．【点睛】此题考查的是实数与数轴和勾股定理，掌握勾股定理和数轴上两点之间的距离公式是解题关键．3．如图，数轴上点A对应的数是1，点C对应的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出AB的长，则AD=AB，就可以求出点D表示的数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴点D表示的数是．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，用数轴表示实数，解题的关键是掌握用数轴上的点表示实数．4．如图，在数轴上点A表示的实数是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理可求出半径，根据圆的性质，即可得出点A表示的数．【详解】由勾股定理，得斜边的长为，由圆的性质，得点A表示的数为，故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜边的长是解题关键．5．如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数．【详解】∵∴∴=∵点表示的数是∴点表示的数是【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为_______【答案】-1【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得M点表示的数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=1，∴BC=1，∠ABC=90°，∴，则AM=，∵A点表示-1，∴M点表示−1，故答案为：−1．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．7．（2021秋•泗阳县期末）无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点表示的数是__．【答案】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，得到的长度，即可得到点表示的数．【详解】解：根据勾股定理得，，点表示的数为．故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．8．如图，数轴上点A所表示的数为a，求_________．【答案】##【分析】根据图形，由勾股定理求出，再结合点C表示-1来求解．【详解】解：如图，由勾股定理得。∵点C表示-1，∴点A表示的数是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数轴的意义和勾股定理，理解数轴的意义的是解答关键．9．无理数可以用数轴上的点表示．如图，数轴上点A表示的数是______．【答案】【分析】由勾股定理易知OB=，OA，OB均为弧的半径，所以OA=，即可得到A表示的数．【详解】解：如图所示：∵OB=，OA=OB∴OA=，∵点A在负半轴，∴A点表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的一一对应，及勾股定理，熟悉实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．10．如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，OB为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是______．【答案】【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：在Rt△AOB中，OB＝＝，故弧与数轴的交点P表示的数为：−．故答案为：−．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．11．数轴上点A对应的数是-1，点C对应的数是-4，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为_________【答案】或【分析】由题意作出相关的示意图，根据勾股定理求出AB的长度，即可知道点A和点D之间的距离，通过计算即可得到点D表示的数．【详解】解：根据题意，作图如下：∵∴在中,由勾股定理得：即：∵∴∴∴点D表示的数为：或故答案为：或【点睛】本题考查勾股定理、数轴上表示无理数等知识，根据题意画出相关的示意图是解题关键.12．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是________．【答案】【分析】先求出单位正方形的对角线的长，设点表示的数为，则单位正方形的对角线的长，求出即可．【详解】解：如图：由题意可知：，设点表示的数为，则：，，即：点表示的数为，故答案为．【点睛】本题考查了实数与数轴的有关问题，解题的关键是利用勾股定理求出的长．13．将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为______．【答案】3﹣2【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用数轴上点的坐标特点得出答案．【详解】解：∵等腰直角△ABC，∴AC＝BC＝3，∴AB＝，∴AD＝，∴点D对应的实数为：﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出D点位置是解题关键．14．如图，数轴上点A表示的实数是_____．【答案】﹣1．【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【详解】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．15．如图，正方形ABCD的边长为1，且DB＝DM，则数轴上的点M表示的数是______．【答案】##【分析】根据勾股定理，可得DM的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：由勾股定理，得DM=DB=，数轴上的点M表示的数是1+，故答案为【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出DM的长是解题关键．16．如图，在数轴上，过数2表示的点B作数轴的垂线，以点B为圆心1为半径画弧，交其垂线于点A，再以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为______．【答案】【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】解：，点C所表示的实数为，故答案为．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、数轴与实数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．17．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____．【答案】【分析】根据勾股定理求得正方形对角线长为，结合数轴即可求解．【详解】∵正方形ODBC中，OC=1，∴BC=OC=1，∠BCO=90°．∵在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB=．∴OA=OB=．∵点A在数轴上原点的左边，∴点A表示的数是．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，数形结合是解题的关键．18．在数轴上画出表示、的点，并标上必要的数据．【答案】见解析【分析】如图，点O所表示的数为0，点A所表示的数为2，AB⊥OA于点A，OD⊥OE于点E，且AB=OD=1，点E为数轴上原点左侧一点，且DE=2，再由勾股定理可得，，再将OB绕点O顺时针旋转落在数轴上点C处，则，即可求解．【详解】解：如图，点O所表示的数为0，点A所表示的数为2，AB⊥OA于点A，OD⊥OE于点E，且AB=OD=1，点E为数轴上原点左侧一点，且DE=2，根据题意得：OA=2在中，由勾股定理得：，将OB绕点O顺时针旋转落在数轴上点C处，∴，即点C表示的点；在中，由勾股定理得：，即点E表示的点．【点睛】本题主要考查了实数与数轴上的点的关系，勾股定理，根据勾股定理求出，是解题的关键．19．在数轴上做出表示的点．【答案】详见解析【分析】是无理数，并非可以直接用普通刻度尺量出画下来，因此，需要联想相关图形进行代换【详解】如图，在数轴上，以原点O为直角顶点，设数轴上1的点为点A，再过O点做数轴垂线，在垂线上选取一点B，使其到A点的距离为3，此时，B点到O的距离利用勾股定理求得，为，再以O点为圆心，OB为半径，画圆，交数轴正半轴的那点即为表示【点睛】本题主要考查了尺规作图，与以往不同，它需要进行适当的等量代换进行画图20．在数轴上作出表示—的点．【答案】答案见解析.【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的性质，可得答案．【详解】解：如图根据勾股定理，则有，因为，所以D点为所求．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出BA的长是解题关键，又利用了圆的性质．21．如图，点是数轴上表示实数的点．（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．（2）如图所示，点在点的右侧，所以【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．22．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．阅读理解：（1）图1中大正方形的边长为，图2中点A表示的数为；迁移应用：（2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数与2﹣的点，并比较它们的大小．【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析，．【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题；（2）①先根据图3的面积为5，可得