2023年安徽省中考数学一轮复习讲义第9讲二次函数实际应用（中）（教案）

授课主题二次函数实际应用（中）教学目标1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重难点难点：会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。教学内容二次函数二次函数实际应用二次函数应用题型有哪些？知识点1：用函数解决抛物线形问题1．在实际问题中求抛物线的解析式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为________建立直角坐标系．2．用__________求出抛物线的解析式．3．用二次函数的__________去分析、解决问题．类型：1、抛物线形状：隧道类、拱桥类2、运动轨迹抛物线形：球类、喷泉【例1】如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；（2）问此篮球能否投中？（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得，、O（0，0）、B（3，﹣1），设函数关系式为y＝ax2，代入A点坐标解得a＝﹣，∴二次函数的关系式为；（2）把x＝3代入得y＝﹣1，即C点在抛物线上，所以一定能投中；（3）由题意得y＝﹣4+3.19＝﹣0.81，将y，解得xx＝2.7（舍），4﹣2.7＝1.3，所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功．【例2】2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，解得：，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，当x＝7时，运动员到达坡顶，即﹣×72+7b+4＞3+，解得：b＞．【变式训练1】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为，抛物线的顶点坐标为，可求这条抛物线的解析式为．当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当取y＝时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为，解决了这个问题．【考点】二次函数的应用．【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6，故答案为：（12，0）；（6，8）；；；﹣2；6．【变式训练2】如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）b＝，c＝1．（2）由y＝＝，可知当x＝时，y有最大值，故大棚最高处到地面的距离为米；（3）令y＝，则有＝，解得x1＝，x2＝，又∵0≤x≤6，∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣＝（米），又大棚的长为16米，∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），故共需要88×4＝352（根）竹竿，答：共需要准备352根竹竿．知识点2：利用二次函数求最大面积1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在取得最大值，无最小值．2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值【例1】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）∵，∴NC＝2BH＝2NN，设EG＝b，则EF＝4b，∵S2＝S1，∴BE•b＝a•4b，∴BE＝4a（0＜a＜5）；（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5a+4a+4a+5a＝18a，∴BC＝＝45﹣9a，∴y＝5a（45﹣9a）＝﹣45a2+225a＝﹣45，∵﹣45＜0，∴当a＝时，y有最大值，此时最大值为m2．【例2】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若a＝30，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（200﹣2x）m，根据题意得：x（200﹣2x）＝1800，解得x1＝10，x2＝90，当x＝10时，200﹣2x＝180＞30，不符合题意舍去，当x＝90时，200﹣2x＝20，答：AD的长为20m；（2）设AD＝nm，∴S＝n（200﹣n）＝﹣（n﹣100）2+5000，当a≥100时，则n＝100时，S的最大值为5000，当0＜a＜100时，则当0＜n≤a时，S随n的增大而增大，∴当n＝a时，S的最大值为100n﹣a2，【变式训练1】如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体．【解答】解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，知这个正方体的底面边长FG＝MH＝x，则GM＝GN＝x，故MN＝GM＝2x，∵正方形纸片ABCD边长为120cm，∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，则正方体的底面边长a＝30，∴V＝a3＝＝5400（cm3）；答：这个工艺盒的体积是5400cm3；（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝x，h＝＝（60﹣x），∴S＝4ah＝4x•（60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，∵0＜x＜60，∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．【变式训练2】如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．（1）若仓库的面积为150平米，求AB．（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，解得：x1＝15，x2＝5，当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），∴AB＝15；（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，∴当x＝10时，y最大值＝200，答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．知识点3：利用二次函数求最大利润1．利用二次函数求最大利润(或收益)的步骤：(1)引入自变量；(2)用含自变量的_______分别表示销售单价或销售收入及销售量；(3)用含自变量的_______表示销售的商品的单件利润；(4)用函数及含自变量的_______分别表示销售利润即可得到函数关系式；(5)根据函数关系式求出_______及取得_______时自变量的值．2.等量关系利润=总售价总成本利润=单件利润×销售量=（售价成本）×销售量利润率=【例1】为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知：销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．请根据以上信息，解决问题：（1）当13≤x≤30时，写出y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨m元/斤，则整数m的最小值为．（直接写出结果）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得y＝500﹣10（x﹣12）＝﹣10x+620（13≤x≤30）；（2）由题意得，销售量为42+2（x﹣1）＝2x+40，当1≤x≤12时，则w＝500（2x+40）＝1000x+20000，当x＝12时，w取最大值为1000×12+20000＝32000，当13≤x≤30时，则w＝y（2x+40）＝（﹣10x+620）（2x+40）＝﹣20（x﹣21）2+33620，∵﹣20＜0，∴当x＝21时，w取最大值为33620，∵33620＞32000，∴当x＝21时，w取最大值为33620，答：当x为第21天时日销售额w最大，最大为33620元；（3）依题意w＝（y+m）⋅（2x+40）＝（﹣10x+620+m）（2x十40）＝﹣20x2+2（m+420）x+40（m+620），∵第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，∵对称轴，得m≥20，故m的最小值为20，故答案为：20．【例2】科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足函数关系y＝﹣x+80．（1）求销售利润w（元）关于x的函数表达式；当销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？（2）该科研公司不断创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，此时该产品的成本价格应低于多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得：w＝（y﹣40）x＝（﹣x+80）x＝﹣+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，∵﹣＜0，∴当x＝100时，利润最大，最大利润为2000元，∴销售利润w关于x的函数表达式w＝﹣x2+40x，当销售量为100件时，销售利润最大，最大利润是2000元；（2）设该产品成本为m元时销售量在120件以上，销售利润最大，由题意得：w＝（y﹣m）x＝（﹣x+80﹣m）x＝﹣x2+（80﹣m）x，∵﹣＜0，∴w在对称轴处取得最大值，∴对称轴直线为x＝﹣＝﹣＞120，解得：m＜32，∴该产品的成本价格应低于32元．【变式训练1】砀山酥梨是安徽名优特产，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该梨的月销售量y（千克）与销售单价x（元）成一次函数关系，图象如图所示，已知该梨的销售成本为5元/千克．（1）求y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）求销售该梨每月可获得的最大利润；（3）在销售后期，该梨每千克的保鲜成本增加了1元，若月销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中的函数关系不变，当该梨的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意得，，解得，即y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；（2）由题意可得，W＝（x﹣5）（﹣20000x+220000）＝﹣20000x2+3200000x﹣1100000＝﹣2（x﹣8）2+180000，∵﹣20000＜0，∴当x＝8时，W最大是180000，∴最大利润是180000元；（3）由题意得，（x﹣5﹣1）（﹣20000x+220000）＝105000，解得x1＝7.5，x2＝9.5．∵单价最低销量最大，∴在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．【变式训练2】某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在25～45人．已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）．（1）求y与x之间的关系式；（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人．请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费﹣固定成本﹣其他成本）【考点】一次函数的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可得，当25≤x≤30时，y＝1000，当30＜x≤45时，y＝1000﹣（x﹣30）×10＝﹣10x+1300，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）由题意可得，当25≤x≤30时，w＝1000x﹣6000﹣600x＝400x﹣6000，∵k＝400＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝400×30﹣6000＝6000；当30＜x≤45时，w＝（﹣10x+1300）x﹣6000﹣600x＝﹣10x2+700x﹣6000＝﹣10（x﹣35）2+6250，∴当x＝35时，w取得最大值，此时W＝6250；由上可得，旅行社带团接待旅游人数35人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是6250元．1．A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于x的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w＝﹣（x﹣25）2+4360．则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40﹣x）吨．故答案为：（40﹣x），12（40﹣x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30﹣x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；则y＝15x+12（40﹣x）+10（30﹣x）+9（30+x）＝2x+1050；故y关于x的函数关系式为y＝2x+1050；（3）因为总运费y＝2x+1050，当x＝30时，有最大值2×30+1050＝1110元；当x＝0时，有最小值2×0+1050＝1050元；（4）w＝﹣（x﹣25）2+4360，因为二次项系数﹣1＜0，所以抛物线开口向下，当x＝25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．2．已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象经过点（﹣1，0）（3，0）．（1）求a，b的值；（2）求当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣2的图象与二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1﹣y2的最大值．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）将（﹣1，0）（3，0）代入y＝ax2﹣bx﹣3得：，解得．（2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，∵1﹣（﹣3）＞2﹣1，∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣3时，y取最大值12，∴y的最大值与最小值的差为12﹣（﹣4）＝16．（3）当x＝﹣1时y＝﹣（m﹣2）+m﹣2＝0，∴直线y＝（m﹣2）x+m﹣2经过定点（﹣1，0），∵x1＜0＜x2，∴x1＝﹣1，y1＝0，∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴y2≥﹣4，∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，∴w＝y1﹣y2的最大值为4．3．某水果批发商销售热带水果，其进价为8元/千克，当销售单价定为10元时，每天可售出300千克．根据市场行情，现决定增加销售价格．市场调查反映：销售单价每增加2元，则每天少售出100千克，若该热带水果的销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克）．（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天销售这种热带水果的利润最大，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）＝﹣50x+800，∴每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣50x+800；（2）设每天的销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800，∵a＝﹣50＜0，∴二次函数开口向下，∴w有最大值，∴x＝12时，w最大，此时w最大＝800元，答：当销售单价为12元时，每天的销售利润最大，最大利润为800元．4．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：；（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；（3）若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；（2）令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，解得：x1＝11，x2＝17，∴销售单价为11元或17元；（3）∵每件该小商品的利润不超过100%，∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，∵每天的进货总成本不超过800元，∴销售单价x≥10，故销售单价的范围是10≤x≤16，由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，当x＝14时，利润最大是360元，当x＝10时，利润y＝200元，所以利润的取值范围是200≤y≤360．5．某超市销售某品牌猪肉，进价为20元/斤，销售期间发现，当售价为24元/斤时，每天可销售80斤，售价每上涨1元，销售量减少5斤，为保护市场良性循环，物价部门规定，售价不得低于进价且不得高于进价的150%．（1）直接写出超市销售该品牌猪肉y（斤）和每天售价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）已知销售该品牌猪肉平均需要缴纳卫生检疫费a元/斤，最终每天最大利润可达400元，求a的值．【考点】一元一次方程的应用；一次函数的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可得，y＝80﹣（x﹣24）×5＝﹣5x+200，∵物价部门规定，售价不得低于进价且不得高于进价的150%，∴20≤x≤20×150%，即20≤x≤30，答：超市销售该品牌猪肉y（斤）和每天售价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣5x+200（20≤x≤30）；（2）设利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣20﹣a）（﹣5x+200）＝﹣5x2+5（60+a）x﹣4000﹣200a，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝30+，∵a＞0，∴30+＞30，∵﹣5＜0，∴该函数图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，∵20≤x≤30，销售该品牌猪肉平均需要缴纳卫生检疫费a元/斤，最终每天最大利润可达400元，∴当x＝30时，w＝400，即400＝﹣5×302+5（60+a）×30﹣4000﹣200a，解得a＝2，即a的值是2．6．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；（2）当足球回到地面时；①直接写出此时h的值；②计算此时t的值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当t＝1时，h＝20﹣5＝15，当t＝3时，h＝20×3﹣5×32＝60﹣45＝15；答：当t＝1和t＝3时，足球的高度都是15米；（2）①当足球回到地面时，h＝0；②当h＝0时，20t﹣5t2＝0，解得：t1＝0（舍），t2＝4．7．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．8．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，∵，∴BE＝10﹣x＞0，解得x＜，∴（0＜x＜）．9．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝