浙江省杭州市及周边重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

2023学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得答案.【详解】解：命题“，”的否定为：，.故选：B.2.小明有50元钱去买水果，他发现如果买1kg阳光玫瑰和750g涌泉密桔则钱不够，若买阳光玫瑰和400g涌泉蜜桔则钱有余，设800g阳光玫瑰与涌泉蜜桔的价格分别为，（单位：元），则（）A. B. C. D.，大小无法比较【答案】A【解析】【分析】根据题意转化为根据约束条件作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最大值，可得答案.【详解】设每千克阳光玫瑰元，每千克涌泉密桔元，根据提可得，，作出可行域，由图可知，当直线经过点时，此时有最大值，由解得，所以，由于点不满足，所以.故选：A.3.下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用二分法的定义一一判定即可.【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法，对于A，显然在定义域上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在定义域上连续，有，可以使用二分法，故B错误；对于C，在定义域上连续，且有，可以使用二分法，故C错误；对于D，，且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确.故选：D4.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，设，，计算得到答案.【详解】，设，则，故函数的值域为.故选：C5.函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案.【详解】解：因为，，，故排除D；又因为，，故排除C；又因为，，所以，即，符合题意的只有A，故排除B.故选：A.6.已知集合，集合，则“且”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为集合，集合，且，所以且，反之也成立，故选：C7.已知且，则的最小值为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】变换，代入计算得到答案.【详解】设，，，，，，解得，即，故.当且仅当，即，时等号成立，故选：B8.已知，若满足，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图像，，设，得到，利用均值不等式计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示，设，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，故，故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知集合，，则（）A.集合有8个子集 B.集合中有6个元素C. D.【答案】AC【解析】【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D.【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确；由集合，所以，所以集合中有5个元素，所以选项B错误；由及知，所以选项C正确；因为，但是，所以不成立，所以选项D错误.故选：AC.10.一元二次不等式的解集为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式的解集为，故且，即，对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确.故选：ACD11.已知，，，则下列不等式可能成立为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】AB选项，可举出实例；CD选项，由得到，从而结合函数单调性得到，故，D错误，不妨设，比较出，，C正确.【详解】A选项，若，则，，，则，A正确；B选项，若，则，，，则，B正确；CD选项，由定义域可知，，故成立时，则必有，此时，由于，故在上单调递增，故，又在R上单调递减，故，故，即，所以，D错误，下面比较与的大小，不妨设，此时，因为，所以，故，故，又，因为，所以，满足，则成立，C正确；故选：ABC【点睛】比较指数式，对数式的大小关系，需要结合指数函数，对数函数的单调性，利用中间值比较，或画出函数图象，数形结合进行求解.12.已知定义在上的函数的图象为一条连续不断的曲线，且关于点与对称，则（）A.存在非零实数使 B.函数必存零点C.存在实数使 D.存在实数使【答案】BC【解析】【分析】确定函数关于直线对称，举反例得到AD错误，取两点确定对称点在轴上下，B正确，根据函数的连续性得到C正确，得到答案.【详解】函数图象为一条连续不断的曲线，且关于点与对称，点与点关于直线对称，故关于直线对称对选项A：取，满足条件，不是周期函数，错误；对选项B：取，，关于对称点在轴上方；取，，关于对称点在轴下方；函数连续，故函数必存零点，正确；对选项C：取上一点，若，成立，若，则关于的对称点为，两点在异侧，函数连续，故存在实数使，正确；对选项D：取，满足条件，当时，无解，错误；故选：BC.非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知幂函数是偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，的定义域为，不符合题意；当时，的定义域为，且，则为偶函数，符合题意.综上所述，.故答案为：.14.计算：________.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算法则直接计算即可.【详解】.故答案为：15.已知定义在上的函数满足，则函数的解析式________.【答案】【解析】【分析】根据已知把换成，建立方程组求解.【详解】因为，把换成有：，联立，解得.故答案为：16.已知实数，满足，，则________.【答案】4【解析】【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解.【详解】由，得，即，即又，即，设函数，所以在上单调递增，又，即，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简不等式为，根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）先求得集合，再根据包含关系求解即可.【小问1详解】由，即，化简得，即，所以.【小问2详解】由，即或，即或，所以或，由，得或，解得或，所以实数的取值范围为.18.已知，是方程的实数解.（1）若，，求的最小值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求解即可；（2）利用不等式的性质求解即可.【小问1详解】由是方程的实数解得，又，所以，当且仅当即时，取到最小值5.【小问2详解】记，则由，得，解得，故.19.已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；（2）根据函数的单调性及偶函数性质得，然后利用绝对值定义结合对数函数不等式求解即可.【小问1详解】由得，所以，化简得，即，解得.【小问2详解】函数由与及函数在上单调递增，且，由对勾函数性质知上单调递增，又在定义域上增，故由复合函数单调性法则知在上单调递增，又函数为偶函数，所以由不等式可得，所以或，所以或，所以不等式的解集为.20.通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为，而该商品2023年10月的定价为22.8.该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致.（1）求该地区2015年至2023年的年平均通货膨胀率；（2）资金的增长率被称为名义利率，以欧文·费雪（IrvingFisher）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率.已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息=本金*年利率*3）.图中数据见下表：存入日存期到期日起息日年利就操作员流水号2020102136月20231021202010213.8500%22628583081（i）求该存款2020年至2023年的实际年平均利率（精确到）；（ii）若在2015年至2023年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小?（只写出结论，不要求证明）参考数据：，，，，，，，【答案】20.21.（i）；（ii）五年期实际年平均利率小【解析】【分析】（1）设年平均通货膨胀率为，列式计算可得解；（2）设名义年平均利率为，由题意列式得出的值，进而求出实际年平均利率得解.【小问1详解】设年平均通货膨胀率为，由，解得，故年平均通货膨胀率为.【小问2详解】（i）设名义年平均利率为，由，解得，，故实际年平均利率约为.（ii）五年期实际年平均利率小.由，解得，，故五年期实际年平均利率比三年期小.21.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若，使不等式对恒成立，求的最小值及的最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）考虑和两种情况，根据二次函数性质得到答案.（2）考虑和两种情况，分离常数，题目转化为恒成立问题，计算参数范围，再计算函数的最值得到答案.【小问1详解】，当时，，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；函数的单调递减区间是.【小问2详解】①当时，对恒成立得，，在上单调递增，，故；取，对恒成立，即，在上单调递增，，故；②当时，对恒成立，则，，故，取，对恒成立，，，当且仅当时等号成立，故；③当时，对恒成立，则，在上单调递增，，故，取；对恒成立，，故，故.取，解得，时，；时，；综上所述：，画出函数图像，如图所示：根据图像知：.22.定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.（1）族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；（2）设有限集为全集（i）证明：；（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.【答案】（1）都是集合的拓扑（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可；（2）（i）根据集合的拓扑定义证