安徽省黄山市八校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

高二数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效．3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设点关于坐标原点的对称点是B，则等于A．6 B. C. D.2.设为定点，，动点满足，则动点的轨迹是A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆3.已知直线l的一个方向向量为，直线l的倾斜角为，则的值为A． B.0 C. D.24.设,则是直线与直线平行的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为A． B. C.1 D.6.已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为A.B. C. D.7.已知矩形的四个顶点都在椭圆QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且A. B. C. D.第8题第8题图且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马。如图，在E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=A． B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是A．点关于直线的对称点为B．过,两点的直线方程为C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2第10题图10.如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是第10题图A.∥B.直线DE与平面所成角的正弦值为C.平面与平面ABC夹角的余弦值为D.DE与所成角为11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径，，，点B为圆O上异于A、C的一点，M为线段SC上的动点（异于端点），则A.直线SB与平面SAM所成角的最大值为B.圆锥SO内切球的体积为C.棱长为的正四面体可以放在圆锥SO内D.当M为SC的中点时，满足的点B有2个第12题图O12.第12题图OF1、F2为左右焦点，下列命题正确的是A.P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值B．直线与椭圆交于R,S两点，A是椭圆上异与R,S的点，且、均存在，则C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是D．四边形ABCD为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是.14.已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为.15.若关于的不等式的解集是QUOTE0，32，则QUOTEk值是________.16.半径为R的球面上有A、B、C、D四个点，，则的最大值为.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，三棱锥中，点D、E分别为和的中点，设，，.（1）试用，，表示向量；（2）若，，求异面直线AE与CD所成角的余弦值.18.（本小题满分12分）已知直线.=1\*GB3①若直线l不经过第二象限，求k的取值范围.=2\*GB3②若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，求此时相应的直线l的方程.19.（本小题满分12分）如图，△与△都是边长为2的正三角形，平面ABD平面ABC，EC平面ABC且.（1）证明：CD平面ABE（2）求平面CED与平面BDE的夹角的大小.20.（本小题满分12分）已知定点，动点满足，O为坐标原点.（1）求动点M的轨迹方程（2）若点B为直线QUOTEx+2y+2=0上一点，过点B作圆M的切线，切点分别为C、D，若QUOTEBC⊥CD，求点B的坐标.21.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，二面角E-CD-A为直二面角，，.（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）及平面ABCD所成角相等，求λ的值.22.（本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、．若四边形为正方形，且．（1）求椭圆标准方程；（2）若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）；QUOTE在此处键入公式。（3）在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使PD⊥MN，若存在，求坐标，若不存在，说明理由．“八校联盟”2023-2024学年度第一学期高二期中考试数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CAABDBAC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题号9101112答案ADABCACACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(23,23,13)14.815.2QUOTE2+33四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:（1）…………4分（2）由题意可得： ………………5分 ………………6分…………………8分 ………9分∴异面直线AE和CD所成角的余弦值为357. ………… 18.解：（1）解：由题意可知直线l：y=kx-2k+1(kϵR)⸫y=k（x-2）+1易知直线l过定点（2,1） ………………2分当直线l过原点时，可得k=1⸫当k≥12时，直线l不经过第二象限. ……………………（2）解：由题意可知k<0,∵直线l：y=kx-2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是A（2₋1k,0），B（0,1-2k） ………⸫SΔAOB=12｜2-1k｜×｜1-2k｜=12×(2k-1)当k<0时，由SΔAOB=9212×4k2-4k+1-k=1即：4k2+5k+1=0∴k=-1或k=-14 ………………………10即：直线l的方程为y=-x+3或y=-14x+32 …………………19.解：证明：取AB中点F，连接CF，DF∵ΔABC，ΔABD都是正三角形∴AB⊥CF，AB⊥DF，又CF∩DF=F∴AB⊥面CDF∴AB⊥CD …………………………2分又平面ABC⊥平面ABD∴DF⊥面ABCDF=3 …………………3分又CE⊥面DBC且EC＝3∵DF∥CEDF＝CEDF⊥CF∵CFDE是正方形∴CD⊥EF ………………………5分又EF∩AB=F∴CD⊥平面ABE. …………………6分（2）由（1）知AB、CF，DF两两重直，如图建立空间直角坐标系由于x轴垂直面CEDF∴平面CDE的法向量为m=1,0,0又B（1，0，0）D(0，0，3)E(O，3，3)∴BD＝（-1，0，3）BE=(-1，3，3) ………8分设平面BDE的法向量n=(x，y，z)则n令x=3，n=(3，0，1) ……………………10分∴cos∴平面CDE与平面BDE的夹角为π6 ………20.解：（1）由题意得：OM=（x,y）AM=(x-4,y-2)∴ ……………………2分即∴M的轨迹方程为 ………………4分（2）由题意可知：B为直线3x-y+3=0上一点，又BC、BD分别与圆M相切于点C、D,且BC⊥BD.连接MC、MD,易知四边形BCMD为正方形. ………6分∵四边形BCMD为正方形，且｜MC｜=｜MD｜=｜BC｜=｜BD｜=5∴｜BM｜=10 ………8分设B（x,y）,则：3x-y+3=0(x-2)2+(y-1)2解得x=-1y=0或x=15y=185 ∴B点的坐标为-1,0或15，185 21.解：(1)如图，过点F作FO⊥DC于点O，连接OA.因为二面角E-CD-A为直二面角，所以平面CDEF⊥平面ABCD，又平面CDEF∩平面ABCD=CD，FO⊂平面CDE，所以FO⊥平面ABCD,因为OA⊂平面ABCD，所以FO⊥OA. ………………2分因为四边形CDEF为等腰梯形，AB=CD=2EF=4,所以OD=3，所以AO=5 …………………4分又AF=33，所以FO=2，即点F到平面ABCD的距离为2. ………………5分(2) 以O为坐标原点，分别以OD，OF所在直线分别为x,z轴，过点O作平面CDEF的垂线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A（3，4，0），D（3，0，0），E（2，0，2），F（0，0，2），P（-1，2，0）， ………………6分由AQ=λAE=（-λ，-4λ，2λ)，得Q(3-λ，4-4λ，2∴PQ=(4-λ，2-4λ，2λ)， ……………7分设平面ADE的法向量为n=（x，y，z），由DA=（0，4，0）,DE=（-1，0，2），n∙DA=0令z=1，则n=（2，0，1）. ……………………9分又易知平面ABCD的一个法向量m=（0，0，1）. …………10分设直线PQ与平面ADE所成角为θ，与平面ABCD所成角为α，则sinθ=sinα，∴n∙PQnPQ=整理得423=2λ，由λ>0，得λ=433.22.解：（1）依题证得且，∴ ………………2分故椭圆方程为 ………