第二十六章二次函数（8个知识归纳15类题型突破）

第二十六章二次函数（8个知识归纳+15类题型突破）1.掌握二次函数的概念；2.掌握二次函数的图象与性质；3.掌握二次函数与一元二次方程的关系；4.掌握二次函数与不等式的关系；5.掌握二次函数的应用；知识点一：二次函数的概念1．知识回顾：（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量．（2）正比例函数：一般地，形如的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．（3）一次函数：形如，其中、为常数，且．特殊情况：当时，称为常值函数；当时，称为正比例函数．2．二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数．3．二次函数应注意的问题：（1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等．（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数．知识点二：二次函数的图像与性质二次函数y=ax2的图象的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减，上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．一般式：（，，为常数，）；函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看(1)三全看点在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.(4)的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.(5)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.(6)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.知识点四：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．知识点五：二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.知识点六：二次函数与不等式判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解知识点七：待定系数求解析式用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式;(2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式;(3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式.二次函数解析式的形式一般式：顶点式：交点式顶点在原点：过原点：顶点在y轴：求二次函数（a≠0）的最值的方法配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且公式法：因为抛物线的顶点坐标为（），则若a＞0，当x=时，函数有最小值，且若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且知识点八：二次函数的应用1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。6.写出答案。题型一二次函数的概念、关系式与识别1．（23·24上·南通·阶段练习）下列函数中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义，进行判断即可．【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意；B、，当时，不是二次函数，不符合题意；C、，含有分式，不是二次函数，不符合题意；D、，是二次函数，符合题意；故选D．【点睛】本题考查判断是否是二次函数，熟练掌握二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，是解题的关键．2．（23·24上·营口·阶段练习）下列关于函数中，一定是二次函数的有（

）①②③④⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】形如（是常数，且）的函数，叫做二次函数．据此即可获得答案．【详解】解：①，当时，不是二次函数；②，等号右侧不是整式，不是二次函数；③，是二次函数；④，不是二次函数，是一次函数；⑤，是二次函数．综上所述，一定是二次函数的是③⑤，共计2个．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是理解并掌握二次函数的定义．3．（23·24上·温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．巩固训练：1．（23·24上·合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；【详解】解：第三季度总值为；故选：C【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．2．（22·23上·嘉兴·期中）有下列函数：①y=5x4；②；③；④；⑤；其中属于二次函数的是（填序号）．【答案】②④【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数．综上所述，其中属于二次函数的是②④．故答案为：②④．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3．（23·24上·渭南·阶段练习）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？【答案】乙的说法对，理由见解析【分析】将x的二次项的系数进行配方得到，得出，即可得出结论．【详解】解：乙的说法对．理由如下：，无论取何值，，即有，所以，故无论取何值，该函数一定是二次函数．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的二次项系数不能为0．题型二根据二次函数的定义求参数1．（23·24上·安阳·阶段练习）若函数是二次函数，则满足的条件为（

）．A．为常数，且 B．为常数，且C． D．可以为任意实数【答案】B【分析】根据二次函数的定义即可得到答案．【详解】由二次函数的定义可得，，∴，故选：．【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数．2．（23·24上·廊坊·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的值是(

)A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】根据题意可知，函数中含x的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作答．【详解】根据题意有：，解得，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．掌握这个定义是解题的关键．3．（22·23上·滁州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．【详解】函数是关于的二次函数，且，解得，故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·荆州·阶段练习）若是关于x的二次函数，则a的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴且，∴，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的定义，解答关键是熟知二次函数的一般形式．2．（23·24上·苏州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．【答案】2020【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【详解】解：将代入函数解析式得，，∴，∴．故答案为：2020．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值．3．（23·24上·襄阳·阶段练习）已知函数．(1)若是一次函数，求的值；(2)若是二次函数，求的值满足什么条件．【答案】(1)(2)且【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．【详解】（1）若这个函数是一次函数，则且，解得；（2）若这个函数是二次函数，则，解得且．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．题型三特殊二次函数的图象与性质1．（22·23上·定西·阶段练习）已知二次函数有最大值，则a的值为（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解，再根据二次函数有最大值就说明图象开口向下，，分别解得即可．【详解】解：由二次函数定义可知，解得，∵二次函数有最大值，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的定义及二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．2．（22·23上·武汉·阶段练习）已知：是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2【答案】B【分析】根据二次函数的定义以及性质，求解即可；【详解】∵是二次函数，∴，解得m＝1或m＝﹣2，∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，即m+1＜0，∴m＜﹣1，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是熟练的运用二次函数的定义以及性质．3．（20·21上·黔西·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（

）A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3【答案】D【分析】首先根据二次函数的定义得到解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．【详解】解：∵二次函数，∴，解得：，∴，∴二次函数，∵，∴图象开口向下，∴A选项错误，不符合题意；顶点坐标为（0，3），∴B选项错误，不符合题意；对称轴为直线，∴C选项错误，不符合题意；∵图象开口向下，顶点坐标为（0，3），∴有最大值，为－3，∴D选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．巩固训练1．（22·23上·唐山·阶段练习）若是二次函数，最大值为0，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义（形如，为常数，且的函数叫做二次函数）可得，由最大值为0，可得，由此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．（21·22上·青岛·阶段练习）若是二次函数，且图象的开口向下，则m的值为．【答案】【分析】根据二次函数的定义，令m2−3＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数2−m＜0，确定m的值．【详解】解：∵已知函数为二次函数，∴m2−3＝2，解得m＝−或，当m＝时，2−m＝2−＜0，二次函数图象开口向下，当m＝−时，2−m＝2＋＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义及性质．二次函数y＝ax2＋bx＋c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．当a＜0时，二次函数图象开口向下．3．（22·23上·周口·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件m的值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)2或(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．【详解】（1）解：根据题意得且，解得，，所以满足条件的m值为2或．（2）解：当时，抛物线有最低点，所以，此时抛物线解析式为，所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；此时抛物线解析式为，所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．题型四y=ax2+bx+c的图象与性质1．（23·24上·福州·期中）已知抛物线，则下列描述不正确的是（

）A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，先化为顶点式，找到对称轴，根据开口向上，对称轴为直线，即可求解．【详解】解：，抛物线开口向上，对称轴为直线∴当时，随的增大而增大．故A选项不正确，故选：A．2．（21·22上·武汉·期末）已知二次函数(a为常数，且)的图象上有三点则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，∵，∴函数图象开口向上，∵，点在二次函数(a为常数，且)的图象上，∴．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3．（23·24上·邢台·期中）二次函数的图象如图所示，下列判断正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：∵抛物线的开口向上，，故A选项不符合题意；∵对称轴在y轴的左侧，，故B选项不符合题意；∵抛物线与x轴的两个交点分别为，∴对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，故C选项不符合题意；∵抛物线与x轴有两个交点，，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．巩固训练1．（23·24上·合肥·期中）已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】此题考查了二次函数的图象和性质；首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，分两种情况讨论．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴直线，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得：，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．2．（23·24上·新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为．【答案】【分析】先画出二次函数图像，过点作轴于点，取点关于轴的对称点，连接，交轴与点，此时的长就是的最小值，根据二次函数性质先求出，的坐标，从而得出，的坐标，得出，的长，利用勾股定理即可求出结果．【详解】解：二次函数图像如下，过点根据作轴于点，取点关于轴的对称点，连接，交轴与点，此时的长就是的最小值，当时，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数中的线段最值和定值问题，勾股定理，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键．3．（23·24上·密云·期中）在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为．(1)当时，求b的值；(2)若，求t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别求出当和时的函数值，再根据建立关于b的方程即可解决问题；（2）根据，即可求出对称轴的取值范围．【详解】（1）解：将点和代入二次函数中，得：，当时，则，解得：；（2）解：，，，解得：，抛物线的对称轴为，，，．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的性质是解题的关键．题型五二次函数图象与各项系数符号1．（23·24上·汕头·期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（

）A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可．【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，∴，，∴，即，∴，故①错误；∵，∴，故②正确；由图可得，当时，，把代入解析式得，，∴，故③正确；把代入解析式得，，由图象可得，当时，，∴，故④错误；由图象可得，抛物线与x轴有两个交点，∴当时，，有两个不相等的实数根，∴，故⑤正确；故选：C．2．（23·24上·江北·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤．其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由题意可知二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是，即可得出与的等量关系，据此即可进行判断．【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是∴，解得：①二次函数图象开口向下，∴，∴，，∴，故①正确；②，故②正确；③由图象可知：当时，；即，故③错误；④由图象可知：当时，，故④正确；⑤，∴，故⑤正确；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．得出的关系，掌握数形结合的数学思想是解题关键．3．（23·24上·徐州·期中）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论∶①；②；③方程的两个根是；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】解：∵二次函数的开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，即，∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，∴，∴，故①错误；∵，∴，故②正确；∵抛物线与与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，∴抛物线与与x轴的另一个交点坐标为，∴方程的两个根是，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，④正确，∴正确的个数为4．故选：D【分析】根据二次函数的开口确定以及对称轴为直线，可确定a，b，再根据抛物线与y轴的交点，可判断c，从而判断①；把代入，可判断②；根据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，可判断③；根据二次函数的增减性可以判定④．巩固训练1．（21·22下·恩施·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（包含端点），顶点坐标为．以下判断：①当时，；②；③；④．其中正确的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】①由抛物线的对称轴为直线，一个交点，得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是，将其代入，并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据c的的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴对称轴直线是，∵抛物线与x轴交于点，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，观察图象得：当时，，故①正确；观察图象得：抛物线开口方向向下，∴，∵对称轴，∴，∴，即，故②错误；∵抛物线与x轴交于点，，∴方程的两根为，3，∴，即，∵抛物线与y轴的交点在、之间（包含端点），∴，∴，即，故③正确；∵，，∴，∵顶点坐标为，∴当时，，∵，∴，即，故④正确；综上所述，正确的有①③④，共3个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．2．（23·24上·珠海·期中）如图，二次函数的图像的对称轴是直线，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（填序号）【答案】②④/④②【分析】由图像可知开口向下，与y轴的交点位于1和2之间，从而得出，．结合对称轴为和对称轴公式可得出，，即可判断①②；又可知，即得出，根据不等式的性质可得出，根据a和b的关系即得出可判断③；根据图像可知当时，，结合a和b的关系即得出可判断④．【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，∴，．∵对称轴是直线，∴，∴，，故②正确；∴，故①错误；由图像可知抛物线与y轴的交点位于1和2之间，∴．∵，∴，两边都乘以，得：．∵，∴，∴，即，∴，故③错误；由图像可知当时，，∴，∴，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（22·23上·蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．(1)判断、、及的符号；(2)求的值；(3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有．（填序号）【答案】(1)，，，；(2)；(3)①③【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案；（2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案；（3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线开口向上，，对称轴在y轴右侧，、异号，，抛物线与y轴负半轴相交，，当时，，；（2）解：由函数的图象可知，当时，，；（3）解：由（1）可知，，，，①结论正确；，，，，，，②结论错误；当时，，当时，，，，，③结论正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．题型六一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断1．（22·23上·六安·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，∴，∴，∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．2．（22·23上·连云港·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根据抛物线顶点排除A、C，然后根据函数图象得到的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：由函数可知抛物线的顶点为，故A、C不合题意；B、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故B不合题意；D、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的关键．3．（23·24上·济宁·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】∵二次函数与一次函数的图象相交于点，，∴能使成立的x的取值范围是或．故选：C．【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键．巩固训练1．（22·23下·德州·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案．【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，，，又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为，，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．2．（23·24上·合肥·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是．【答案】【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．【详解】解：观察图象可知当和时，，在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即，∴不等式的解集是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小．3．（23·24上·广州·阶段练习）已知函数，图象与x轴交点为点A，B（点A在点B的左边），完成以下的探究(1)画出这个二次函数的图象；x……y……(2)若点C为函数图象上一点，且的面积为6，结合函数图象，求点C的坐标；(3)当平面内的直线与这个函数图象有三个公共点时，则．【答案】(1)见解析(2)或(3)或【分析】（1）列表，描点，连线即可；（2）根据三角形面积公式以及的长度，求出高，即点C的纵坐标，再代入中求出相应横坐标即可；（3）首先判断出过定点，画出相应图象，根据交点为3个找到准确位置求出相应k值即可．【详解】（1）解：列表：x…01234…y…60206…如图所示：（2）∵，的面积为6，∴，则，在中，令，则，解得：，∴点C的坐标为或；（3）在中，令，则，即直线必定经过；如图，直线和都经过，其中直线与抛物线开口向下的部分只有一个交点，则令，整理得：，，解得：；直线经过点，故与的图象有三个公共点，则，解得：；如图，直线和也同样满足，同理可得：或；综上：k的值为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画函数图象，三角形的面积，二次函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是准确利用图象，根据数形结合的思想方法解决问题．题型七二次函数的对称性1．（23·24上·东莞·期中）二次函数的图像过点，方程的解为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系。二次函数的对称轴为直线，二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】抛物线的对称轴为直线，而抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标，所以方程的解为：．故选：B．2．（23·24上·武汉·期中）已知抛物线（为常数）经过点、、，当时，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出，可得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，进而得到，再结合，可得，然后根据，即可求解．【详解】解：当时，，∴，∴抛物线的对称轴为直线，∴抛物线解析式为，∵抛物线（为常数）经过点、，∴，即，∴，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B3．（23·24上·南通·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（

）xy353A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，∴抛物线的对称轴为，∴和的函数值相同，为；故选D．【点睛】本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴．巩固训练1．（23·24上·温州·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，最后求出结果即可．【详解】解：∵，，，∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，∴点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标．2．（23·24上·海口·阶段练习）如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，在抛物线的对称轴上有一动点，连接和，则的最小值是．【答案】【分析】作点C关于抛物线对称轴的对称点D，可得，由此可解．【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接交对称轴于点，则，令，解得，，．令，则，．又抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称，．，的最小值是．【点睛】本题考查抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点坐标，线段的最值问题，两点间距离公式等，解题的关键是掌握抛物线的对称性．3．（23·24上·龙岩·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，我们就把直线称为这条抛物线的极限分割线．(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为___________．(2)经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据极限分割线的定义，得到抛物线的极限分割线，再根据抛物线的对称性，即可解答；（2）将代入抛物线，得到的关系，再利用抛物线的对称性，即可解答．【详解】（1）当时，，抛物线与y轴交于点，极限分割线为，抛物线的对称轴为直线，极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标为，故答案为：，；（2）解：抛物线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为，．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，直线与抛物线的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．题型八待定系数法求二次函数解析式1．（23·24上·昆明·阶段练习）若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解．【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得解得：∴解析式为，故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．2．（23·24上·邯郸·期中）已知顶点为的抛物线过点，此抛物线的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据二次函数的顶点坐标设出二次函数的解析式，然后将代入，可求得a的值．【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是，则设这个二次函数的解析式为，把代入，得，解得，故这个二次函数的表达式为：．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据顶点坐标正确设出二次函数的表达式．3．（21·22上·武汉·期中）将二次函数的图象绕点旋转，得到的图象的解析式为(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出原来二次函数的顶点坐标，进而根据旋转的性质得出顶点坐标，开口方向发生变化，但开口大小不变，即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，，绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，，所得到的图象的解析式为，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求二次函数解析式，求得旋转后的顶点坐标是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可；【详解】解：设二次函数的解析式为，将点代入得，解得，所以该二次函数的解析式为．故选：A；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（23·24上·苏州·阶段练习）二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是．【答案】【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于原点对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答．【详解】解：从抛物线上找三个点，，．它们关于原点对称的点是，，．设新函数的解析式为，则，解得．故所求解析式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点是解决本题的关键．3．（23·24上·张家口·期中）如图二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为，与y轴交于点．(1)求这个二次函数的解析式，点B的坐标是．(2)在x轴是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)存在这样的点P使得是等腰三角形，且坐标分别为，，，【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可．（2）根据等腰三角形的定义，分点P在x轴的正半轴和负半轴两种情况求解即可．【详解】（1）把，点分别代入解析式，得，解得，故抛物线的解析式为，令，得，解得，故点，故答案为：．（2）存在这样的点P使得是等腰三角形，且坐标分别为，，，．理由如下：∵点，点，点，∴，当点在x轴的负半轴，且时，故点；当点在x轴的正半轴，且时，故点；当点在x轴的正半轴，且时，，故点；当点在x轴的正半轴，且时，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，故点；故存在这样的点P使得是等腰三角形，且坐标分别为，，，．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，与x轴的交点坐标，等腰三角形的分类计算，勾股定理，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．题型九二次函数的平移问题1．（23·24上·庆阳·期中）将抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是(

)A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度【答案】A【分析】将抛物线写为顶点式，通过点的平移得到抛物线的平移，本题主要考查了二次函数图像的变换．【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，则点到点为向左平移3个单位长度，那么抛物线也为向左平移3个单位长度．故选：A．2．（23·24上·福州·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度所得到的抛物线的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得到的抛物线的解析式是．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．（23·24上·济宁·阶段练习）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：，即．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·安阳·阶段练习）二次函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到，的值．【详解】由题意可得新抛物线的顶点为，∴原抛物线的顶点为，设原抛物线的解析式为,代入得：，∴，∴，故选：．【点睛】此题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握抛物线平移不改变二次项的系数的值，两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．2．（23·24上·周口·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，则阴影部分的面积是．【答案】4【分析】根据平移的性质及抛物线的性质得出阴影部分的面积即可．【详解】解：∵抛物线的顶点的纵坐标为，∴阴影部分的高为2，又∵抛物线向右平移了2个单位，∴阴影部分的面积．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数的图象与性质是解题关键．3．（23·24上·普陀·期中）已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．(1)求此抛物线的顶点P的坐标．(2)将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．【答案】(1)此抛物线的顶点P的坐标为；(2)平移后新抛物线的表达式为．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，即可求解；（2）利用二次函数图象平移的性质即可求解．【详解】（1）解：将点代入得，解得，∴抛物线的表达式为，∴此抛物线的顶点P的坐标为；（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，∵顶点落在直线上，∴，解得，∴平移后新抛物线的表达式为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数图象平移的性质，掌握相关性质是解题的关键．题型十y=ax2+bx+c的最值1．（23·24上·石景山·期中）求二次函数的最小值（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】将二次函数化为顶点式，由此即可得到答案．【详解】解：，，抛物线开口向上，当时，的值最小为，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式是解此题的关键．2．（23·24上·广安·阶段练习）二次函数在范围内的最大值为（

）A．25 B．30 C．36 D．40【答案】C【分析】将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，当时抛物线有最小值0，∵时，；当时，，∴在时，，即最大值为36，故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键．3．（23·24上·邢台·期中）已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则下列说法正确的是（

）A．函数有最大值 B．函数有最大值5C．函数没有最小值 D．函数没有最大值【答案】B【分析】先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，∵，开口向下，在的取值范围内，又，∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为，观察四个选项，选项B符合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·温州·阶段练习）已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（

）A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值【答案】C【分析】根据图象及的取值范围，求出最大值和最小值即可．【详解】解：根据图象及的取值范围，当时，取最小值为，当，取最大值为，该函数有最小值，有最大值，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的值为最小值，最高点的值为最大值．2．（23·24上·苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．【答案】【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围．【详解】解：∵，，∴当时，y有最小值2，把代入得：，解得：，∵当时，有最大值3，最小值2，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．3．（22·23下·西安·期末）如图，抛物线经过、两点，点E是线段上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数求函数解析式即可；（2）设，利用待定系数法求直线的解析式为，由轴，可得，从而可得，即可求解．【详解】（1）解：把、代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：设，设直线的解析式为，代入点、，得，解得，∴直线的解析式为，∵轴，∴，∴，∴当时，取得最大值为．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数最值，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．题型十一二次函数与一元二次方程1．（23·24上·南通·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表：x…01…y…12…根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表格可知随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围．【详解】解：观察表格可知，随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，∴一元二次方程的一个近似解在和之间，即．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（23·24上·津南·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】本题主要考查了根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程之间的关系进行即可解答．【分析】解：∵二次函数解析式为,∴二次函数的对称轴为直线，∵二次函数的图像与x轴的一个交点是，∴二次函数的图像与x轴的另一个交点是，∴方程的两个实数根为，．故选：A．3．（2022下·江苏·专题练习）抛物线过点，则一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线解析式知对称轴，与x轴交于点，设另一交点为，可求得．于是的解是．【详解】解：抛物线的对称轴为，与x轴交于点，设另一交点为，∴，得．于是的解是；故选：A【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·淮北·阶段练习）已知抛物线（）的顶点坐标为，则关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】C【分析】由顶点坐标为，可得，，解得，，，根据一元二次方程根的判别式，判断作答即可．【详解】解：∵抛物线（）的顶点坐标为，∴，，解得，，，∵，∴，∴，∴方程没有实数根，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，一元二次方程根的判别．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（23·24上·南通·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程的两个实数根异号，则m的取值范围是．【答案】【分析】可得，令，可得一元二次方程的两个实数根异号，就是抛物线与直线交点的横坐标异号，据此结合图象即可求解．【详解】解：由得，令，一元二次方程的两个实数根异号，抛物线与直线交点的横坐标异号，如图，由图可得：抛物线与直线交点在轴上方时，交点的横坐标异号，解得：；故答案：．【点睛】本题考查了二次函数中数形结合能力，利用二次函数图象根据方程根的情况确定参数的取值范围，掌握解法是解题的关键．3．（23·24上·广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)设的两个实数根为，，若，求出y与m的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若时，求y的取值范围．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）只要证明方程的判别式即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可；（3）根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵方程的判别式，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵的两个实数根为，，∴，，∴；∴y与m的函数关系式是；（3）∵，∴此抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，∵∴当时，y取得最小值，当时，y取得最大值是，∴y的取值范围是．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．题型十二二次函数与不等式1．（23·24上·延庆·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．【详解】由图可知，或时二次函数图象在一次函数图象下方，所以，满足的x的取值范围是或．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．2．（22·23上·金昌·期中）如图所示：已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则不等式的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解．【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象相交于点和，，∴能使成立的x的取值范围是或．故选：C．【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键．3．（23·24上·临沂·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点、，请你根据图象写出使成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】图象法，找到直线在抛物线上方时，的取值范围即可．【详解】解：由图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴使成立的的取值范围是；故选A．【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．正确的识图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．巩固训练1．（22·23下·福州·模拟预测）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是(

)A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】由时，x的取值范围为或，可得抛物线的对称轴为，从而可得b与a的关系，将代入二次函数解析式，用含a的代数式表示m，求出m的范围，进而求解．【详解】当时，x的取值范围为或，∴为抛物线上的点，∴抛物线的对称轴为，∴抛物线的顶点坐标为∵抛物线经过点，∴四个值中有可能为m的是4．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图像上的点的坐标特征．2（22·23下·六安·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：．（1）该抛物线的对称轴是；（2）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m的取值范围是；【答案】直线【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线代入即可求解；（2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论与，由两点中点与对称轴的位置关系求解．【详解】解：（1）抛物线：，对称轴为直线；故答案为：直线；（2）抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，，，即，解得，，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．3．（23·24上·杭州·阶段练习）已知函数，（为常数且）(1)若函数的图象经过点，两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．(2)若函数的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若，当时，判断与的大小并说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为(2)①，；②，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）①由函数经过点，对于函数，当时，，推出当时，两个函数过定点；②设，即可求解．【详解】（1）解：∵，当时，，则抛物线过定点，则不能过，把代入得，，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：①函数，该函数恒经过点，∵函数、的图象始终经过同一定点M，当时，，由（1）可得，经过定点，对于函数，当时，，∴当时，两个函数都过定点，②∵，，设，令，∴或，∵，故函数y开口向上，则当时，，即．【点睛】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型十三二次函数的应用问题11．（23·24上·广安·阶段练习）2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设每天销售量为个，每个降价x元（），商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解．【详解】解：设每天销售量为个，每个降价x元（），商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意得，则，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．（23·24上·亳州·阶段练习）某商店经营衬衫，已知所获利润(元)与销售的单价(元)之间满足表达式，则所获利润最多为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值．【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值，即．所以，所获利润最多为元．故选：B．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．3．（22·23下·安庆·期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，得，解得：，∴，当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，解得：，由题意可知38不符合条件，∴，∴这种口罩的成本价是10元/个；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．巩固训练1．（23·24上·河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意得：，整理得：，解得：，，尽快减少库存，，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意；设商场每天的盈利为元，由题意得：，，当时，最大为元，故③正确，符合题意；综上所述，正确的有①③，共2个，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键．2．（22·23上·全国·单元测试）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为．【答案】360元【分析】（1）根据销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），列出函数关系式即可；（2）根据题意列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）解：由题意，得：；故答案为：；（2）设每天的销售利润为w元，则有：，∵，∴二次函数图象开口向下，∵，解得，∴，∴当时，w有最大值，最大值为360元．故答案为：360元．【点睛】本题考查一次函数及二次函数的应用．找准等量关系，正确的列出相应的函数关系式是解题的关键．3．（23·24上·温州·阶段练习）第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．(1)设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．(2)销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？(3)若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．【答案】(1)(2)70，4000(3)【分析】（1）根据利润每件的利润销售数量，列出关系式即可；（2）由（1）得，利用二次函数的性质解决即可；（3）根据题意列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：，根据利润每件的利润销售数量得：，；（2）解：由（1）得，销售单价定为每件70元时，所得月利润最大，最大月利润为4000元；（3）解：由（1）得，当时，即，整理得：，解得：，，，抛物线开口向下，获得的月利润不低于3000元，，销售单价不得超过75元，．【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．题型十四二次函数的应用问题21．（22·23下·南通·一模）如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（

）A．20 B．16 C． D．【答案】A【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．【详解】解：若点在上时，如图，，，，在和中，，，∴，由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即，，当时，代入方程式解得：(舍去)，，，，，矩形的面积为；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．2．（22·23下·深圳·模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：①；②池底所在抛物线的解析式为；③池塘最深处到水面的距离为；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中结论正确的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④．【详解】解：①观察图形可知，，故①正确；②设池底所在抛物线的解析式为，将代入，可得，故抛物线的解析式为；故②正确；③，当时，，故池塘最深处到水面的距离为，故③错误；④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12时，将代入，得，可知此时最深处到水面的距离为，即为原来的，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．3．（23·24上·全国·专题练习）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将配方成顶点式求解即可．【详解】∴当时，y取得最大值4，∴水流喷出的最大高度是．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．巩固训练1．（2