九年级数学知识点【北师大版】：一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典型例题+变式训练）（解析版）

-2021-2022学年九年级数学上学期期中考试高分直通车（月考+期中+期末）专题1.2一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典型例题+变式训练）【知识梳理】1.一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的根（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．4.一元二次方程的解法—配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5.一元二次方程的解法—因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．6.一元二次方程的解法—公式法（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出b2-4ac的值（若b27.根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．8.根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即b9.配方法的综合应用1、用配方法解一元二次方程．

配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．

关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．

3、配方法的综合应用．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】已知关于x的方程（m+1）xm2+1+（m（1）m取何值时，它是一元二次方程？（2）m取何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义和已知条件得出m+1≠0且m2+1＝2，再求出答案即可；（2）根据一元一次方程的定义和已知条件得出∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m2+1＝1，③m2+1＝1且m+1+m﹣2≠0，再分别求出即可．【解析】（1）∵x的方程（m+1）xm2+1+（m∴m+1≠0且m2+1＝2，解得：m＝1，∴当m＝1时，方程为一元二次方程；（2）∵x的方程（m+1）xm2+1+（m∴①m+1＝0且m﹣2≠0，②m﹣2＝0且m+1≠0，m2+1＝1，③m2+1＝1且m+1+m﹣2≠0，解得：①m＝﹣1，②不存在，③m＝0，∴m为﹣1或0时，方程是一元一次方程．【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（

）A．ax2+bx+c=0C．x2+3【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．【详解】解：A、当a=0,b≠0时，方程axB、方程x2−4=x+3C、方程x2+3D、方程3xx−4=0整理为故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题关键．【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程a+2xa2A．a=±2 B．a=−2 C．a=2 D．a为任意实数【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得a2−2=2且【详解】解：由题意，得a2−2=2且解得：a=2，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．【变式1.3】（2020•广西模拟）关于x的方程(m【分析】根据一元二次方程定义可得m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，再解即可．【解析】依题意有，m2﹣7＝2，∴m＝±3，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m＝﹣3，∴当m＝﹣3时方程(m【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；（2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数．【解析】（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．【变式2.1】（2022·江苏·九年级专题练习）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【分析】将方程展开，化简后即可求解．【详解】将(3x－1)(2x＋则可知一次项系数为5，二次项系数为3，故答案为：3x【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题的关键．【变式2.2】（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）一元二次方程x2【答案】6【分析】确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．【详解】根据题意可得，一元二次方程x2∴和为1+4+1=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和算出算式是解题关键．【变式2.3】（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是；其中二次项系数是．【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．【解析】（3x+2）（2x﹣3）＝5，去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0，二次项系数为：6．故答案为：6x2﹣5x﹣11＝0；6．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选：D．的未知数的值是一元二次方程的解．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则【答案】1【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2+ax−2=0，得到关于【详解】将x=1代入该方程，得：1+a−2=0，解得：a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0【答案】-9【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解．【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，∴2a2-a-5=0，∴2a2-a=5，∴4a2-2a=10，∴2a-4a2+1=-10+1=-9，故答案为：-9．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键．【变式3.3】（2020•浙江自主招生）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m3+n3﹣6mn的值为（）A．﹣2 B．8 C．﹣6 D．﹣8【分析】先根据n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，得到关于m和n的一个方程，再根据n≠0，得出m和n的数量关系，然后将所给的整式利用因式分解和配方法进行变形，最后将m与n的数量关系代入，即可求得答案．【解析】∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根∴n2+mn+2n＝0∵n≠0∴方程两边同时除以n得：n+m+2＝0∴m+n＝﹣2∴m3+n3﹣6mn＝（m+n）（m2﹣mn+n2）﹣6mn＝﹣2[（m+n）2﹣3mn]﹣6mn＝﹣2（m+n）2+6mn﹣6mn＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8故选：D．【变式3.4】（2021春•淮北月考）若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+a【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2＝2020a﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解析】∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+a2+12020=＝﹣a+a﹣1＝﹣1．【考点4】一元二次方程的解法—配方法【例4】（2021春•碑林区校级月考）若x2+ax＝（x+12）2+b，则a，A．a＝1，b=14 B．a＝1，b=−14 C．a＝2，b=12【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a，b的值．【解析】∵（x+12）2+b∴ax＝x，14∴a＝1，b=−1故选：B．【变式4.1】．（2022·江苏·九年级课时练习）如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______．【答案】1【分析】先把方程进行配方，即可求出n、m的值，再最后求值即可．【详解】解：把方程x2＋4x＋n＝0进行配方，得：x+22由已知可得：m=2−4+n=−3，化简m=2∴n−m2020故答案为：1．【点睛】本题考查配方法，掌握完全平方公式的合并化简是解题的关键．【变式4.2】．（2022·江苏镇江·九年级期末）对方程x2+25x−【答案】1【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．【详解】解：由题意得：m=25故答案为：125【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【变式4.3】（2020秋•西丰县期末）如果ax2+3x+12=（3x+12）2+m，则a【分析】根据完全平方公式把等式的右边变形，根据题意列式计算即可．【解析】（3x+12）2＝9x2+3x+14则a＝9，14+m解得，m=1故答案为：9，14【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法【例5】（2021春•平谷区校级期中）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是．【分析】直接利用因式分解法解方程即可．【解析】∵（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，∴x1＝4，x2＝﹣3；故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．【变式5.1】（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2或4【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【解析】x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△AB【答案】13【分析】解一元二次方程求出x1=2，x2=3，根据勾股定理求出斜边长即可．【详解】解：∵x2∴（x-2）（x-3）=0，解得x1=2，x2=3，∴Rt△ABC斜边长为22故答案为：13．【点睛】此题考查了解一元二次方程，勾股定理，正确掌握解方程的方法及勾股定理的计算公式是解题的关键．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=a+b2−a−b2【答案】﹣3或4【分析】利用新定义得到m+2+m−32【详解】解：根据题意得m+2+∴2m−12∴2m−12∴（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，∴2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，解得m1=﹣3，m2=4．故答案为：﹣3或4．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2020春•文登区期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2−53x配方得：x2−53x+2536=−13开方得：x−5∴x1=5+136，x（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=−2±∴x1＝﹣4，x2＝2．【变式6.1】．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）解方程：(1)3x2﹣(2)x−22﹣x【答案】(1)x1(2)x1【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．（1）解：原方程可化为3x∵a=3，b=-1，c=-3，∴b2∴x=1±得x1（2）∵(x−2)(x−3)=0，∴x-2=0或x-3=0，∴x1【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式6.2】．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）解方程(1)2(x−3)(2)x【答案】(1)x=6或x=0；(2)x1【分析】（1）利用直接开平方，再解一元二次方程即可；（2）利用解一元二次方程得公式法即可求解．（1）解：2(x−3)2−18=0∴2（x2−6x+9（2）解：x2−5x+3=0由x=−b±b2−4ac2a【点睛】本题考查一元二次方程的解法中的直接开平方与公式法，熟记一元二次方程的解法为关键．【变式6.3】（2020春•文登区期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2−53x配方得：x2−53x+2536=−1开方得：x−5∴x1=5+136，x（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=−2±∴x1＝﹣4，x2＝2．【考点7】根的判别式【例7】（2021•西城区二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值．【解析】（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴k−1≠0(−2解得：k≤2且k≠1．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程a−1x(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【答案】(1)见解析(2)a=0【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．（1）∵Δ=2a+1∵2a−12≥0∴Δ=2a−1∴此方程一定有两个不相等的实数根；（2）Δ=2a−1∴2a−12∴a1=0，a∵a≠1，

∴a=0，【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程px2+2p+1x+【答案】有两个不相等的实数根．【分析】先根据一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac结合第一个方程，可确定【详解】∵关于x的方程px∴Δ=b2解得：p>−18且∵关于x的方程x2−3x−2p=0的根的判别式∴Δ=9+8p>8，且Δ∴关于x的方程x2【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac【变式7.3】（2020春•雨花区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2−74=0有两个不相等的实数根x1（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式（x1x2）（x12+x22）的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合m为正整数，解之即可得出结论；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣1，x1x2=−34，将其代入（x1x2）（x12+x【解析】（1）∵方程x2+（2m﹣1）x+m2−7∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2−7解得：m＜2．∵m为正整数，∴m＝1，答：m的值为1；（2）∵m＝1，∴x2+x−3∵x1，x2是方程的根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2=−∴（x1x2）（x12+x22）=−34[（x1+x2）2﹣2x1x2]=−3【考点8】根与系数的关系【例8】（2021春•长沙期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．【分析】（1）根据方程的根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及（x1+1）（x2+1）＝4，即可得出关于k的分式方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，△＝b2﹣4ac＞0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．（2）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2=4k−1，x1x2∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即4k−1整理，得：k﹣1＝1，【变式8.1】（2022·江苏·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范围；(2)若m，n是方程的两根，且1m+1【答案】(1)k<2且k≠0(2)k=【分析】（1）根据题意可知b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，且k≠0，求出k的取值范围即可；（2）先用含k的代数式表示mn和m+n，再将1m+1（1）∵关于x的一元二次方程kx∴Δ=b2解得：k<2且k≠0．（2）根据题意m+n=−2k，由1m+1∴代入得：−2整理得：−2k=6k−1解得：k=3【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，掌握x1+x【变式8.2】．（2022·江苏·九年级课时练习）设x1，x2是关于x的一元二次方程(1)求m的取值范围；(2)若x12＋【答案】(1)m≥1(2)m【分析】（1）根据方程有两个根得到Δ=（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2（m＋1），x1x2=m（1）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴Δ=∴−2m即8m−8≥0，∴m≥1．（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴x1+x∵m≥1，∴x1+x∴x1＞0∵x12＋∴（x∴4（解得：m＝1或又∵m≥1，∴m＝【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出−2m＋12－【变式8.3】（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；（2）先提取公因式对等式变形为x1【解析】（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：x1由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．【变式8.5】（2021春•拱墅区校级月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．（1）试判断方程根的情况；（2）若方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，n＝1，求m的取值范围．【分析】（1）根据△的值，可以判断该方程根的情况，故只要计算△的值即可；（2）将n＝1代入方程，然后根据根与系数的关系x1•x2=−(m+1)m和x1•x2＞1，即可求得【解析】（1）∵一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，∴△＝n2﹣4m×[﹣（m+n）]＝（n+2m）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）将n＝1代入方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，得mx2+x﹣（m+1）＝0，∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，∴x1•x2=−(m+1)解得−12即m的取值范围是−12【考点9】配方法的综合应用【例9】（2020春•仪征市期末）阅读理解：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．方法应用：（1）已知a2+b2﹣10a+4b+29＝0，求a、b的值；（2）已知x+4y＝4．①用含y的式子表示x：x＝4﹣4y；②若xy﹣z2﹣6z＝10，求yx+z的值．【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即