九年级数学知识点【北师大版】：特殊的四边形九大考点精讲精练（原卷版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（月考+期中+期末）【北师大版】专题1.1特殊的四边形精讲精练【知识梳理】1.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积=122.菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形3.菱形的性质与判定（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．4.矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．5.矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6.矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．7.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8.正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．9.四边形综合问题（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【典例剖析】【考点1】菱形的性质【例1】（2021·天津市西青区杨柳青第二中学八年级期中）如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE,OE=5，BD=12，则菱形的周长为（

），面积为（

）A．40、96 B．20、48 C．40、192 D．20、24【变式1.1】（2022·山东·邹平市梁邹实验初级中学八年级期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线垂直 D．每一条对角线平分一组对角【变式1.2】（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校八年级阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（

）A．72 B．12 C．74【变式1.3】（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正确结论的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点2】菱形的判定【例2】（2022·福建·莆田哲理中学八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线AC=BD，则四边形EFGH是（）A．菱形 B．矩形C．平行四边形 D．以上都不是【变式2.1】（2021·内蒙古·霍林郭勒市第五中学八年级阶段练习）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（

）A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形【变式2.2】（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学八年级阶段练习）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（

）A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形【答案】D【变式2.3】（2022·北京师大附中八年级期中）如图，五边形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠A＝∠ABC＝∠CDE＝∠DEA＝120°，点G为BC中点，将△ABE沿BE对折后得到△FBE，以下四个结论：①四边形ABFE为菱形；②四边形BGDE为矩形；③DG＝2AB；④如果AB＝a，那么五边形ABCDE的面积为743a2，其中正确的结论有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考点3】菱形的性质与判定【例3】．（2021·天津市西青区杨柳青第二中学八年级期中）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，∠ABC:∠BAD=1:2(1)若AC=2，求BO的长．(2)在（1）的条件下，若BE∥AC，CE∥【变式3.1】（2021·重庆·垫江第八中学校八年级阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，请用尺规完成基本作图：作∠BAD的角平分线，交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF，猜想BE与FE的数量关系，并证明你的猜想【变式3.2】（2022·山东聊城·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=5．对角线AC,BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E，F(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．【变式3.3】（2022·广西桂林·八年级期末）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若DF=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的周长．【考点4】矩形的性质【例4】（2022·江苏·南通市八一中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（

）【变式4.1】（2022·江西·泰和水槎中学八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（

A．32 B．3 C．1 D．【变式4.2】（2022·江苏·江阴市陆桥中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为（）

A．485 B．325 C．245【变式4.3】（2022·福建·莆田哲理中学八年级阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一点，将△AEB沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上的点G处，则AE的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点5】矩形的判定【变式5.1】（2022·河北沧州·八年级期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，能够得到四边形ABCD是矩形的是（

）A．OA=OC B．AC=AD C．AB∥CD 【变式5.2】（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（

）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【变式5.3】（2022·山东威海·八年级期末）四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（

）A．当AB=CD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠BAD=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形【考点6】矩形的性质与判定【例6】（2022·浙江·义乌市宾王中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是BO、DO的中点，G、H分别是AD、BC的中点，顺次连接G、E、H、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若BD＝2AB．①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD=60°时，求四边形GEHF的面积．【变式6.1】（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．【变式6.2】（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．【变式6.3】（2022·山东东营·八年级期末）如图1．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝DC＝16，AD＝12，点E是CD边的中点，连接(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面积；(3)如图2，连接AC交BD于点O，点P为EC上一动点，连接OE、OP．将△OPD沿OP折叠得到△OPM，PM交OC于点N，当△PCN为直角三角形时，求CP的长．【考点7】正方形的性质【例7】（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在边BD上，且AE=CF，BG=DH，关于四边形EGFH，下列说法正确的个数是(

)①四边形EGFH一定是平行四边形且有无数个；②四边形EGFH可以是矩形且有无数个；③四边形EGFH可以是菱形且有无数个；④四边形EGFH可以是正方形且有无数个；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7.1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学八年级阶段练习）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变【变式7.2】（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（

）A．6 B．32 C．8 D．2【变式7.3】（2022·江苏·飞达路中学八年级阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点8】正方形的判定【例8】（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG=GF；②AG与EC一定不相等；③∠GDE=45°；④△BGE的周长是一个定值．其中正确的是（A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【变式8.1】（2022·河南南阳·八年级期末）下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（

）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AC⊥BC，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形【变式8.2】（2021·黑龙江绥化·八年级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC=BD时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形【变式8.3】（2022·安徽合肥·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【变式8.4】（2022·河南南阳·八年级期末）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c则正确的是（

）A．①② B．②③ C．