版高三名校数学（理）试题分省分项汇编：专题推理与证明、新定义（解析版）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精拔高题组1。【北京市朝阳区2013年高三二模试卷(理科）】定义运算，称为将点映到点的一次变换。若＝把直线上的各点映到这点本身,而把直线上的各点映到这点关于原点对称的点。则的值依次是()A.B.C.D。2。【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】在数列中,如果对任意的，都有（为常数)，则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题:①若数列满足，则该数列不是比等差数列；②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．其中所有真命题的序号是.考点：数列新定义。3.【北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列)各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作"。(1）数表如表1所示，若经过两“操”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作"后所得的数表(写出一种方法即可)；表1123101（2）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2(3）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作"以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数?请说明理由。则第一行之和为，第二行之和为,这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正,都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列)各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾,故结论成立。考点：新定义题型，数表问题。4.【北京市西城区2013年高三二模试卷(理科）】已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列；排列为排列的母列．（Ⅰ）当时，写出排列的生成列及排列的母列；(Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，定义变换：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明:一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列．(Ⅱ)证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与,即:,，,，．即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数．………………13分考点：1。分段函数;2。数列新定义。5。【北京市昌平区2013届高三第二次质量抽测数学试题(理科）】设数列对任意都有(其中、、是常数）．（I）当,，时,求；（II）当，，时，若，，求数列的通项公式；(III）若数列中任意(不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列"。当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．∴=………………….4分取，则，不合题意。当时，,，则6。【北京市朝阳区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题(理科）】已知实数()满足，记．（Ⅰ）求及的值；(Ⅱ）当时，求的最小值；(Ⅲ）求的最小值．注：表示中任意两个数,（）的乘积之和。当(）时，．①当为偶数时，，若取，，则，所以．②当为奇数时，因为,所以，若取,，则，所以．…………13分考点：1.推理证明;2。数列新定义;3.数列求和7.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考（二)数学试题（理科)】已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由；(2)求证:；（3）已知数集具有性质．证明:数列是等差数列．,故考点：1.推理证明；2.数集新定义；8.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3,5,4，7的创新数列为3,5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（Ⅰ）若，写出创新数列为3，5，5，5,5的所有数列；（Ⅱ）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在,求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列?若存在，求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由．(Ⅲ)存在数列，使它的创新数列为等差数列，设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等差数列，设公差为，考点：1.推理证明;2.数列新定义；9。【北京市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科)】已知等差数列的通项公式为an=3n—2,等比数列中，.记集合，，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列.（Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列的前4项；（Ⅱ)把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，求数列的通项公式，并说明理由；（Ⅲ)求数列的前n项和【答案】(Ⅰ)1，2，4,7；（Ⅱ）详见解析;(Ⅲ)【解析】试题分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，，则q3=8,q=2，bn=2n-1，……………….。2分若②成立,即有，有或者,显然=N＊，所以。综上所述，.………..14分考点：1.推理证明;2。数列新定义；10.【北京市海淀区2013届高三5月模拟】设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。123101(Ⅰ）数表如表1所示，若经过两次“操作"，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作"后所得的数表(写出一种方法即可）；表1（Ⅱ）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作"以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由。试题解析：法1：法2：法3：…3分当时,则接下来操作第二行此时第4列和为负,不符合题意。…6分②如果首先操作第一行则每一列之和分别为，，,