第18课代数式的值（教师版）-七年级数学上册讲义（浙教版）

第18课代数式的值目标导航目标导航学习目标1.理解代数式的值的概念.2.会求代数式的值.3.会用代数式解决简单实际问题.知识精讲知识精讲知识点01代数式的值用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.能力拓展考点01代数式的值能力拓展【典例1】当x＝2，时，求下列各代数式的值：（1）xy；（2）x2+y2．【思路点拨】将已知数值分别代入各代数式中计算即可．【解析】解：（1）当x＝2，y＝﹣时，原式＝2×（﹣）＝﹣3；（2）当x＝2，y＝﹣时，原式＝22+（﹣）2＝4+＝．【点睛】本题考查代数式求值，将已知数值代入代数式并进行正确的计算是解题的关键．【即学即练1】当x＝2，y＝﹣3时，求2x2﹣xy﹣y2的值．【思路点拨】把x＝2，y＝﹣3代入代数式计算求值即可．【解析】解：当x＝2，y＝﹣3时，原式＝2×22﹣×2×（﹣3）﹣×（﹣3）2＝8+3﹣3＝8．【点睛】本题考查了代数式求值，掌握实数的混合运算，是解决本题的关键．考点02整体代换求代数式的值【典例2】先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的问题．例题：已知代数式9﹣6y﹣4y2＝7，求2y2+3y+7的值．解：由9﹣6y﹣4y2＝7，得﹣6y﹣4y2＝7﹣9，即6y+4y2＝2，因此2y2+3y＝1，所以2y2+3y+7＝8．问题：已知代数式15x+3﹣20x2的值是﹣2，求8x2﹣6x+3的值．【思路点拨】已知等式变形求出15x﹣20x2的值，原式变形后代入计算即可．【解析】解：由15x+3﹣20x2＝﹣2，得到15x﹣20x2＝﹣5，即﹣4x2+3x＝﹣1，则8x2﹣6x+3＝2（﹣4x2+3x）+3＝2×（1）+3＝5．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【即学即练2】求代数式求值．（1）若a﹣2b＝4，求代数式3a﹣6b+9的值．（2）当x＝1时，代数式的值是7，则当x＝﹣1时，求这个代数式的值．【思路点拨】（1）把原式化为3（a﹣2b）+9，再把a﹣2b＝4代入计算；（2）先求出x＝1时，a﹣3b＝3，再求出x＝﹣1时，原代数式的值．【解析】解：（1）∵3a﹣6b+9＝3（a﹣2b）+9，∴当a﹣2b＝4时，原式＝3×4+9＝21；（2）∵当x＝1时，代数式12ax3﹣3bx+4的值是7，∴12a﹣3b+4＝7，∴12a﹣3b＝3，∵x＝﹣1时，原式＝﹣12a+3b+4＝﹣3+4＝1．【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解题关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1.当x＝﹣1时，代数式﹣x2﹣2x+1的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．4【思路点拨】把x＝﹣1代入求出即可．【解析】解：当x＝﹣1时，代数式﹣x2﹣2x+1＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝2，故选：B．【点睛】本题考查了求代数式的值，能正确进行计算是解此题的关键．2.已知x﹣y＝5，则多项式（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣10的值为（）A．25 B．30 C．35 D．45【思路点拨】将已知数值代入原式中计算即可．【解析】解：∵x﹣y＝5，∴（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣10＝52+2×5﹣10＝25+10﹣10＝25，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，将已知数值代入代数式中并进行正确的计算是解题的关键．3.某程序如图所示，当输入x＝﹣4时，输出的值为（）A． B． C． D．【思路点拨】输入x＝﹣4，由题意列式计算即可．【解析】解：输入x＝﹣4，则[﹣（﹣4）2﹣]÷（﹣3）＝（﹣16﹣）×（﹣）＝﹣×（﹣）＝，即输出的结果为：，故选：C．【点睛】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．4.若多项式a2+2a+3的值为8，则多项式2a2+4a+10的值为（）A．20 B．32 C．0 D．12【思路点拨】根据a2+2a+3的值为8，得到a2+2a＝5，整体代入，进行计算即可．【解析】解：∵多项式a2+2a+3的值为8，∴a2+2a＝5，∴2a2+4a+10＝2（a2+2a）+10＝2×5+10＝20；故选：A．【点睛】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握整体代入法，是解题的关键．5.若2x﹣3y﹣7＝6，则代数式2022+9y﹣6x等于（）A．1983 B．2009 C．2012 D．2035【思路点拨】根据已知条件，得到2x﹣3y＝13，再将其代入变形后的代数式，即可得到答案．【解析】解：∵2x﹣3y﹣7＝6，∴2x﹣3y＝13，∴2022+9y﹣6x＝2022﹣3（2x﹣3y）＝2022﹣3×13＝2022﹣39＝1983，故选：A．【点睛】本题考查了代数式求值，利用整体代入的思想解决问题是解题关键．6.已知a+b＝3，ab＝﹣1，则2a+2b﹣3ab＝9．【思路点拨】直接利用提取公因式法分解因式进而代入数据求出答案．【解析】解：∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴2a+2b﹣3ab＝2（a+b）﹣3ab＝2×3﹣3×（﹣1）＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确运用提取公因式法分解因式是解题关键．7.若a﹣3b＝4，则（a﹣3b）2+3b﹣a﹣13＝﹣1．【思路点拨】将原式化为含有a﹣3b的形式，再整体代入计算即可求解．【解析】解：∵a﹣3b＝4，∴原式＝（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）﹣13＝42﹣4﹣13＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，将原式化简后，把a﹣3b整体代入计算可求解．8.当a＝2，b＝﹣3时，求下列代数式的值：（1）（a﹣b）2；（2）a2﹣2ab+b2．【思路点拨】（1）把a＝2，b＝﹣3代入（a﹣b）2中进行计算即可得出答案；（2）先把a2﹣2ab+b2化成（a﹣b）2，再把把a＝2，b＝﹣3代入（a﹣b）2中计算即可得出答案．【解析】解：（1）当a＝2，b＝﹣3时，（a﹣b）2＝[2﹣（﹣3）]2＝52＝25；（2）当a＝2，b＝﹣3时，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝[2﹣（﹣3）]2＝52＝25．【点睛】本题主要考查了代数式求值及完全平方式的应用，熟练掌握代数式求值的方法及完全平方式的应用进行求解是解决本题的关键．9.当a＝3，b＝﹣1时，（1）求代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的值；（2）猜想这两个代数式的值有何关系？（3）根据（1）（2），请你用简便方法算出a＝2026，b＝2025时，a2﹣b2的值．【思路点拨】（1）把a＝3，b＝﹣1代入，求出代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的值各是多少即可．（2）根据（1）中求出的结果，判断出这两个代数式的值有何关系即可．（3）根据（1）（2）的结论，用简便方法算出a＝2026，b＝2025时，a2﹣b2的值是多少即可．【解析】解：（1）当a＝3，b＝﹣1时，a2﹣b2＝32﹣12＝9﹣1＝8，（a+b）（a﹣b）＝（3﹣1）×（3+1）＝2×4＝8．（2）根据（1）中求出的两个算式的结果，猜想这两个代数式的值相等；（3）a＝2026，b＝2025时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（2026+2025）×（2026﹣2025）＝4051×1＝4051．【点睛】本题考查代数式求值，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．题组B能力提升练10.当x＝2时，代数式ax3﹣bx+1的值为10，则当x＝﹣2时这个代数式的值为（）A．10 B．﹣10 C．8 D．﹣8【思路点拨】首先根据当x＝2时，代数式ax3﹣bx+1的值为10得8a﹣2b＝9，然后将x＝﹣2及8a﹣2b＝9代入代数式ax3﹣bx+1之中即可得出答案．【解析】解：∵当x＝2时，代数式ax3﹣bx+1的值为10，∴当x＝2时，a×23﹣b×2+1＝10，整理得：8a﹣2b＝9，当x＝﹣2时，ax3﹣bx+1＝a×（﹣2）3﹣b×（﹣2）+1＝﹣8a+2b+1＝﹣（8a﹣2b）+1＝﹣9+1＝﹣8．故选：D．【点睛】此题主要考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式值的方法与技巧，理解整体思想的应用是解决问题的关键．11.若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是最小的正整数，则a+b+c＝0．【思路点拨】根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．【解析】解：根据题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝1，则原式＝﹣1+0+1＝0，故答案为：0【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.已知m，n互为相反数，x，y互为倒数，则代数式5m﹣4xy+5n的值为﹣4．【思路点拨】根据倒数的定义，相反数的概念，可求m+n＝0和xy＝1，从而求出代数式的值．【解析】解：根据题意知m+n＝0，xy＝1，则原式＝5（m+n）﹣4xy＝5×0﹣4×1＝0﹣4＝﹣4，故答案为：﹣4．【点睛】主要考查相反数、倒数的概念及性质和代数式的求值．相反数的定义：若两个数的和是0，我们就称这两个数互为相反数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．13.已知|x﹣y|＝y﹣x，|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝5或1．【思路点拨】根据绝对值的定义，由|x﹣y|＝y﹣x可得x≤y．另外，由|x|＝2，|y|＝3可得x＝±2，y＝±3，进而推断出x+y的值．【解析】解：∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y≤0．∴x≤y．又∵|x|＝2，|y|＝3，∴x＝±2，y＝±3．当x＝2，则y＝3，此时x+y＝5．当x＝﹣2，则y＝3，此时x+y＝1．综上：x+y＝5或1．故答案为：5或1．【点睛】本题属于易错题，主要考查绝对值的定义，有理数的大小比较以及分类讨论的思想．14.（1）若|a|＝3，|b|＝4，求a+b的值；（2）若|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，求a+b的值；（3）若|a|＝3，|b|＝4，且|a+b|＝﹣（a+b），求a+b的值．【思路点拨】（1）根据绝对值的意义确定a和b的值，然后分情况代入计算求值；（2）根据绝对值的意义结合有理数的大小比较确定a和b的值，然后分情况代入计算求值；（3）根据绝对值的意义确定a和b的值，然后分情况代入计算求值．【解析】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，①当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7，②当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝3﹣4＝﹣1，③当a＝﹣3，b＝4时，a+b＝﹣3+4＝1，④当a＝﹣3，b＝﹣4时，a+b＝﹣3﹣4＝﹣7，综上，a+b的值为±1或±7；（2）∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，又∵a＞b，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝3﹣4＝﹣1，当a＝﹣3，b＝﹣4时，a+b＝﹣3﹣4＝﹣7，综上，a+b的值为﹣1或﹣7；（3）∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，又∵|a+b|＝﹣（a+b），∴a+b＜0，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝3﹣4＝﹣1，当a＝﹣3，b＝﹣4时，a+b＝﹣3﹣4＝﹣7，综上，a+b的值为﹣1或﹣7．【点睛】本题考查代数式求值，绝对值的意义，理解绝对值的意义，有理数加减法运算法则，利用分类讨论思想解题是关键．15.已知：a2+2ab＝﹣2，b2﹣2ab＝6，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）3a2﹣2ab+4b2．【思路点拨】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解析】解：∵a2+2ab＝﹣2，b2﹣2ab＝6，∴（1）原式＝（a2+2ab）+（b2﹣2ab）＝6﹣2＝4；（2）原式＝3（a2+2ab）+4（b2﹣2ab）＝﹣6+24＝18．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.已知：当x＝2，y＝﹣4时，代数式，求：当时，代数式3ax﹣24by3+2023的值．【思路点拨】把x＝2，y＝﹣4代入得出8a﹣2b+5＝7，求出4a﹣b＝1，把代入3ax﹣24by3+2023得出﹣12a+3b+2023，变形后代入，即可求出答案．【解析】解：把x＝2，y＝﹣4代入得：8a﹣2b+5＝7，整理得：4a﹣b＝1，当时原式＝﹣12a+3b+2023＝﹣3（4a﹣b）+2023＝﹣3×1+2023＝﹣3+2023＝2020，即当时，代数式3ax﹣24by3+2023的值是2020．【点睛】本题考查了求代数式的值，能求出4a﹣b＝1是解此题的关键．17.图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．明明同学在做作业时采用的方法如下：由题意得3（a2+2a）+2＝3×1+2＝5，所以代数式3（a2+2a）+2的值为5．【方法运用】：（1）若代数x2﹣2x+3的值为5，求代数式3x2﹣6x﹣1的值；（2）当x＝1时，代数式ax3+bx+5的值为8．当x＝﹣1，求代数式ax3+bx﹣6的值；（3）若x2﹣2xy+y2＝20，xy﹣y2＝6，求代数式x2﹣3xy+2y2的值．【思路点拨】（1）根据题意得出x2﹣2x+3＝5，求出x2﹣2x＝2，变形后代入，即可求出答案；（2）根据题意求出a+b+5＝8，求出a+b＝3，再把x＝﹣1代入代数式，最后整体代入，即可求出答案；（3）代数式x2﹣2xy+y2＝20减去代数式xy﹣y2＝6，即可得出答案．【解析】解：（1）根据题意得：x2﹣2x+3＝5，即x2﹣2x＝2，所以3x2﹣6x﹣1＝3（x2﹣2x）﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5；（2）∵当x＝1时，代数式ax3+bx+5的值为8，∴a+b+5＝8，∴a+b＝3，当x＝﹣1时，ax3+bx﹣6＝a×（﹣1）3+b×（﹣1）﹣6＝﹣a﹣b﹣6＝﹣（a+b）﹣6＝﹣3﹣6＝﹣9；（3）∵①x2﹣2xy+y2＝20，②xy﹣y2＝6，∴①﹣②，得x2﹣2xy+y2﹣（xy﹣y2）＝20﹣6，整理得：x2﹣3xy+2y2＝14．【点睛】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．18.清溪学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球30个，跳绳x条（x＞30）．（1）若在A网店购买，需付款（20x+2400）元，若在B网店购买，需付款（18x+2700）元；（用含x的代数式表示）（2）当x＝100时，通过计算说明在哪家网店购买较为合算？（3）当x＝100时，请你设计一种更为省钱的购买方案，并计算需付款多少元？【思路点拨】（1）根据A网店和B网店的优惠方案，列出代数式即可；（2）将x＝100代入（1）中所列的代数式进行计算即可得出答案；（3）共有三种购买方案：方案一：在A网店购买，方案二：在B网店购买，方案三：在A网店购买30个足球，送30根跳绳，在B网店购买70根跳绳，根据每一种方案计算出所需付款数，然后进行比较即可得出答案．【解析】解：（1）在A网店购买，需付款：100×30+20（x﹣30）＝（20x+2400）元，在B网店购买，需付款：（100×30+20x）×90%＝（18x+2700）元，故答案为：（20x+2400），（18x+2700）．（2）当x＝100时，在A网店购买，需付款：20x+2400＝4400（元），在B网店购买，需付款：18x+2700＝18×100+2700＝4500（元），∵4400＜4500，∴在A网店购买较为合算．（3）当x＝100时，共有三种购买方案：方案一：在A网店购买，由（2）可知需付款4400元；方案二：在B网店购买，由（2）可知需付款4500元；方案三：先在A网店购买30个足球，送30根跳绳，需付款：100×30＝3000（元），在B网店购买70根跳绳，需付款：20×70×90%＝1260（元），此时共付款：3000+1260＝4260（元）．∵4260＜4400＜4500，∴在A网店购买30个足球，送30根跳绳，在B网店购买70根跳绳，最省钱，共需付款4260元．【点睛】此题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解题意，熟练掌握打折销售是解决问题的关键．题组C培优拔尖练19.我们把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示．例如x＝2时，多项式f（x）＝ax3﹣bx+5的值记为f（2）．若f（2）＝8，则f（﹣2）的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【思路点拨】根据：f（x）＝ax3﹣bx+5的值记为f（2），f（2）＝8，可得：8a﹣2b+5＝8，据此求出8a+2b的值是多少，即可求出f（﹣2）的值是多少．【解析】解：∵f（x）＝ax3﹣bx+5的值记为f（2），f（2）＝8，∴8a﹣2b+5＝8，∴8a﹣2b＝3，∴f（﹣2）＝﹣8a+2b+5＝﹣（8a﹣2b）+5＝﹣3+5＝2．故选：A．【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，以及代数式求值问题，要熟练掌握．20.如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2020次输出的结果为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣2【思路点拨】把x＝2代入运算程序中计算，找出其中的规律即可．【解析】解：把x＝2代入运算程序得：×2＝1，把x＝1代入运算程序得：1﹣5＝﹣4，把x＝﹣4代入运算程序得：﹣4×＝﹣2，把x＝﹣2代入运算程序得：﹣2×＝﹣1，把x＝﹣1代入运算程序得：﹣1﹣5＝﹣6，把x＝﹣6代入运算程序得：﹣6×＝﹣3，把x＝﹣3代入运算程序得：﹣3﹣5＝﹣8，把x＝﹣8代入运算程序得：﹣8×＝﹣4，依此类推，除去第一项，分别以﹣4，﹣2，﹣1，﹣6，﹣3，﹣8循环，∵（2020﹣1）÷6＝2019÷6＝366…3，∴第2020次输出的结果为﹣1．故选：A．【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．21.当整数m＝0或1时，代数式的值是整数．【思路点拨】由题可分析知要使代数式的值是整数，3m﹣1只能在±1、±2、±3、±6这四个数中取值，由此可依次求出m的值，再由m为整数知，只能为0或1．【解析】解：∵要使代数式的值是整数，∴3m﹣1只能在±1、±2、±3、±6这四个数中取值，∵当3m﹣1＝1时，∴m＝，当3m﹣1＝﹣1时，m＝0，当3m﹣1＝2时，m＝1，当3m﹣1＝﹣2时，m＝﹣，当3m﹣1＝3时，m＝，当3m﹣1＝﹣3时，m＝﹣，当3m﹣1＝6时，m＝，当3m﹣1＝﹣6时，m＝﹣，又∵m也是整数，∴可得m＝0或1，故答案为0或1．【点睛】本题主要考查代数式求值问题，结合整数的简单知识，认真分析，也易得出结果，注意不要漏掉可能的结果．22.由表格信息可知，若x的值为1时，代数式3x+3的值为6，m为常数，则a的值为1，b的值为2，c的值为﹣4．x1bc2x﹣1a3m3x+369m【思路点拨】将x的值代入2x﹣1可得a，b的值，将c代入3x+3可得c的值．【解析】解：∵当x＝1时，2x﹣1＝2×1﹣1＝1，∴a＝1；∵当x＝b时，2x﹣1＝2b﹣1＝3，∴b＝2；∵当x＝c时，2x﹣1＝2c﹣1＝m，3x+3＝3c+3＝m（m为常数），∴2c﹣1＝3c+3，∴c＝﹣4．故答案为：1，2，﹣4．【点睛】本题主要考查了代数式求值，运用代入法是解答此题的关键．23.已知（x﹣1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a1+a2+…+a2021＝1．【思路点拨】令x＝1代入求值可得a0+a1+a2+a3+…+a2021＝0，令x＝0可得a0＝﹣1，易得结果．【解析】解：当x＝1时，a0+a1+a2+a3+…+a2021＝（1﹣1）2021＝0；当x＝0时，a0＝（0﹣1）2021＝﹣1，a1+a2+a3+…+a2021＝0﹣（﹣1）＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了代数式求值，关键是取特殊值代入求解．24.【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．代数式x2+x+3的值为9，则代数式2x2+2x﹣3的值为﹣25．【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得x2+x+3＝9，则有x2+x＝6，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×6﹣3＝9．所以代数式2x2+2x﹣3的值为9．【方法运用】（1）若代数式x2+x+1的值为15，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值．（2）若x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为11，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值．【拓展应用】若a2﹣ab＝25£¬ab﹣b2＝﹣15，a