九年级数学配套课件：二次函数与一元二次方程12

第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.

新课导入以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的关系.如果我们从二次函数的角度看一元二次方程，那么二次函数与一元二次方程又有什么关系呢？先来看下面的问题.问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，考虑以下问题：

新知探究（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.解：解方程15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.h=20t-5t2

新知探究结合上图，思考为什么在两个时间求的高度都为15m？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当小球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2

新知探究你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无实数根.即小球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2

新知探究你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht小球飞出和落地时的高度都为0，解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2

新知探究从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．

新知探究一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0又可以看作已知二次函数的值为0，求自变量x的值．思考：观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.

新知探究1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个

新知探究x2-x+1=0，无解1个0x2-6x+9=0，x1=x2=32个-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1观察图象，完成下表：归纳总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac

=0没有交点没有实数根b2-4ac<0

新知探究例1已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12

＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.

新知探究例2求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.

分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.

新知探究解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.y=x²-2x-1

新知探究

先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.

新知探究例4已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1B

新知探究

注意：

解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．判别式△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOy△>0△＝0△＜0x1;x2x1=x2＝－b/2a没有实数根x<x1或x>x2x≠x1的一切实数所有实数x1<x<x2无解无解

课堂小结1.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线

运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？

课堂训练解

（1）由抛物线的表达式得

即解得

即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？

课堂训练（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得

即解得

即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.

课堂训练（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？

课堂训练

函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是__________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3拓广探索

课堂训练1．（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）

课堂训练

中考链接A．（3.5，0）B．（3，0）D．（2，0）C．（2.5，0）B2．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧

B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）

C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4