百校联盟高二下学期开学测试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020年春季开学测试（高二年级）数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1。已知集合，，则（）A。 B。C。或 D.或【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、,再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以或,因为，所以,所以.故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算,属于基础题.2.设，,，则(）A. B. C. D。【答案】C【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可比较大小；【详解】解：,,，。故选：【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题。3.“赌金分配"是概率论中非常经典的问题．在一次赌局中,两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局,由于时间很晚了,他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立,那么全部赌金的合理分配方案为()A。甲分，乙分 B.甲分,乙分C.甲分，乙分 D。甲分，乙分【答案】C【解析】【分析】首先计算出甲赢的概率为，乙赢的概率为，由此能求出结果．【详解】解:题意得：甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以应该分给甲，分给乙。故选:【点睛】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4.函数最小值为（）A. B。4 C。6 D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，判断函数的单调性，即可求出的最小值．【详解】解:因为,所以则当时所以在上为增函数,.故选：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,函数的最值，属于基础题。5.为了提高广大农村的医疗水平，现要把市医院的甲、乙、丙、丁4名医生安排到古月、小觉和燕尾沟3个农村，每名医生只能安排到1个农村,每个农村至少有1名医生,则不同的安排方案有()A。24种 B。36种 C。64种 D.81种【答案】B【解析】【分析】分两步完成①将4名医生分成3组，②将分好的三组全排列,安排到3个农村，再按照分步乘法计算原理计算可得;【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名医生分成3组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3个农村，有种情况，则有种不同的安排方案。故选：【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，简单的排列组合问题,属于基础题。6.今年是新中国成立70周年．70年来,在中国共产党的坚强领导下，全国各族人民团结心，迎难而上，开拓进取,奋力前行,创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．某公司统计了第年(2013年是第一年）的经济效益为(千万元)，得到如下表格:345625344.5若由表中数据得到关于的线性回归方程是，则可预测2020年经济效益大约是（）A.5。95千万元 B。5。25千万元 C。5.2千万元 D。5千万元【答案】A【解析】【分析】首先求出样本点的中心点坐标，再代入回归方程求出参数的值,再将代入求值即可；【详解】解：由表格中的数据求得，．所以样本点的中心坐标为,代入，得，解得．∴线性回归方程为，取，得.故选:【点睛】本题考查根据样本中心点求回归方程中参数的值，以及利用回归方程估计数据，属于基础题。7.存在无穷多个素数，使得是素数,素数对称为孪生素数．在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数，这两个数为孪生素数的概率是（）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先列出在不超过40的素数中所有的素数，再找出能够组成孪生素数的个数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：在不超过40的素数中所有的素数有：2,3，5，7，11，13,17,19，23，29，31，37，共12个．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数有5个，即（3,5）,（5,7），(11，13），（17，19），(29，31)．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是.故选:【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.8.正四面体的外接球与内切球的表面积比为（）A。 B。 C. D.不确定【答案】A【解析】【分析】利用正四面体中心即为外接球和内切球的球心，且为高的四等分点，设正四面体的棱长为，可得两个球半径，进而得面积比．【详解】解:如图,正四面体的中心即为外接球与内切球的球心,设正四面体的棱长为,可得,,又,，，，．所以故选：【点睛】本题考查正四面体外接球和内切球，属于中档题．9.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止。设士兵甲一次射击命中目标的概率为，射击次数为，若的数学期望，则的取值范围是（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意的所以可能取值为、、，，，,即可表示出，再根据且的到不等式组,解得即可；【详解】解：依题意的所以可能取值为、、，，，,且，解得.故选:【点睛】本题考查简单的离散型随机变量的数学期望的计算,一元二次不等式的解法，属于中档题。10.展开式中的项的系数是（）A.5103 B.21 C. D.945【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，，再令,解得，即可求出展开式中项的系数;【详解】解：展开式的通项公式为：，令,解得,所以展开式中项的系数是。故选：【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，关键是写出展开式的通项,属于基础题.11.已知函数，若方程的两个不同根分别为,则的最小值为()A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由，解得，或，即可求出的最小值；【详解】解：由，得，所以，或，；即，或，所以方程的两个不同的根分别为，则最小值为.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用,属于中档题。12。已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（）A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为,得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为,求解三角形可得，由，即可得到所求范围．【详解】解：记边、、上的切点分别为，则，，，由,即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，,所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.故选:【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念,考查三角函数的化简和求值，属于难题．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．13.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】【分析】首先根据向量的数量积的坐标表示求出，再根据向量的数量积的运算律得到，解得即可；【详解】解：因为,,所以所以，所以。故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算律及坐标表示，属于基础题。14.命题，,则为_____.【答案】,【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可;【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，命题，，为全称命题；所以：,故答案为：，【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题。15.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于第一象限点，交抛物线的准线于点，若，则_____。【答案】【解析】【分析】过点作准线的垂线，垂足为,由抛物线的定义可得，由则从而计算可得；【详解】解：过点作准线的垂线，垂足为,由抛物线的定义可得,由,得.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题。16.在四面体中，，，，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是______。【答案】【解析】【分析】设，的外心分别为，过分别作平面和平面的垂线，则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，计算出外接球的半径即可求出球的面积;【详解】解：设，外心分别为，过分别作平面和平面的垂线,则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，则，在四边形，，，所以，,所以四面体外接球的半径为，所以四面体的外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算以及二面角的计算,属于中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.数列满足:（1)求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和。【答案】（1);（2)。【解析】【分析】(1）利用时,求解；检验成立即可求解（2)由，得，利用错位相减求和即可【详解】(1）令时，时，，满足所以;（2)由，①②①②得【点睛】本题考查利用前n项和求通项公式，考查错位相减求和,准确利用前n项和求出通项公式是关键，是中档题18。已知的内角、、所对的边分别为、、。且。（1）求角；（2）若的面积为，求周长的最小值。【答案】（1);（2）.【解析】【分析】（1)根据三角形中隐含条件以及三角恒等变换的公式得到的正切值，然后计算出的结果；（2）利用余弦定理和面积公式求解出的最小值，再将周长用含的式子表示,即可求解出周长的最小值，注意取等号条件的说明.【详解】（1)，且，，，，且，,。(2)由,得。又,，（当且仅当时取等号),，，，周长的最小值为.【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合，难度一般.（1)解三角形过程中要注意对隐含条件的使用;（2）已知三角形的面积时，可利用余弦定理得到三角形其中一条边与另外两边之和的等量关系.19。如图，直四棱柱,,底面是边长为4的菱形，且,为中点．（1）求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1)详见解析；（2）。【解析】【分析】（1)由已知可得，，由线面垂直判定定理可得平面；（2）分别以、、为轴建立坐标系，利用空间向量法求出二面角余弦值；【详解】解：（1）由四边形是菱形，且,是正三角形，所以,又四棱柱是直四棱柱，平面，又平面,,又，平面，平面,所以平面。（2）由（1）知，，所以分别以、、为轴建立坐标系，如图所示,则,，。,,，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则有,解得，所以，，解得，所以，设二面角的平面角为，可知为钝角,则，所以二面角的余弦值是。【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量法求二面角，属于中档题.20。已知函数。（1）证明：函数在上单调递增;（2）令,若对恒成立,求实数的取值范围．【答案】（1）详见解析;（2）.【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判定符号、下结论的步骤完成即可；（2）由已知可得，令,由（1）知,则,在上恒成立，再对对称轴分类讨论即可得解；【详解】解:(1）任取，，且设.，，且设，，,，，∴函数在上单调递增。(2)，设，由（1）知,当时，，，，当时，，解得；当时，，无解.∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查定义法证明函数的单调性，不等式恒成立问题，考查转化化归思想，属于中档题。21。如图,已知点，点均在圆上,且，过点作的平行线分别交，于两点.(1）求点的轨迹方程;（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点．问是否存在常数，使得点为定值？若存在,求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1)；（2）存在常数符合题意，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由平面几何的相关性质可得，则，即点的轨迹是以为焦点的椭圆，再求出椭圆的标准方程即可；（2)当直线的斜率存在时，设，，，联立直线方程与椭圆方程，消元列出韦达定理，则代入计算可得的值，再计算斜率不存在时的值，即可得解；【详解】解:（1)由,得,由，得,所以.由，知，所以，即，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆。这里，，所以，，则点的轨迹方程为:.（2)当直线与轴不垂直时，设，，，联立得,其判别式,所以，，,所以当时,，此时为定值.当直线的斜率不存在时，.综上,存在常数，使得为定值。【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程,直线与椭圆综合问题，属于中档题。22。绿色已成为当今世界主题,绿色动力已成为时代的驱动力,绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布,经计算第（1)问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；（ⅰ)现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到）,若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列,并解释此方案能否成功吸引