2022年暑假沪教版新九年级数学-第8讲 平面向量的线性运算（教师版）

第8讲平面向量的线性运算

【学习目标】

平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容.在八年级下学期第三章第四节“平面

向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基

础上.本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难

点是在几何图形中对目标向量进行线性表示.

【基础知识】

—：实数与向量相乘

1.平面向量的相关概念

向量：既有大小、又有方向的量叫做向量：

向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6；

相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；

平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.

2.平面向量的加减法则

几个向量相加的多边形法则；

向量减法的三角形法则；

向量加法的平行四边形法则.

3.实数与向量相乘的运算

设k是一个实数，£是向量，那么k与£相乘所得的积是一个向量，记作日.

如果火工0,且aw。，那么心的长度恂=陶利；

的方向：当k>0时与〃同方向；当k<0时与。反方向.

如果k=0或£=6,那么%£=0.

4.实数与向量相乘的运算律

设m、"为实数，则

；(w+n)a=ma+na；m^a+b^=ma+mb.

平行向量定理

如果向量B与非零向量£平行，那么存在唯一的实数m,使石=

5.单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设e为单位向量，则忖=1.

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同.

对于任意非零向量入与它同方向的单位向量记作曲.

由实数与向量的乘积可知：〃

二：向量的线性运算

1.向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.

2伍+39、等+［一到

如2a+、a-3b£-分等，都是向量的线性运算.

一般来说，如果£、B是两个不平行的向量，2是平面内的一个向量，那么"可以用£、B表示，并且通常

将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数.

2.向量的合成与分解

如果。、B是两个不平行的向量，c=+（m、n是实数），那么向量c就是向量机。与的合成；也

可以说向量c分解为〃?”、两个向量，这时，向量，〃。与是向量c分别在a、B方向上的分向量，ma+nb

是向量"关于a、B的分解式.

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.

【考点剖析】

考点一：实数与向量相乘

「工例L下列命题中的假命题是（

)

（A）向量A月与胡的长度相等

（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同

（C）只有零向量的长度等于0

（D）平行的单位向量都相等

【难度】★

【答案】D

【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量.

【总结】此题主要考查向量的相关概念.

P工例2.填空：

AB+BC=；AB+BC+CA=

AB+BC+BA=；AE+FC+EF=

AB-AC+BC=；OA+BC-OC=

【难度】★

【答案】AC；6；BC；AC；6；BA.

【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如荏-/=而是利用减法法

则，箭头指向被减数，同时通-/=荏+m=臣+通=丽，这样运算复杂了，但也是一种思路.

【总结】此题主要考查向量的加减运算法则.

例3.如图，已知平行四边形A8CD,对角线AC与8。相交于点。.设。4=£,OB=b,试用£、b

表示下列向量:

OC,OD,AB,BC,CD,DA.

【难度】★

【答案】OC=-a；OD=-b；AB=b-a；BC=-b-a；CD=a-b；DA=a+b.

【解析】利用平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质来求解以上向量：。右=-。4=-。；

OD=—OB=—b：AB=OB-OA=b—a：BC=OC-OB=-a—b-,CD=—AB=a—bDA.=—BC=a+b.

【总结】此题主要考查向量的加减运算法则.

7(“+5)-4(a-+34=

；（。+@一；（£叫=--------

【难度】★

【答案】-15a；6a+1区;工。+*尻

66

【解析】（1）（—3）x52=—153；

（2）7（a+B）-4（a-B）+3a=7a+7B-44+4B+3〃=6a+llB；

（3）如+®一扣叫f2

【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则.

用单位向量e表示下列向量:

（1）〃与e方向相同，且长度为9；

（2）B与e方向相反，且长度为5；

（3）2与工方向相反，且长度为3.

5

【难度】★

【答案】a=9e；b=-5e；c=--e.

5

【解析】此题主要考查用单位向量工来表示已知向量，a=9e；b=-5e^=~e.

6.如图，己知点。、E分别在AABC的边AB、AC上，DE//BC,4。=4,80=7,试用向量圮表

【难度】★★

【答案】DE=—W.

11

【解析】VAD=4,BD=1,又•：DEIiBC,A—=—.：.DE=—BC.

AB11BCAB11

【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注

意方向是否相同.

列7.下列说法中，正确的是（）

A.一个向量与零相乘，乘积为零

B.向量不能与无理数相乘

C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

【难度】★★

【答案】D

【解析】4选项向量与零相乘，结果是零向量；8选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个

负数，方向与原向量相反，长度不确定.

【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则.

例8.如图，在平行四边形ABC。中，E、F分别是AB、AD的中点，且人尸二孔AE=b,用人坂表

示丽，其结果是.

【难度】★★

【答案】DB=2b-2a.

【解析】DB=DA+AB=2FA+2AE=2AE-2AF=2b-2a.

【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则.

9.如果囱=5,同=3,那么网的取值范围是.

【难度】★★

【答案】24网48.

【解析】|祠=伊-西，当。、4、B三点共线时，|丽-丽分别取最大值与最小值，丽丽同向时取最

小值2,方向相反时取最大值8,所以福卜8.

【总结】此题主要考查向量的模的概念.

(2)3(2自+55)-2(3£-孙

(3)l(2a+^-3c)-3^-^.

【难度】★★

【答案】(1)--a--bi(2)176；(3)a-b+-c.

222

(2)3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+\5b-6a+2b^nb；

(3)—(2a+h—3c\—3\—h—c\=a+—h-—c——h+3c=a—h+—c.

2、712J2222

【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”.

i'll例£.设'B是己知向量，解关于向量"的方程2工+3£-5石=。・

【难度】★★

【答案】c=-b--a.

72

【自举析】)W：V2c+3a--h=0,A2c=-b-3a,Ac=-h--a.

7772

【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量.

［工例12.已知向量入B满足色铲--=口3£+%），求证：向量£和3平行.

【难度】★★

【解析】-—产q(34+2B)

去分母：2(a+3b)-5(a-b)=2(3a+2h)

去括号：2a+6〃-5a+5〃=6a+4b

移项合并得：76=9a

系数化1：b=—a

7

所以，向量。和石平行.

【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行.

［例13.已知32+%=4工，2a-b=5c,其中工二。，那么向量£与囚是否平行？

【难度】★★

【答案】平行.

'—————

3。+2Z?=4ce/口a=2c〜…

【解析】联立方程组:一一一，解得(一一，所以,向量a与1平行.

2a-h=5c[b=-c

【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行.

考点二：向量的线性运算

例L如图，己知非零向量£、6,以点。为起点，求作向量-2£+3万.

2

b

【难度】★

【解析】作法(作图过程略)：以。为起点，作方=-2九

以A为起点，作与=3分，联结08.

2

则。*=一2£+2几为所求作图形.

2

【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图.

例2.计算：(1)2(")一5(2£+；小(2)(¥—学)一战+倒.

【难度】★

【答案】⑴-—a--bx(2)--a--b.

3426

【解析】(1)2(-a+—b\-5[2a+—h\=—a+b-\0a--h=--a--h；

[32J{4J3434

-2-5-1-1-7-

(2)—xa—h——a—h=——a——-h

36226

【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”.

3.已知向量a、E不平行，x、y是实数，且xa+yB=3ya-(l+x)B,求x、y的值.

【难度】★

'^__3

【答案】xa+yb=3ya-(1+x)/?,.解得：＜

[y=-(l+x)1

La

【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法.

(Y)例4.如图，已知向量砺、砺和入b,求作：

(1)向量々分别在。(、O方方向上的分向量;

(2)向量B分别在。4、O方方向上的分向量.

/"A

0乙------►

A

【难度】★★

【解析】作法(作图略)：

(1)以£的起点，分别作OB、0A的平行线OC0D,以£的终点分别作0C、0。的平行线，交于E、F两

点，则。月，办是£在0鼠。助向上的分向量.

(2)作法同(1).

【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法.

b.c为已知向量，求未知向量x.

【难度】★★

321-1

••2xH—x=—a—bH—c•

2322

4-11-

x=—a——bf+—c

2177

【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母T去括号T移项f合并化简T系数化1.

6.已知。为A/WC内一点，点。、£分别在边48±,M,DE1/BC.^OB=hOC=c,

DB2f

试用b、c表示DE.

A

【难度】★★

【答案】DE=--b+-c.

33

【解析】VBC=BO+OC=-b+c,

AD1

又.：DEHBC,—

DB2

^DE=-BC.

BC33

—■1-1-

DE=——b+-c.

33

【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量.

列7.如图，在平行四边形A8C。中，M、N分别为DC、BC的中点，已知磁=病,n，试用m、

n表示AB和AD.

【难度】★★

'—.4-2-

AB=­n—m

【答案】«33

—•4一2-

AD=­m—n

33

AB+-AD=n

AB+BN=AN

【解析】由题意得，■____,即■2

AD+DM=AMAD+—AB=m

2

―-4-2—

AB=­〃—m

解方程组，得33

--4-2-

AD=­m--n

33

【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量.

8.如图，在AABC中，D是AB边的中点，E是BC延长线上一点，且8E=2BC.

(1)用丽、就表示向量诙;

(2)用左、而表示向量方.

【难度】★★

【答案】⑴DE=--BA+2BC;(2)DB=-CB--CA.

222

【解析】(1):。8=方+而，。是A8边的中点，且8E=28C

―-1—•―-

/.DE=——BA+2BC:

2

(2)'：DB=-AB,：.DB=-(AC+CB)=-CB--CA.

2222

【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完

成各个方向的分解.

I"、1例9.如图，平行四边形ABCD中，点M、N是边。C、8c的中点，设通=£,AD=b,分别求向

量加、BN•关于a、B的分解式.

B

【难度】★★

【答案】MN=-a--b;BN=-b.

222

【解析】•••四边形A8CD是平行四边形，

，AD=BC,AB=DC.

又N是边DC、8c的中点，AMN=MC+CN=-AB+（--AD）.

22

.1_1__.I-.1-

即nMN=-a——b,BN=—BC=—b.

2222

【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完

成求解过程.

［例10.已知平行四边形ABC。的对角线AC与8。相交于点。，设砺=£,OB=b,分别求向量反、

OD,AB,BC关于£、b的分解式.

【难度】★★

【答案】OC--a：OD--b：AB=—a+b：BC——b—a.

【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.

【过关检测】

一、单选题

1.（2021・上海九年级一模）已知3和石都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）

A.a=bB.a+b=2C.a+b=6D.卜,+忖=2

【答案】D

【分析】根据单位向量的定义进行选择.

【详解】解：•••£和B是两个单位向量，

,它们的长度相等，但是方向不一定相同；

.•.问+忖=2正确；

故选：D.

【点睛】本题考查单位向量的含义；属于基础题.

2.（2020•上海民办华二浦东实验学校九年级期中）在平行四边形ABCO中，丽=£，衣=石，下列说

法正确的是（）

rrrr

A.allbB.AD-b-aC.a=hD.且卜卜代

【答案】B

【分析】结合向量与平行四边形的性质，即可判断.

【详解】解：平行四边形ABCD如图所示，

A选项：AB与AC相交，故错误；

B选项：AB\\DC，即而=石—£，故正确；

C选项：AB与AC相交，故错误；

D选项：AB与AC相交，故错误.

故：选B

【点睛】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形的基本性质，属于向量中的基础题型.

3.（202。上海九年级一模）已知点C在线段4B上，AC=3BC,如果就=£,那么丽用£表示正确的

是（）

3-3-4-4-

A.—ciB.aC.—ciD.——a

4433

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.

【详解】••,点C在线段43上，AC=3BC,AC=a^

4

BA=-AC9

3

'-BA与正方向相反,

.—•_4-

••BA^~~a,

故选D.

【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.

4.（2020•上海市青浦区第一中学九年级期中）已知点C是线段AB上的一点，且死=■!■丽，则下列结

2

论中正确的是（)

A.AB=-ACB.AB=ACC.AB=2CBD.AB=-AC

【答案】C

—1―-

【分析】根据C是线段A8上的一点，且=—可判断出点C是线段AB的中点，在结合向量的方

2

向性解题即可判断出答案.

【详解】解：由题意可判断点C为线段AB的中点

，可得通W-AC，故A选项错误；

AB丰AC•故B选项错误；

1一一

-AB=AC,故D选项错误；

2

AB=2CB'C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意根据题意判断C点的位置是解题关键.

5.（2021・上海九年级一模）已知向量M和5都是单位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a^bB.a+b^2C.a-b^0D.同明

【答案】D

【分析】根据向量〃和5都是单位向量，，可知I万1=区尸1，山此即可判断.

【详解】解：A、向量M和B都是单位向量，但方向不一定相同，则力=方不一定成立，故本选项错误.

B、向量1和5都是单位向量，但方向不一定相同，则1+5=2不一定成立，故本选项错误.

c、向量方和万都是单位向量，但方向不一定相同，则汗-5=0不一定成立，故本选项错误.

D、向量万和5都是单位向量，则I源=石1=1，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键

6.（2021.上海九年级专题练习）已知非零向量£、石，且有£=-2凡下列说法中，不正确的是（）

A.|a|=2|^|；B.C.£与3方向相反；D.a+2b=Q-

【答案】D

［分析］根据平行向量以及模的知识求解即可.

【详解】A.•.工=-2人表明向量公与-2）是同一方向上相同的向量，自然模也相等，，|£|=2|向,该选

项不符合题意错误；

B.♦•工=-25，表明向量£与一25是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然一25与否方向相

反，但还是相互平行，.••ZaB，该选项不符合题意错误；

C.•••^=_2凡而-与B方向相反，•••）与B的方向相反，该选项不符合题意错误；

D.•••（）只表示数量，不表示方向，而£+2月是两个矢量相加是带方向的，应该是;该选项符合

题意正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.

7.（2020.上海九年级一模）已知£,加和工都是非零向量，下列结论中不能判定［〃B的是（）

A.a〃c，加〃cB.a=-c,b=2cC.a=2bD.

【答案】D

【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解:A.YQ〃C，加〃C，，4〃加，故本选项错误;

B.Va=；C,B=2C：.%〃加、故本选项错误.

C.丁〃=，「♦a〃B，故本选项错误；

r1"

=•••£与B的模相等，但不一定平行，故本选项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键.

二、填空题

8.（2021・上海九年级二模）如图，已知DABC£>,E是边CO的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交

于点F.设通=反而=5,用。石表示/为.

【分析】利用三角形中位线的性质得到8C=FC,在A8F中，利用三角形法则求得犷.

【详解】解：在。A8CO中，CD//AC.

是边CO的中点，

；.CE是448厅的中位线，

：.BC=CF.

在四边形48CO中，AD=BC,AD=b-则丽^2元=2而=25.

'-AB=a,

AF=AB+BF=a+2b.

故答案是：a+2jj.

【点睛】本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求得答案.

9.（2021.上海九年级二模）如图△A6C中，点。在上，且8=280.^AB=a,AC=b＞那么

AD=（结果用万、5表示）.

2-1-

【答案】-a+-b

33

【分析】首先利用三角形法则求得起，则丽=；前；然后再在AA8O中，利用三角形法则求得通.

【详解】解：月=M，AC=b»

•*-BC=AC-AB=AC=b-a^

•:CD=2BD,

・・・BD=-BC^-(b-a)

33

_________2_]一

AD=AB+BD=BD=a")—(b—ci)=—ciH—b

333

2-1-

故答案为：-a■1—b.

33

【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度适中，掌握三角形法则的应用是解此题的关键，注意数形

结合思想的应用.

10.(2021・上海九年级期中)如图，已知等腰梯形ABCO中，AD//BC,BC=3AD,如果BC=%,而=，

【分析】利用平面向量求和的三角形法则，即可求解.

【详解】解：'：AD//BC,BC=3AD,

___1_

AD=-a,

3

•*-AB=AD+DB=—a—b.

3

1--

故答案为：—a—b.

3

【点睛】本题考查平面向量，梯形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

11.(2021・上海九年级一模)计算：a+2^a-b^=.

【答案】4a-2b

【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案.

【详解】解：a+2t^a-b}=a+3a-2b=4a-2b

故答案为：4a-2h

【点睛】此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础

题

12.（2021・上海九年级一模）计算：3（£+25）-20—石）=.

【答案】a+Sb

（分析】根据向量的线性运算可直接进行求解.

【详解】解：3（tz+2b）—=3a+6Z?—2a+2。=a+8。：

故答案为■

【点睛】本题主要考查向量的运算，熟练掌握向量的运算是解题的关键.

12-

13.（2021・上海九年级一模）化简：-（-3a+b）+-b=.

【答案】-a+b

【分析】根据向量的计算方法即可求解.

17-1-2--

【详解】—（-3a+b）+—b--a+-b+—b--a+b

3333

故答案为：—M+B-

【点睛】此题主要考查向量的计算，解题的关键是熟知其运算法则.

三、解答题

14.（2021・上海九年级一模）如图，在oABCD中，AE平分NfiAD,AE与交于点/，AB=1.2,

3c=1.8.

（1）求BF:OF的值；

（2）设A月=£，BC=b）求向量而（用向量£、坂表示）.

BEC

____3_3-

【答案】(1)BF:OF=2：3,(2)DF=-a--h.

【分析】（1）先证〜AD必，得出一=—,在利用角平分线的性质进行等量代换，得至U—=——

ADDFADAD

再结合平行四边形的性质即可求得答案.

（2）利用第（1）小问的结论，得到。/与的数量关系，进而得到而与丽的关系，根据向量

丽二而一彳万即可求解•

【详解】（1）在口A」BC£＞中，

"BC//AD

：.ZBEA=ZDAE,

又,：NBFE=NDFA,

：.\BFE~\DFA,

.BEBF

♦・一，

ADDF

又：AE平分NE4£＞，

NBAE=/DAE,

NBAE=/BEA,

：.AB=BE,

.BEAB

"~\D~~AD

又•••AB=1.2,A£）=BC=1.8.

.BFAB1.22

"AD-L8-3

:.BF:DF=2：3

（2）•:BF:DF=2：3

3

：.DF=-DB

5

DF=^DBAB-AD）

'：BC//AD,BC=AD,而=£,BC=b-

:，AD=BC=b

:,DF=l（a-b）=-a--b.

555

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明A8FE〜△。用并且进行等量

代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键.

15.（2021・上海九年级一模）如图，一个3x3的网格.其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.

（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与AABC相似？请说明理由;

（2）设A£=ia,BC=h，写出向量而关于a、b的分解式.

【答案】（1）点N和点A、B所构成的三角形与AABC相似，理由见解析；（2）2a-3b

【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a,利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对

应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；

（2）延长AB至E,使BE=AB,根据向量加法的三角形法则计算即可.

【详解】解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与AABC相似，理由如下：

设网格中小正方形的边长为a,

22

则BC=a,AB=〃2+a2=缶,AC=a+（2a）=y/5a^其中BCVABVAC

如下图所示，连接BM、AM

则BM=J/+（2a）2=岛，AM=W+伽『=反，其中AB<BM<AM

.AB\llarrBM_y15aV10

,•-----=--------=7,

BCaAB-d2

.ABBM

'.茄'~AB

^ABM和△ABC不相似;

如下图所示，