2022年河南省南阳市高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年河南省南阳市高考文科数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.复数2=系，则Z的模为()

A.1-iB.1+iC.V2D.2

2.已知集合A={(x,y)*+/=1},B={(x,y)\y=x]9则AC8中元素的个数为()

A.3B.2C.1D.0

3.设有下面四个命题：

1

p\：3xoE(0,+8),xoH---->3；

x0

P2：xGR,((x>l是“x>2”的充分不必要条件；

1

〃3：命题“若无-32是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

P4：若“pVg”是真命题，则p一定是真命题.

其中为真命题的是()

A.p\,P2B.P2,〃3C."2，P4D・Pl，P3

4.向量而=2,\b\=l,a,b的夹角为120°，则；=()

A.5B.6C.7D.8

5.函数f(x)=ln(%-i)的图象是()

第1页共21页

K

6.正项数列｛斯｝的前〃项和为Sn,V坯N*,都有4S〃=〃/+2如，则数列｛（-1）%〃｝的前

2022项的和等于（）

A.-2021B.2021C.-2022D.2022

7.如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该

12525

A.25nB.501rC.-----nD.-n

32

8.战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方

约定：

（1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；

（2）每匹马参加且只参加一次比赛；

（3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.

已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛

的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

2346

x2y2

9.设厂为双曲线C：—-yr=1b>0）的右焦点，O为坐标原点，以。尸为直径

的圆与圆7+y2=〃2交于p,Q两点.若|PQ=|O娼，则。的离心率为（）

第2页共21页

A.V2B.V3C.2D.V5

10.｛4｝为正项等比数歹|J,加=1.等差数列｛面的首项41=2,且有a2=b3，a4=h4.记Cn=那

数列｛Cn｝的前〃项和为S".V〃6N*,ZWS〃恒成立，则整数k的最大值为()

A.4B.3C.2D.1

11.已知/(x)=2sin—cos—+2>/3cos2——V3，若If(x)-"?|W3对任意xC[—半，g]恒成

立，则实数，"的取值范围为()

111

A.[-1,11B.[一全^C.[0,身D.[0,1]

12.如果直线/与两条曲线都相切，则称/为这两条曲线的公切线.如果曲线y=/心和

曲线C2：丁=等(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数。的取值范围是()

A.(-8,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(e,+°°)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知实数x,y满足/+丁=4,则々的最小值为_____.

x+2

14.给出下列四种说法：

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据(xi，yi),(%2>”)，”,，(xrt>%)(〃乞2,xi，xz，■,x”不全相等)

的散点图中，若所有样本点(即，")(i=l,2,…，〃)都在直线丫=一上+1上，则这

组样本数据的线性相关系数为一；；

③回归直线y=6x+a必经过点叵，y)；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟

与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.

其中错误结论的编号是.

15.已知函数f(x)=xbix+有两个极值点，则实数的取值范围为.

16.如图所示，三棱锥4-8CD中，NBAC=/BCA,ZDCA^ZDAC,AB+AD=^BD=5AC

=10V2,则三棱锥A-BCD体积的最大值为.

第3页共21页

A

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：

60分.

17.（12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量,

质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发

出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产

品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在［85,115）为一等品，大于115

为特等品.现把测量数据整理如下，其中8配方废品有6件.

A配方的频数分布表

质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)

频数8a36248

（1）求a,b的值；

（2）试确定A配方和3配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区

间的中点值作为代表）

18.（12分）如图①，在平面五边形SBCD4中，AD//BC,ADLAB,AD=2BC=2AB,将

△S4B沿48折起到P的位置，使得平面以8,底面ABC。,如图②,且E为PD的中点.

（I）求证：CE〃平面PAB-.

（II）若尸8=6,AB=4,求三棱锥A-BCE的体积.

第4页共21页

19.(12分)△ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知点(a,b)在直线x(sinA

-sinB)+ysinB=csinC上

(1)求角C的大小；

(2)若AABC为锐角三角形且满足一三=-^―+二，求实数m的最小值.

tanCtanAtanB

20.(12分)已知0为坐标原点，椭圆r：各，=l(a>b>0)的右顶点为A,离心率为当动

直线hy=［(x-l)与r相交于B,C两点，点8关于x轴的对称点为9，点9到r的

两焦点的距离之和为4.

(1)求「的标准方程；

(2)若直线8C与x轴交于点△OAC,△AMC的面积分别为Si，S2,问包是否为

S2

定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.(12分)已知函数f(x)=x配什，(阮LX)+1.

(1)求曲线y=fG)在点(1,f(l))处的切线方程.

(2)若对Vxe(0,+8),f(x)Wae，恒成立，求实数a的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆

周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Qx中，方程p=a(l

-sin0)(a>0)表示的曲线。就是一条心形线.如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极

点。为坐标原点的直角坐标系X。)，中，已知曲线C2的参数方程为卜=1+亭，(t为参

(y=V3+t

数).

(1)求曲线C2的极坐标方程；

(2)若曲线Ci与C2相交于A,O,8三点，求线段A8的长.

第5页共21页

［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分0分)

23.设函数/(x)=\2x-1|-|x+4|.

(I)解不等式：/(%)>0；

(II)若/(x)+3仅+4|2|a-1|对一切实数x均成立，求”的取值范围.

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2022年河南省南阳市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.复数2=署，则z的模为()

A.1-iB.1+iC.V2D.2

解：因为2=备=瑞告=1+八

则|z|=V2.

故选：C.

2.已知集合A={(x,y)|/+)2=1},B—{(x,y)|y=x},则ACS中元素的个数为()

A.3B.2C.1D.0

ACB中元素的个数为圆，+）?=l与直线y=x的交点个数，

由图象可得，交点个数为2个.

故选：B.

3.设有下面四个命题：

1

p\：3xoE（0,+8）,xoH--->3；

xo

P2：xGR,ax>\是“x>2”的充分不必要条件；

1

P3：命题“若x-32是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

P4：若“pYq”是真命题，则〃一定是真命题.

其中为真命题的是（）

A.Pl，P2B.P2,P3c.P2，P4D.P”P3

第7页共21页

解：p\：3x()—46(0,+8),%()+丁=4+彳>3,故pi正确；

xo-

P2：xGR,x>i不能=x>2,即充分性不成立，即。>1不是“x>2”的充分不必要条，

故P2错误；

1

P3：命题“若X-32是有理数，则x是无理数”为真命题，故其逆否命题也为真命题,

故P3正确；

P4：若“pV/是真命题，则p、q至少有一个是真命题，即P不一定为真命题，故P4

错误；

故以上命题中正确的是Pl、P3；

故选：D.

4.向量而=2,\b\=],a,b的夹角为120°,则益G-Z?)=()

A.5B.6C.7D.8

解：・・•荷=2,向|=1,a,%的夹角为120。，

TTT、fTT]

.*.ae(a—6)=a2—a*b=4-2X1X(—))=5,

故选：A.

5.函数f(x)=/〃(x-b的图象是()

1

所以函数/(x)=加(x—的定义域为：(-1,0)u(1,+8).

所以选项A、/)不正确.

当(-1,0)B寸，g(x)是增函数，

第8页共21页

因为y=/nx是增函数，所以函数/(x)=/”(x+1)是增函数.

故选：B.

6.正项数列｛斯｝的前〃项和为S”，VnGN\都有4S"=a/+2a“，则数列｛(-1)%』的前

2022项的和等于()

A.-2021B.2021C.-2022D.2022

解：•••正项数列｛斯｝的前〃项和为S”V〃CN*,都有4S“=即2+2斯，①

/.4S1=a\2+2a\=>a\=2,(ai=0不成立，舍去)，

4s〃-1-]2+2a〃_],②

2

①-②得：4。〃=。〃2+2。〃-Can-\+2afl-1)=(即+斯-1)(af1-an-\-2)=0,

;斯>0,

••Cln-Cln-1-2=004"-Cln-12，

二数列｛斯｝的通项公式为：an=2n,

...数列｛(-1)的前2022项的和等于：-2+4-6+8-10+....-4042+4044=2X1011

=2022,

故选：D.

7.如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该

球的表面积为()

32

解：由题意可知，题中三视图对应的三棱锥各个顶点均在一个长宽高分别为3,4,5的

长方体上,

则原问题转化为长方体的外接球，设球的半径为R,

由题意可得(2/?)2=32+42+52=50,

即4/?2=50,故球的表面积S=4TT/?2=5071.

故选：B.

第9页共21页

8.战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方

约定：

（1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；

（2）每匹马参加且只参加一次比赛；

（3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.

已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛

的概率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

2346

解：三场比赛基本事件总数"=3X2X1=6,

田忌赢得比赛包含的基本事件有1种，即田忌下等马对阵刘王上等马，田忌上等马对阵

刘王中等马，田忌中等马对阵刘王下等马，

田忌赢得比赛的概率为P=i

6

故选：D.

x2y2

9.设厂为双曲线C：—-T-=1（a>0,b>0）的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径

a2b2

的圆与圆）+》2=“2交于产，。两点.若|PQ|=|。用，则C的离心率为（）

A.B.V3C.2D.V5

解：如图，

由|PQ|=|Of],可知尸。过点（]0）,

由图可得a=¥<:,得■e=

故选：A.

10.｛仇｝为正项等比数歹1」,加=1.等差数列｛斯｝的首项。1=2,且有42=为，“4=匕4.记5=耨

数列｛5｝的前八项和为S”.V〃€N*,AW%恒成立，则整数k的最大值为（）

第10页共21页

A.4B.3C.2D.1

解：设正项等比数列｛与｝的公比为q,q>0,等差数列｛念｝的公差为d,

由〃1=2,6=1,ci2=b3,。4=匕4，可得2+d=/,2+3(1=/,

化为炉-37+4=0,即为(q+1)(q-2)2=0,

解得q=2(-1舍去)，

则d=2,

所以。〃=2+2(H-1)=2%加=2"1

1111

数歹U{Cn}的前〃项和S"=l«5)-|+2«(-)°+...+(/?-1)«(-)n-3+W(-)"一2

111,11.

-s〃=l・(-)n°+2*(-)1+…+(/?-1)*(-)w2+〃・(_)〃1,

22222

上面两式相减可得为〃=2+1+鼻…+(-)…+(1)〃-2_〃”)

22222

1

化为S〃=8-(«+2)*(-)“一2,

由S〃2Si=2,又％V8,

可得2WS〃V8.

VnGN*,&WS〃恒成立，

可得女＜2,

即攵的最大值为2.

故选：C.

11.已知/(x)=2sin—cos—+2V3cos2——若,(x)-对任意[—患，恒成

立，则实数机的取值范围为()

1I1

A.[-1,1]B.[一去勺C.[0,i]D.[0,1]

解：因为/(x)=2sin-cos-+2V3cos2--y/s=sinx+V3cosx=2sin(x+与)，

因为居，

所以x+奇€[—今，夕，sin(x+号)G[-1,1],

第11页共21页

所以-2-mWf(x)-mW2-m,

若，(幻-对W3对任意咱-0,刍恒成立，则旷2二可53.

o61|/一叫£3

解得，-

故选：A.

12.如果直线/与两条曲线都相切，则称/为这两条曲线的公切线.如果曲线G：y=//优和

曲线C2：y=^(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数。的取值范围是()

A.(-8,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(e,+8)

解：设曲线。：y="V上一点A(xi，lnx\\

由>=或，得y'=-,»

可得曲线Ci：)，=。优在A处的切线方程为y-Zn%i=7-(%-%i)；

X1

设曲线Q：y=(x>0)上一，点B(%2，1—

由产T得下=，则九』=承

可得曲线Q：)=一(x>0)在8处的切线方程为厂1+9=三。一》2)・

xx2%2

1__a_

X1%22,可得7^7(仇%]_2)=-2y/a.

{2吟-1=1一,

令/(x)=Vx(/nx-2),f(x)=(Inx-2)+Vx•1

当xe(0,1)时，/(x)<0,/(x)单调递减，当尤(1,+8)时，，(x)>0,/

(x)单调递增，

:(X)"dn=f(1)=~2,

...要使曲线Cl和曲线C2有且仅有两条公切线，则关于x的方程近(伍X-2)=-2依有

两不同解，

又当x-0时，,f(x)-0,

A-2<-2y/a<0,得OVVH<1,即0<aVl

则常数“的取值范围是(0,1).

故选：B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

第12页共21页

13.己知实数x,y满足/+丁=4,则震的最小值为

解：/+)2=4表示以原点为圆心，以2为半径的圆，

出的几何意义为圆上的动点与定点尸(-2,-4)连线的斜率,

x+2

如图：

设过P斜率为k的直线方程为y+43(x+2),即kx-尹2A-4=0.

由।？।=2,解得k=7-

7k2+14

y+43

—^的最小值为

X+24

14.给出下列四种说法：

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据(xi,y\)9(X2,J2),•••,(%〃,>)(42,xi,xi,…，物不全相等)

的散点图中，若所有样本点(如加)(i=l,2,…，n)都在直线y=+1上，则这

组样本数据的线性相关系数为-土

③回归直线y=bx+a必经过点叵，y)；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟

与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.

其中错误结论的编号是①②④.

解：对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，

所以①错误；

对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线y=-*x+l上,则这组样本数据的线性

相关系数为-1，所以②错误:

第13页共21页

对于③，回归直线丫=取+。必经过样本中心点叵，y),所以③正确；

对于④，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能

性使推断出现错误，所以④错误.

综上，错误的命题序号是①②②④.

故答案为：①②④.

1

15.已知函数/'(x)=xbix+27nx2有两个极值点，则实数机的取值范围为(-1,0).

1

解：有两个极值点(%)=14-/nx+//u=0有两个根=g(x)=

券！=—根有两个根，

，/、-inx

g⑴一一=h

当(0,1)时、g'(X)>0,g(x)单调递增，

当(1,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

g(X)max—g(1)=1>0,g(X)->0+(Xf+8),g(尤)f-8(x-0+),

所以f(%)=%伉%+27n/有两个极值点=-(0,1),即〃?E(-1,0),

故答案为：(・L0).

16.如图所示，三棱锥A-88中，ZBAC^ZBCA,ZDCA=ADAC,AB+AD=^BD=5AC

「64

=10V2,则三棱锥A-BCD体积的最大值为—.

一3一

解：取AC中点M,连接MB、MD,

因为/BAC=/BC4,ZDCA^ZDAC,所以A8=A3,AD^CD,

所以AC_LAM,ACLMD,所以AC_L平面

因为AB+AO=*BD=5AC=10&,所以AC=2VLBD=8五,

设AB=x,AD=y,NBMD=。,则x+y=10&,MB=Vx2-2,MD=y/y2-2,

所以B0=M^+MD1-2MB•MD•cos6,所以64•2=/-2+y2-2-

2^/(%2—2)(y2—2)cos0,

第14页共21页

7(x2-2)(y2-2)cos9=乃#-66,

设三棱锥A-BCD体积为V,则仁寺•会yj(x2-2)(y2-2)•sin0•25/2,

___________________QI7

V(x2-2)(y2-2).sin0=浮

2

A--2(?+/)+4="+(乎-66)2,

91/2y2-i_y2

—-2(/+/)+4-(--——66)2=x1y2--2[(x+y)-2xy]+4-

((x+y[-2Ky_66)2=/y2-2(200-2xy)+4-(34-孙)2=34(2xy-34)-400+4xy+4

=72xy-1552W72•(牛产—1552=2048,当x=y时，等号成立，

即VW竽，当x=)•时，等号成立，所以三棱锥A-8CO体积的最大值为日.

64

故答案为：y.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：

60分.

17.（12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量,

质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发

出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产

品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在［85,115）为一等品，大于115

为特等品.现把测量数据整理如下，其中8配方废品有6件.

A配方的频数分布表

质量指标值分组175,85)[85,95)[95,105)[105,115)L115,125)

频数8a36248

（1）求a,b的值；

（2）试确定A配方和B配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区

第15页共21页

间的中点值作为代表)

由8配方的频频率分布直方图，得废品的频率为&=0.006x10,

n

解得“=100,A<2=100-(8+36+24+8)=24,

由(0.006+6+0.038+0.022+0.008)X10=l,

解得b=0.026.；.“，b的值分别为24,0.026.

(2)由(1)及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为：

_80x8+90x24+100x36+110x24+120x8200x8+200x24+100x36…

XA=-----------------------------wo--------------------------=----------------100---------------=100-

质量指标值的样本方差为sj=焉[(-20)2x8+(-10)2X24+0X36+102X24+202X

8]=112,

由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为

=80X0,06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100,

质量指标值的样本方差为：

222222

SB=SF=i(Xj-x)Pi=<-20)X0.06+(-10)X0.26+0X0.38+10X0.22+20X0.08

=104,

22

综上，石=豆，SA>SB,

即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，

所以选择B配方比较好.

18.(12分)如图①，在平面五边形S8CD4中，AD//BC,ADLAB,AO=2BC=2AB,将

△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面以B_L底面ABCD,如图②,且E为的中点.

(I)求证：CE〃平面PAB；

(II)若如=尸8=6,AB=4,求三棱锥A-BCE的体积.

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(I)证明：设尸为孙的中点，连接EF,FB,

因为E为PO的中点，所以E尸〃A。且成三以。，

又因AD//BC且AD=2BC,

所以所〃8c且EF=8C,

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE//BF,

又因BFu平面网B,CEC平面mB,

所以CE〃平面PAB-,

(II)解：如图，设。为AB中点，连接PO、0D,过E作EH〃P0交0D于点H,

因为附=PB=6,AB=4,

所以P0J_A8,P0=>JPA2-AO2=45/2>

又因平面以2_L底面ABCQ,PABAABCD=AB,

所以PO_L底面ABC。，ffi]EH//PO,

所以底面ABCD,

所以EH是三棱锥E-ABC的底面ABC上的高，且EH=^P0=2^2,

又AQ〃BC,AD1AB,BC=AB,

11

所以AB_L8C,S^ABC=2AB*bc=2x4x4=8)

所以VA-BCE=VE-ABC=^*S^ABC'EH=X8X2A/2=与2.

19.(12分)ZVIBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知点(a,b)在直线x(sinA

-sinB)+ysinB=csinC上

(1)求角C的大小；

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(2)若AABC为锐角三角形且满足上7=」7+一三，求实数机的最小值.

tanCtanAtanB

解：(1)由题得a(sinA-sinB)+/?sinB=csinC,

由正弦定理得a(a-b)+/?2=c2,即a2+b2-c1=ab.

・,•余弦定理得cosC="无U=I，

VCe(0,ir),

/.C=茶…(6分)

mil

(2)*/------=--------+--------,

*tanCtanAtanB"

mcosC

：=*+S=cosAsinB+sinAcosB=sin(A+B)=sinC

,sinCsinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAsinB

33

--

sin2c2s讥2c22

即zwcosC=有m=

sinAsinBsinAsinf^—A)sinA(^-cosA+^sinA)为in(2A一装)+/

：C=g,A,8为锐角，可得：-<4<y,一咨

J6Z6bb

・•・1一<sin⑵一71夕Wl,

26

1TT13

•二一sin(2A—工)+彳工彳，

2644

3

***mmin=fy=2.…(12分)

2+4

20.(12分)已知。为坐标原点，椭圆r：各*l(a>b>0)的右顶点为A,离心率为当动

直线by=[(x-l)与「相交于8,C两点，点B关于x轴的对称点为点片到「的

两焦点的距离之和为4.

(1)求「的标准方程；

(2)若直线BC与x轴交于点M,△OAC,△AMC的面积分别为Si，S2，问也是否为

S2

定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解：(1)因为B点在椭圆上，由椭圆的对称性，点B关于x轴的对称点为9也在椭圆上,

再由点后到r的两焦点的距离之和为4可得2°=4,即〃=2,

又椭圆的离心率e=5=空，所以c=遮，

2

可得序=〃2_C=4-3=1,

%2

所以椭圆的方程为：—+7=1；

4

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（2）1为定值,且定值为1,

证明如下：设3（xi,y\）,C（12,中）,则3,（加，-yi）,

联立，，整理可得：（4+序）＞2+2碎片3=0,

^+y2=1

则力+”=一3枭，力”=备

y+yi久

直线BC的方程为:

yz+yi一外』，

22

X-Xl停丫1（及一九）my1y2—my1+my1+my1y2

令y=0,可得x=2~LV1+X|=+〃叨+1=+1

及+%y2+yi丫2+为

2m-73

_2nly止2+1=T^+1=4；

y+yi

2rn^+4

所以当"，变化时直线BC与x轴交于定点M（4,0）,

所以也=%。*x/ci=侬==_=]

S2|x|4M|x|yc|\AM\4-2'

即‘■为定值，且定值为1.

21.(12分)已知函数/(x)=xlnx+ecUnx-x)+1.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程.

(2)若对立隹(0,+8),f(x)Wa，恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)函数/(x)=xlnx+ex(lux-x)+1,则/(x)=Inx+1+ex(lnx—%+1—1),

所以/(1)=l-ef又f(l)=l-e,故切点为(1,1-e),切线的斜率为1-e,

所以曲线(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y-(1-e)=(1-e)(x-1),即

(e-1)%+y=0；

(2)对VxW(0,+8),f(x)Wa/恒成立，即Q之理宏口+%对VxW(0,+°°)

恒成立，

令g(X)=必竽》》一》，函数g(x)的定义域为(o，+8),

则，()=(bt%+l)一(%bix+l)1_.(lr)(e"+》x),

=x

、Jg_ex十％