2022年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题文档版（原卷）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国H

卷)

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答

案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={—1,1,2,4},8={X||X—1区1},则AD8=()

A.{-1,2}B.{1,2}c.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l—2i)=()

A.—2+4iB.—2—4iC.6+2iD.6—2i

3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖

面图，稣朋是举，O2,OG，CB1,B4是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为"1=0.5,旦=配岖=公,丛=&，若&&，a是公差为。」的等差数列，且直线

OD]DC、CB,~昭

Q4的斜率为0.725,则勺=()

4.已知a=(3,4),b=(l,0),c=a+fb,若va,c>=<瓦c>,则，=()

A.-6B.-5C.5D.6

5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排

列方式有多少种()

A.12种B.24种C.36种D.48种

2+?卜in夕，贝IJ(

6.角a,。满足sin(a+/)+cos(a+/?)=2&cos)

A.tan(a+万)=1B.tan(a+£)=-l

C.tan(a-£)=lD.tan(cr-/7)=-l

7.正三棱台高为1,上下底边长分别为和46,所有顶点在同一球面上，则球的表面

积是()

A.lOChrB.128nC.144兀D.192兀

22

8.若函数/(无)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,则Xf(k)=

k=\

()

A.—3B.-2C.0D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分。

9.函数/(x)=sin(2x+9)(()<°<%)的图象以17，0中心对称，则()

A.丁=/(乃在(0,1)单调递减

B.y=/(x)在(一有2个极值点

c.直线x=H是一条对称轴

D.直线y=-x是一条切线

10.已知。为坐标原点，过抛物线C:：/=2px(p>0)的焦点F的直线与c交于A,B两

点，点A在第一象限，点M(p,0),若|A/q=|A"|,则()

A.直线AB的斜率为2遍B.\OB\=\OF\

C.|AB|〉410PlD.ZOAM+ZOBM<\SQ°

11.如图，四边形ABC£>为正方形，平面ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E—ACD,F-ABC,/一ACE的体积分别为匕,匕,匕，则()

E

A.匕=2匕B.匕=2匕C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

12.对任意x,y,%*2+y~—xy=1,贝！I()

A.x+yWlB.x+y2-2C.x'+y"<2D.x"+y1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量X服从正态分布N(2,/)，且p(2<X42.5)=0.36,则尸(X>2.5)=

14.写出曲线y=In|x|过坐标原点的切线方程：,.

15.已知点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=。的对称直线与圆(x+3)2+(y+2>=1

存在公共点，则实数。的取值范围为.

22

16.已知椭圆匕+匕=1,直线/与椭圆在第一象限交于4B两点，与x轴，y轴分别交

63

于M,N两点，且|M4HNB|,|MN|=2百，则直线/的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.(10分汨知｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且%-4=%一4=年一色•

(1)证明：%=瓦;

(2)求集合树仇=am+a｝,\<m<500｝中元素个数.

18.(12分)记△ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,

c为边长的三个正三角形的面积依次为内,邑，已知Sf+邑考sin*.

(1)求△ABC的面积；

19.（12分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据频率分布直方图.

频率

八组距

0.023

0020

0017

0.012

0.006

0.002

()(X)1

102030405060708090年龄(岁)

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区

总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50）,求此人患该种疾病的概

率.（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001）

20.（12分）如图，P。是三棱锥产一ABC的高，PA=PB,AB_LAC,E是尸4的中点.

（1）求证：OE〃平面P4C；

（2）若NA5O=NC8O=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—5的正弦值.

22

21.（12分）设双曲线C:0—2=1（。＞0/＞0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为

y=±Gx.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点P（X］，M）,Q（X2，%）在C上，

且须＞々＞0,必＞0.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为G的直线交于点M,请

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；@PQ//AB；③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.（12分）已知函数/（x）=xe@-e*.

（1）当。=1时，讨论/（龙）的单调性；

（2）当X＞0时，求o的取值范围；

(3)设〃eN*,证明：/+/1+…+/1>ln(〃+l).

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数学

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B2,D3.D4.C5.B6.D7.A8.A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.AD10.ACD11.CD12.BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7

13.0.14##—.

50

14.①.y--X②.y=--X

ee

-13"

15.

|_32j

16.x+y/2y-2y/2=0

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

,、a,+d-2b.=a,+2d-4b.

17.⑴设数列｛q｝的公差为d，所以，1+°_2壮劭-(4+3。)‘即可解得‘

b=a=-,所以原命题得证.

[,2

(2)9.

18.(1)—

8

(2)1

19.(1)44.65岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

20.(1)证明：连接8。并延长交AC于点。，连接。4、PD，

因为P。是三棱锥P—ABC的高，所以PO_L平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以POLAO、PO1BO,

又PA=PB，所以△尸。4三△尸08,即。4=08,所以NOW=NOB4,

又ABJ.4C,即NB4c=90°,所以NQ4B+NQ4Z)=90°,NQ8A+NOZM=9()°,

所以N0D4=NQ4O

所以40=00,即4。=。0=03,所以。为6。的中点，又E为m的中点，所以

OE//PD,

又OEZ平面P4C,月Du平面PAC,

所以OE〃平面PAC

11

（2）

n

21.（1）A：2--=1

3

（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段A3的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称

性可知M在x轴上，即为焦点。此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而

%=“2，已知不符；

总之，直线A3的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为A,直线方程为y=%（x-2）,

2

则条件①M在AB上,等价于%=左（七一2）=ky0=k（与一2）；

两渐近线的方程合并为3X2-/=0,

联立消去y并化简整理得：（公一3）d一4炉x+4公=0

设4（七,%）,8（毛,％），线段中点为N（4,%）,则

2

当+*42k

YN=kk-2）=p—

2攵2—3

设加（％0,%），

则条件③I=忸叫等价于（40一七）2+（%_必）2=（%一%）2+（%一%）2,

移项并利用平方差公式整理得:

（不一Z）［2x0—（刍+%）］+（%一乂）［2y°—（%+%）］=0，

［2X0-（X3+1）］+'+”）］=。,即xo-xN+k（yo-yN）=0,

X3一儿

822

即龙。+物=为；

由题意知直线PM的斜率为,直线QM的斜率为6,

由％—%=-V3（七一%）,%一%=一%），

X一y2=-6（%+^2~2x0）,

所以直线PQ的斜率m=卫二匹=—6（内+。-2%）,

%-x2xx-x2

直线PM:y=-V3（x-x0）+y0,即y=%+

代入双曲线的方程3/一V一3=0,即（6+y）（而-y）=3中，

得：（为+瓜0）［2瓜-（%+瓜0）=3,

3%

Z.m=—,

%

条件②PQ//AB等价于m=kky0=3x0,

综上所述：

条件①M在A8上，等价于包=炉（两一2）；

条件②PQ//AB等价于ky°=3/；