2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷

2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷

一、选择题：本小题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（）

D.

3.（4分）对于不等式组5X-6，，1-§”,下列说法正确的是（）

3（x-l）<5x-l

A.此不等式组的正整数解为1,2,3

B.此不等式组的解集为-1<%,]

6

C.此不等式组有5个整数解

D.此不等式组无解

4.（4分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%,另一

件亏损20%,在这次买卖中，这家商店（）

A.不盈不亏B.盈利20元C.亏损10元D.亏损30元

5.（4分）在平面直角坐标系X。），中，RtAAOB的直角顶点8在y轴上，点A的坐标为（1,6）,

将RtAAOB沿直线y=-x翻折，得到放/XA'OB',过4作A'C垂直于04交y轴于点C,

则点C的坐标为（）

A.(0,-2我B.(0,-3)C.(0,T)D.(0,-473)

6.（4分）若/?为方程2f+5x-l=0的两个实数根，则2a2+3加-5月的值为（）

A.-13B.12C.14D.15

7.（4分）如图，正方形的边长为3cvn,动点P从3点出发以3c%/s的速度沿着边

BC-8-D4运动，到达A点停止运动；另一动点。同时从5点出发，以Iczn/s的速度沿

着边区4向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x（s）,A8尸。的面积为y（a〃2）,

则y关于x的函数图象是（）

8.（4分）将正整数1至2018按一定规律排列如下:

1234567S

910111213141516

171S192021222324

2526272829303132

.......

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

A.2019B.2018C.2016D.2013

9.（4分）一次函数y=or+b和反比例函数），=£在同一个平面直角坐标系中的图象如图所

X

示，则二次函数y=加+fex+c的图象可能是（)

A.B.

10.（4分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CO（点。在点C右侧）在X轴上移动，40,2）,

3（0,4）,连接AC,BD,则AC+BD的最小值为（）

A.2逐B.2而C.672D.3逐

二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

11.（4分）在从小到大排列的五个数x,3,6,8,12中再加入一个数，若这六个数的中位

数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为一.

12.（4分）已知关于x的一元二次方程V-4蛆+3>=0（胆>0）的一个根比另一个根大2,

则m的值为.

13.（4分）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求

中间正六边形的面积

14.（4分）如图，A48C内接于」O,ZACB=90°,Z4C8的角平分线交；O于。.若AC=6,

BO=5及，则BC的长为.

D

15.（4分）如图，尸是等边三角形A8C中的一个点，PA=2,PB=2C，PC=4,则三

角形ABC的边长为.

17.（4分）如图，抛物线、=以2+法+以4*0）与工轴交于点4、B,顶点为C,对称轴为

直线x=l,给出下列结论：①出力<0；②若点C的坐标为（1,2）,则AABC的面积可以等于

2；③M（X1,yj,N（X2,%）是抛物线上两点（为<%），若看+%>2,则y<必；④若

抛物线经过点（3,-1）,则方程0^+加+。+1=0的两根为-1,3.其中正确结论的序号为—.

18.（4分）如图，AASC中，ADYBC,CELAB,垂足分别为。、E,AD,CE交于

点”，请你添加一个适当的条件：,使AAE//MACEB.

19.（4分）利用如图I的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2

是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到

右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为

ax23+^x22+cx2'+Jx2°,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为

0X23+1X22+0X2,+1X2°=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是—.

C重合），ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接瓶,

有下列结论：

①AABEsAECG；

②AE=£F；

③ZDAF=NCFE；

④ACEF的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是—.（把正确结论的序号都填上）

三、解答题（一）：本大题共2小题，每小题8分，共16分.

21.（8分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变.现有A、B两种型号的5G手机,

进价和售价如表所示：型号价格

价格进价（元/部）售价（元/部）

型号

A30003400

B35004000

某营业厅购进A、3两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元.

（1）营业厅购进A、8两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、3两种型号手机共30部，其中3型手机的数量不多于A型手

机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大

利润是多少？

22.（8分）如图，在RtAABC中，/C=90。，点O在AC上，以。4为半径的半圆O交AB

于点3,交AC于点E,过点。作半圆O的切线£>F,交BC于点F.

（1）求证：BF=DF；

（2）若AC=4,BC=3,CF=\,求半圆O的半径长.

B

四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.

23.（10分）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的

边长为a,b,则面积为四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2..2ab,

2

当且仅当"=8时取等号.在片+〃..2〃。中，若°>0,b>0,用&、々代替“，匕得，

a+b..2^b，即生女..依（*）,我们把（*）式称为基本不等式.利用基本不等式我们可以

2

求这个式子的最大最小值.我们以“已知x为实数，求y=q尤二2+的4最小值”为例给同学们

+1

介绍.

解：由题知y==+

^/77i^/77i

Vx2+1>0,,3>o,

V771

.・.y=G7T+/=..2）?［？二==2百，当且仅当=时取等号，即

^/77TVV77T^/77T

当》=应时，函数的最小值为2G.

总结：利用基本不等式上史石（。>0/>o）求最值，若必为定值.则4+6有最小值.

2

访同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值.

（1）若x>0,求y=2x+—的最小值；

x

（2）若x>2,求y=x+-^—的最小值；

x—2

（3）若"0,求>=当巫U的最小值.

Jx+2

24.（10分）现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.下

面我们依次对（。+6）"展开式的各项系数进一步研究发观，当”取正整数时可以单独列成表

中的形式：

例如，在三角形中第二行的三个数1,2,1,恰好对应（〃+。）2=6+2"+从展开式中的系

数，

3+W...........................II

(a+b/-......................I2I

(a+b)-.....................IJ31

(a+b)l................14641

(a+b)'...............15101051

(a+bf...........1615201561

（1）根据表中规律，写出（a+b）’的展开式;

（2）多项式（。+。）”的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（3）请你猜想多项式m+份"（〃取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母〃的代

数式表示）；

（4）利用表中规律计算：25-5x24+10x23-10x22+5x2-1（不用表中规律计算不给分）.

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

25.（12分）已知，抛物线了=奴2+瓜+3（4<0）与工轴交于4（3,0）、3两点，与y轴交于点

C,抛物线的对称轴是直线x=\,D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=g.

（1）求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

（2）求证：直线。E是AACZ）外接圆的切线；

（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P,使求点P的坐标；

（4）在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与AACO相似，直接写出

点M的坐标.

26.（12分）如图，抛物线Z,:y=；f-：x-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点8.

（1）求直线他的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PCLx轴，垂足

为C,PC交AB于点、D,求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2,将抛物线乙：'='/—』犬—3向右平移得到抛物线Z/,直线旗与抛物线Z/交

24

于N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线〃的解析式.

2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本小题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）如图所示的几何体，其俯视图是（）

【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可.

【解答】解：这个组合体的俯视图为：

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法

和形状是正确解答的前提.

2.（4分）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是（）

a

【分析】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和>90。即可.

【解答】解：C选项图中，三角形三个内角都是锐角，则Na+N£>90。，

”锐角。，锐角月的和小于90。”是假命题，

故选：C.

【点评】本题考查了举反例判断真假命题，理解题意是解题的关键.

lx-6l--x

3.（4分）对于不等式组3”3，下列说法正确的是（）

3（x—1）<5x—1

A.此不等式组的正整数解为1,2,3

B.此不等式组的解集为-1<%,Z

6

C.此不等式组有5个整数解

D.此不等式组无解

【分析】确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断.

-X—1—

【解答】解：33

3(x-l)<5x-l(2)

解①得用」，

2

解②得x>-l,

所以不等式组的解集为

2

所以不等式组的正整数解为1,2,3

故选：A.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）.解

决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集

的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

4.（4分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%,另一

件亏损20%,在这次买卖中，这家商店（）

A.不盈不亏B.盈利20元C.亏损10元D.亏损30元

【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润=销售收入-进价，即可分别得出关

于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240-两件衣服的进价后即可找

出结论.

【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，

根据题意得：120-x=20%x,y-120=20%y,

解得：尤=100,y=150,

.-.120+120-100-150=-10（元）.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

5.（4分）在平面直角坐标系xOy中，RtAAOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1,73）,

将RtAAOB沿直线y=—x翻折，得到•△A'OB',过A作A'C垂直于。4'交y轴于点C,

则点C的坐标为（）

A.(0,-2>/3)B.(0,-3)C.(0,T)D.(0,-46)

【分析】依据轴对称的性质可得OB'=08=6，==OA=Q4=2,进而通过证

得aNOB^NCON.求得OC=4,即可证得C的坐标为(0,-4).

【解答】解：点A的坐标为(1,6),

OB=6

：.OA=y]AB2+OB-=a2+(厨=2,

■将RtAAOB沿直线y=—x翻折，得到Rt△A'OB',

.-.OB'=OB=sH>,AB=AB=\,OA=OA=2,

A'(—5/3,—1),

，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C,

:.ZAOC+ZACO=90°,

ZAOff+ZAOC=90°,

:.ZACO=ZAOE!,

■.ZA'B'O=ZOA'C=90o,

OCOA!mOC2

OA!A!Br21

/.OC=4,

C(0,—4),

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，求得对

称点的坐标是解题的关键.

6.(4分)若。、/为方程2/+5工一1=0的两个实数根，则2a2+3妙-5/的值为()

A.-13B.12C.14D.15

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.

【解答】解：。、/为方程2d+5x7=0的两个实数根，

2a~—1-5a,a+，=一~>ctf3——~,

2a2+3a夕一54

=\-5a+?>ap-5P

=1-5(a+/7)+3aB

=1-5x(-^)+3x(-

।253

=1H----------

22

=12.

故选：B.

【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知不，%是一元二次方程云+c=°(QW°)

的两根时，xl+x,=--,即^=£是解题的关键.

aa

7.(4分)如图，正方形ABCD的边长为3的，动点P从5点出发以3a”/s的速度沿着边

3C-CD-D4运动，到达A点停止运动；另一动点。同时从5点出发，以lcm/s的速度沿

着边BA向A点运动，到达4点停止运动.设P点运动时间为x(s),ABPQ的面积为＞'(cw2),

【分析】首先根据正方形的边长与动点尸、。的速度可知动点。始终在A3边上，而动点P

可以在BC边、8边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0Ml；②l＜々,2；③2＜%,3；

分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解.

【解答】解：由题意可得5。=%.

①喷/1时，尸点在8c边上，BP=3x,

则\BPQ的面积=彳8P.BQ,

Iq

解y=-・3%・1=二%2；故A选项错误；

22

②1〈兀,2时，尸点在CD边上，

则\BPQ的面积=：8。•BC,

Wy=--x-3=-x；故3选项错误；

-22

③2V方,3时，尸点在"）边上，AP=9-3x,

则\BPQ的面积=^APBQ,

My=--（9-3x）-x=-x-|x2;故。选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、

分类讨论是解题的关键.

8.（4分）将正整数1至2018按一定规律排列如下：

123456■8

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

......

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）

A.2019B.2018C.2016D.2013

【分析】设中间数为X,则另外两个数分别为x-l、x+1,进而可得出三个数之和为3x,

令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列

数，即可确定x值，此题得解.

【解答】解：设中间数为X,则另外两个数分别为*-1、X+1,

三个数之和为（x-1）+x+（x+1）=3x.

根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013,

2

解得：x=673,x=672—（舍去），x=672,x=671.

3

673=84x8+1,

.•.2019不合题意,舍去;

672=84x8,

」.2016不合题意，舍去;

671=83x8+7,

三个数之和为2013.

故选：D.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确

列出一元一次方程是解题的关键.

9.（4分）一次函数y=or+8和反比例函数y=£在同一个平面直角坐标系中的图象如图所

X

示，则二次函数y二以?+bx+c的图象可能是（）

【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出avO、6>0、c<0,

由此即可得出：二次函数交加+法+c的图象开口向下，对称轴》=-2>0,与y轴

2a

的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.

【解答】解：观察函数图象可知：a<0,b>0,c<0,

.•.二次函数了=五+瓜+。的图象开口向下，对称轴x=-2>0,与y轴的交点在y轴负半

2a

轴.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例

函数图象和一次函数图象经过的象限，找出。＜0、。＞0、c＜0是解题的关键.

10.(4分)在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点。在点C右侧)在x轴上移动，A(0,2),

3(0,4),连接AC,BD,则AC+8D的最小值为()

A.26B.2710C.6&D.3出

［分析】设C(〃/,0),则有AC+BD=ylnf+21+^(m+2)2+A2,推出要求AC+BD的最小

值，相当于在x轴上找一点尸(九0),使得点P到M(0,2)和N(-2,4)的距离和最小，如图1

中，作点M关于x轴的对称点Q,连接N。交x轴于广，连接M户，此时PM+PN的值最

小，求出NQ即可解决问题.

【解答】解:设C(八0),

CD=2,

D(m+2,0),

A(0,2),3(0,4),

AC+BD=\/m2+22+7(^+2)2+42,

要求AC+8D的最小值,相当于在x轴上找一点P(〃7,0),使得点尸到"(0,2)和N(-2,4)的

距离和最小，

如图1中，作点A/关于x轴的对称点。，连接N。交x轴于P,连接此时产M+户N

的值最小，

N(-2,4),Q(0,-2)

PM+PN的最小值=P'N+P'Q=NQ=V22+62=2M,

/.AC+3D的最小值为2瓦.

解法二：如图，将线段向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点4,连接C4L

£4,=727+67=2>/10,

AC+BD的最小值为2JT5.

故选：B.

【点评】本题考查轴对称-最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解

题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想

解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共4()分.

11.(4分)在从小到大排列的五个数x,3,6,8,12中再加入一个数，若这六个数的中位

数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则X的值为1.

【分析】原来五个数的中位数是6,如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间

两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6,再根据平均数的公式得到关于x的方程，解

方程即可求解.

【解答】解：从小到大排列的五个数x,3,6,8,12的中位数是6,

・再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，

加入的一个数是6,

这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，

—(x+3+6+8+12)=—(x+3+6+6+8+12),

56

解得X=l.

故答案为：1.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力.一些学生往往对

这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然

后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果

是偶数个则找中间两个数的平均数.

12.(4分)已知关于x的一元二次方程V-4,nr+3病=0(%＞0)的一个根比另一个根大2,

则团的值为1.

[分析】设方程的两根分别为f,f+2,利用根与系数的关系得到f+f+2=4m,t(t+2)=3m2,

利用代入消元法得到(2〃?-1)(2〃?+1)=3〃?？,然后解关于m的方程得到满足条件的机的值.

【解答】解：设方程的两根分别为r,，+2,

根据题意得f+r+2=4,*,t(t+2)=3m2,

把f=2m—1代入+2)=3m2得(2m—l)(2m+1)=3m2,

整理得病-1=0,解得帆=1或机=-1(舍去)，

所以m的值为1.

法二：x2-4nvc+3m2=(x-m)(x-3m),

关于x的一元二次方程--4尔+3帆2=0(机＞0)的两根分别为X[=〃?，％=3/〃，且々＞为，

々一%=2m=2,

：.m=\y

故答案为1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若X，超是一元二次方程如2+反+c=O（〃wO）的两

bQ

根时，玉+/=——，XyX=­•

a2a

13.（4分）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求

中间正六边形的面积—.

-2-

【分析】利用AABGMABCH得到AG=B〃，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到

BG=2AG,接着证明〃G=AG可得结论.

【解答】解：如图，AABG三ABCH,

:.AG=BH,

ZABG=30°,

:.BG=2AG,

即B〃+〃G=2AG,

:.HG=AG=l,

中间正六边形的面积=6x@xF=土叵,

42

故答案为：—.

2

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30。角所对的直角边等于

斜边的一半.也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出“G.

14.（4分）如图，AABC内接于O,ZACB=90°,NACB的角平分线交；。于。.若AC=6,

BD=5y/2,则8c的长为8

D

【分析】连接AD,根据8是NAC3的平分线可知NA8=N3CZ)=45。，故可得出

AD=BD,再由AB是。的直径可知AAfiD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的

长，在RtAABC中，利用勾股定理可得出3C的长.

【解答】解：连接4),

ZACB=90。，

:.AB是。的直径.

NAC8的角平分线交O于。，

ZACD=ZBCD=45°,

AD=BD=5>/2.

是O的直径，

.♦•4的是等腰直角三角形，

：.AB=y)AD2+BD2=J(5扬?+(5何=1。.

AC=6,

：.BC=JAB'-3=Vio2-62=8.

D

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.

15.(4分)如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2,PB=2乖,,PC=4,则三

角形ABC的边长为_24

［分析］由NBAP绕B点逆时针旋转60°得ABCM,连接PM,根据旋转的性质得BM=BP,

MC=PA=2,ZPBM=M0,即ABAW是等边三角形，得到==在AMCP中，

PC=4,利用勾股定理的逆定理得到APCM是直角三角形,且PC=2MC,得到ZCMP=90°,

ZCPM=30°.

又"BM是等边三角形,ZBPM=O)°,所以NBPC=90。，ABPC是直角三角形，最后根

据勾股定理即可求出边长BC.

【解答】解：将ABAP绕5点逆时针旋转60。得,则84与8C重合，连接PM,如

图，

:.BM=BP,MC=PA=2,ZPBM=6O°.

:.MPM是等边三角形,

PM=PB=2也,

在&WCP中，PC=4,

PC2=PM2+MC2且PC=2MC.

.•.APCW是直角三角形，且NCMP=90。，ZCPM=30°.

又AP8M是等边三角形，ZBPM=60°.

.-.ZBPC=90°,

BC2=PB2+PC2=(2拘2+4,=28,

BC=2币.

故答案为2近.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的

夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

16.（4分）如图，直线＞=*+2与反比例函数〉=4的图象在第一象限交于点尸，若0/5=W，

X

则k的值为3.

【分析】可设点P（m,加+2）,由OP=府根据勾股定理得到m的值，进一步得到尸点坐标，

再根据待定系数法可求k的值.

【解答】解:设点尸（加，加+2）,

OP=yJW,

"毋+（加+2）2=厢,

解得叫=1，=—3（不合题意舍去），

.•.点尸（1,3）,

.-.3=-,

I

解得k=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得

点尸的坐标，难度不大.

17.（4分）如图，抛物线、=办2+法+。（。30）与》轴交于点4、B,顶点为C,对称轴为

直线x=l,给出下列结论：①出七＜0；②若点C的坐标为（1,2）,则AABC的面积可以等于

2；③M（X1,y）,N（X2,%）是抛物线上两点（不＜%）,若X+%＞2,则y＜%；④若

抛物线经过点（3,-1）,则方程如、法+c+l=0的两根为-1,3.其中正确结论的序号为①

【分析】根据函数的图象和性质即可求解.

【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则必<0,而c>0,故昉c<0,正确，符合

题意；

②AABC的面积=gAB.yc=；xA8x2=2,解得：43=2,则点A(0,0),即c=0与图象不

符，故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为x=l,若%+%>2,则;&+々)>1,则点N离函数对称轴远，故y>必，

故③错误，不符合题意；

④抛物线经过点(3,-1),则y'=ax2+Zzr+c+l过点(3,0),

根据函数的对称轴该抛物线也过点(-1,0),故方程以2+bx+c+l=0的两根为-1,3,故④

正确，符合题意；

故答案为：①④.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生

非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

18.(4分)如图，AABC中，ADA.BC,CEA,AB,垂足分别为。、E,AD、CE交于

点H，请你添加一个适当的条件:_AH=CB等(只要符合要求即可)，使\AEH三ACEB.

【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断A4EW与ACEB有两对对应角相等，就只需

要找它们的一对对应边相等就可以了.

【解答】解：ADA.BC,CELAB,垂足分别为。、E,

.-.ZfiEC=ZAEC=90°.

在RlAAEH中，ZEAH=90°-ZAHE,

XZEAH=ZBAD,

:.ZBAD=900-ZAHE,

在RtAAEH和RtACDH中，ZCHD=ZAHE,

ZEAH=ZDCH,

：.ZEAH=90°-NCHD=NBCE,

所以根据A4S添加AH=CB或EH=EB；

根据AS4添加A£=CE.

可证

故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA.A4S、HL.添加时注意：A4A、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据

已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.

19.（4分）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2

是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到

右依次记为“，b,C,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为

ax23+6x22+cx2'+Jx2°,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为

0x2'+1*2?+0x2+1x20=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是②.

【分析】仿照二维码转换的方法求出所求即可.

【解答】解：根据题意得：OX23+1X22+1X2'+OX2O=6,

则表示6班学生的识别图案是②，

故答案为：②

【点评】此题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键.

20.（4分）如图，四边形A8C。是边长为2的正方形，点E是边8c上一动点（不与点3,

C重合），ZAEF=90。，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接瓶,

有下列结论：

①AABEsAECG;

②AE=EF；

③ZDAF=NCFE；

④ACEF的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是①②③.（把正确结论的序号都填上）

【分析】①由N，4£B+NCEG=ZAEB+Nfi4£：得Na4E=NCEG,再结合两直角相等得

AABfsMCG；

②在54上截取以0=破，易得为等腰直角三角形，则N8ME=45。，所以

ZAME=135°,再利用等角的余角相等得到N£L4£=NFEC,于是根据“ASA”可判断

A4ME=AECF,则根据全等三角形的性质可对②进行判断；

③由NM4E+ND4尸=45。，NCEF+NCFE=45。,可得出NDF与NCFE的大小关系，便

可对③判断；

④设则8W=x,AM=AB-BM=2-x,利用三角形面积公式得到

=yx.（2-x）,则根据二次函数的性质可得的最大值，便可对④进行判断•

【解答】解：①四边形他8是正方形，

...ZB=Z£CG=9O。，

ZAEF=90°,

ZAEB+Z.CEG=ZAEB+ZBAE,

.\ZBAE=ZCEG,

AABEsAECG,

故①正确；

②在瓦1上截取8W=BE,如图1,

四边形A8C。为正方形,

/.ZB=90°,BA=BC,

・•.ABEM为等腰直角三角形,

:.ZBME=45°,

.\ZAME=135°,

BA—BM=BC—BE,

.\AM=CEf

C尸为正方形外角平分线,

.•.ZDC尸=45。，

/.ZECF=135°,

ZAEF=90°,

.\ZAEB+ZFEC=90°f

而ZAEB+NBAE=90。,

.・.ZBAE=NFEC,

在A4A/E和AECF中

NMAE=NCEF

AM=EC,

NAME=Z.ECF

^AME=^ECF(ASA),

..AE=EF,

故②正确；

(§)-AE=EF,ZAEF=90°,

.-.Z£4F=45°,

.\ZBAE+ZDAF=45°,

ZBAE+ZCFE=Z.CEF+Z.CFE=45°，

:.ZDAF=NCFE,

故③正确；

④设=则AM=AB-BM=2-x,

2

SAECF=S^AME=~BX9（2-X）=-^（X-I）+g，

当X=1时，S.CF有最大值;,

故④错误.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运

用全等三角形的知识解决线段线段的问题.构建&WE与A£FC全等是关键.

三、解答题（一）：本大题共2小题，每小题8分，共16分.

21.（8分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变.现有A、8两种型号的5G手机，

进价和售价如表所示：型号价格

价格进价（元/部）售价（元/部）

型号

A30003400

B35004000

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元.

（1）营业厅购进A、5两种型号手机各多少部？

（2）若营业厅再次购进A、8两种型号手机共30部，其中8型手机的数量不多于A型手

机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大

利润是多少？

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营

业厅购进A、8两种型号手机各多少部；

（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据3型手机的数

量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数

的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少.

【解答】解：（1）设营业厅购进A、8两种型号手机分别为。部、b部，

]30004+35006=32000

1（3400-3000）。+（4000-3500）匕=4400'

4=6

解得,

b=4

答：营业厅购进4、8两种型号手机分别为6部、4部；

(2)设购进A种型号的手机x部，则购进3种型号的手机(30-x)部，获得的利润为w元,

卬=(3400-3000)x+(4000-3500)(30-x)=-100x+15000,

8型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，

30-％,2x，

解得，x.10»

■.w=-100x+15000,々=-100,

w随x的增大而减小，

.•.当x=10时，w取得最大值，止匕时卬=14000,30-x=20,

答：营业厅购进4种型号的手机10部，8种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润

是14000元.

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答

本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质

解答.

22.(8分)如图，在RtAABC中，NC=90。，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB

于点。，交AC于点E,过点£＞作半圆O的切线£＞尸，交BC于点F.

(1)求证：BF=DF；

(2)若AC=4,BC=3,CF=\,求半圆O的半径长.

【分析】(1)连接8,由切线性质得NO£)F=90。，进而证明N3r＞F+NA=NA+ZB=90。，

得ZB=ZBDF,便可得3尸=£)尸；

(2)设半径为r,连接8,OF,则OC=4-r,求得DF,再由勾股定理，利用O尸为

中间变量列出r的方程便可求得结果.

【解答】解：(1)连接8,如图1,

过点。作半圆O的切线DR,交.BC于点F,

二.NOD尸=90。，

.•.NADO+N8Ob=90。,

OA=OD,

・•.ZOAD=ZODA,

••.NQW+ZBDb=90。,

ZC=90°,

.•.NQ4O+NB=90。，

:.ZB=ZBDF,

:,BF=DF；

(2)连接。尸，OD,如图2,

设圆的半径为，则。。=。石=八

AC=4,BC=3,CF=1,

/.OC=4-r,DF=BF=3-1=2,

r+22=(4-r)2+l2,

13

r=—•

8

故圆的半径为u.

8

【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线，往

往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程.

四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.

23.（10分）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的

边长为3则面积为‘外，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2..2ab,

2

当且仅当0=6时取等号.在4+尻.2必中，若〃>0,b>0,用右、戊代替a,b得,

a+b..24^b,即厘正（*）,我们把（*）式称为基本不等式.利用基本不等式我们可以

2

求这个式子的最大最小值.我们以“己知X为实数，求了=名犬2上+4的最小值”为例给同学们

介绍.

解：由题知y=式上2=