2024年高考数学第二轮复习 专题16 平面向量（选填压轴题）（教师版）

专题16平面向量（选填压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①向量模问题（定值，最值，范围） 1②向量数量积（定值，最值，范围） 12③向量夹角（定值，最值，范围） 21④向量的其它问题 27①向量模问题（定值，最值，范围）1．（2023春·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（

）．A．2 B．4或 C．5 D．2或5【答案】B【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或,当夹角为时，，当夹角为时，，所以或.故选：D．2．（2023春·广西玉林·高一校联考期末）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】在中，由，为上一点，且满足，则，又由三点共线，则，即，因为，则，则的值为.故选：C.3．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【详解】设，则，取的中点，由，即，即，即,即，所以，而，即，所以要使最小，也最小，显然，此时、、三点共线，设，则，，，因为，所以由余弦定理得，即，即，由，即，所以，所以的最小值为.故选：A.4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．2【答案】B【详解】因为，所以点在圆的内部或圆周上，又动点满足，所以当三点不重合时，点的轨迹是以为直径的圆，如图：当点在圆内时，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，当点在圆上时，两点重合，两点重合，所以，当且仅当点在圆上时取等号，则，当且仅当三点共线时取等号，因为，当且仅当重合时取等号，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，此时，所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时取等号，所以的最大值为，故选：D.5．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】向量,向量均为单位向量，,.如图，设.则是等边三角形.向量满足与的夹角为,.因为点在外且为定值,所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可知,，故，如图建立坐标系，，，设，由可得：，所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，所以，几何意义为到距离的2倍，由儿何意义可知，故选：D.7．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且，M为线段AB中点，其坐标为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，即以为直径的圆过点O，因为M为线段AB中点，坐标为，，则，几何意义为圆M的半径与点M到直线的距离相等，即圆M与直线相切，则圆M的半径最小值为点到直线的距离的一半，即.故选：B8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，得：，即有，如图示，设，故不妨设，则，则，设，则，因为，故可得，所以C点在以AB为直径的圆上运动，在中，,AB的中点为，则以AB为直径的圆的方程为，故的最大值为，最小值为，即的取值范围是，故选：B9．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量，，满足，，，则对任意实数t，的最小值为．【答案】【详解】因为，，则，而，于是，又，则，作，使，如图，

由，得，即，令，则，因此的终点在以点为圆心，2为半径的圆上，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，于是是圆上的点与直线上的点的距离，过作线段于，交圆于，所以.所以的最小值为.故答案为：10．（2023春·浙江金华·高二学业考试）已知向量，向量满足，则的最小值为．【答案】【详解】由向量数量积公式可得：，由基本不等式可得：，当仅当时等号成立，所以，即，所以，所以的最小值为．故答案为：11．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为.【答案】【详解】如图作，，如图，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，因为，，，所以点的坐标为，点的坐标为作，设点的坐标为，因为，所以，所以，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，因为对任意的实数，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点的坐标为，则，即，所以点在直线上，因为，又点在圆上一动点，点在直线上一动点，所以点到点的最小距离为点到点的距离减去圆的半径，即，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，因为点到直线的距离，所以点到点的距离大于等于，即，所以，当且仅当垂直于直线且点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.

12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是【答案】【详解】解：如图，，，则，，已知，即，所以，取BD的中点O，则有，而，根据三角形的三边关系可知则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，记向量的夹角为，则，同理，由，可得，则，当，即时取等号，所以，即的最小值是，故答案为：.13．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是.【答案】【详解】解：建立如图所示坐标系，不妨设，由知，点在直线或上，由题意，可知，记，，则，由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，设，则，因为，即，整理得或，由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为的几何意义为：圆弧的点到直线上的点的距离，所以最小值为，故．故答案为：．②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B.2．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知向量与是两个单位向量，且与的夹角为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，所以.故选：C.3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（

）A．8 B．4 C．16 D．12【答案】A【详解】因为，所以，所以，

由，所以，化简得到，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，则的最小值为.故选：A．4．（2023春·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，，所以即当取最大值时，取得最大值．当与同向时，取得最大值为，此时，取得最大值．故选：C．5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（

）

A．-2 B． C．-1 D．【答案】A【详解】由题意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以当时，有最小值为.故选：B6．（2023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知可得，，根据等面积法得，所以．故选：C

7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】A【详解】正八边形中，，所以，连接，过点O作，交、于点、，交于点，

，设，由余弦定理得，中，，，中，，所以，解得，，解得，所以，当P与M重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，当P与N重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为，因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是.故选：A．8．（2023春·江西吉安·高一江西省峡江中学校考期末）在中，，，，设，（），则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在中，，，由余弦定理，得，即，于是有①.由，得，即，于是有②.联立①②，得，由，得，将代入①中，得.由，，，知，所以,因为，所以,当且仅当即时，等号成立，所以.故当时，取得最大值为.故选：C.9．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为.【答案】/【详解】平面内动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，因为，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，故的最小值为.故答案为：.10．（2023春·四川凉山·高一统考期末）在中，为的重心，，，则的最大值为.【答案】【详解】延长交于点，因为是的重心，则为的中点，，，，由，，由三角形面积公式得，解得，则，当且仅当等号成立，此时为等边三角形.故答案为：.

11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆：上有两定点，及两动点C，D，且，则的最大值是.【答案】/【详解】因为点在圆：上，则，，而，则有，令射线与x轴正方向所成的角为，由点的对称性，不妨令射线与x轴正方向所成的角为，

由三角函数定义知，则，于是，同理，因此，而，则当，即时，，所以的最大值是.故答案为：12．（2023春·广东深圳·高一统考期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.【答案】【详解】因为，，又点分别是的中点，所以，所以，，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.故答案为：13．（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是．【答案】/【详解】如图，设，，若对任意实数，都有，成立，则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，．设，则，，，，则当时，有最大值为．故答案为：.14．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为【答案】2【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，则，即，又面积为面积的一半可得：，所以.，易知当时，即重合时取得最小值.故答案为：2③向量夹角（定值，最值，范围）1．（2023春·福建福州·高一校考期末）若，且，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，，，，故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【详解】因为，所以，所以，即，所以三点共线，又为的外心，所以为直角三角形，且，为斜边的中点，，，过作的垂线，垂足为，如图：则向量在向量上的投影向量为，且，

，，所以，因为，所以当时取得最小值为.故选：B3．（2023春·宁夏吴忠·高一统考期末）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，所以，且，所以.故选：C4．（2023春·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】因为单位向量，的夹角为，则，所以，又，所以，当取最大值时，必有，则，又，，则，所以，所以，故的最大值为.故选：D．5．（2023春·全国·高一专题练习）在平面中，已知单位向量、的夹角为，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为单位向量、的夹角为，由平面向量数量积的定义可得，，，所以，，当取最大值时，必有，则，因为，，则，所以，或，当时，，此时；当时，则，所以，，此时，综上所述，的最大值为.故选：C.6．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，；，即，；设向量与所成夹角为，（当且仅当时取等号）；又，.故选：A.7．（2023春·江西九江·高一校考期中）设为平面内两个不共线的非零向量，且，若对于任意实数，都有，则向量与的夹角为.【答案】/【详解】令，则，所以，即，所以对任意实数恒成立，故成立，所以，即，而，所以.故答案为：8．（2023春·广东·高一校联考期末）已知均是单位向量，若不等式对任意实数都成立，则与的夹角的最小值是.【答案】【详解】不等式对任意实数都成立，即对任意实数都成立，即对任意实数都成立，因为均是单位向量，所以上式可整理为对任意实数都成立，所以，即，所以，得，所以，得与的夹角的最小值为.故答案为：.9．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为．【答案】/【详解】因为是平面内一组基底，即不共线，设，显然、不共线，且均不为零向量，设的夹角为，则，，又因为，则，即，整理得，所以，又因为，则，所以与所成角的最大值为.故答案为：.10．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是．【答案】【详解】因为，所以，设，则当与同向时，取得最大值为，当与反向时，取得最小值为，故，又，则，所以，设与的夹角为，则，由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为，因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为.故答案为：④向量的其它问题1．（2023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故选：B.2．（2023·河南郑州·校联考二模）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，