第一章有理数（知识归纳八大题型突破）（原卷版）

第一章有理数（知识归纳+八大题型突破）1.了解有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数的含义，理解数轴与绝对值关系．2.理解数轴的意义，会求数轴上两点的距离，并利用数轴化简绝对值．3.理解并掌握有理数的基本运算，并会用科学记数法表示绝对值大于1的数．1.正数和负数正数：比大的数；负数：在正数前面加上的数，既不是正数，也不是负数.【答案】0；负号；0.2相反意义的量（1）在同一个问题中，用“+”和表示具有相反意义的量；（2）若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等记为，把“后退、下降、支出、零下温度”等记为；相反意义的量一是意义，二是要有数量.【答案】；+；；相反.3.有理数的分类（1）按照性质分类：（2）按照符号分类：（3）小数分类：和统称为非负数；和统称为非正数.【答案】正数；0；负数；0.4.数轴的概念与画法（1）数轴的概念：规定了_________，_________，_________的直线叫做数轴．=1\*GB3①原点：表示数0的点；=2\*GB3②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；=3\*GB3③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.（2）数轴的画法：=1\*GB3①画一条水平直线；=2\*GB3②在这条直线上取一点作为原点；=3\*GB3③一般用箭头表示正方向；④选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．5.数轴上的数（1）在数轴上，“0”右边的数是____数，“0”左边的数是____数.（2）在数轴上，右边的数始终比左边的____.如下图，A、B、C、D、E表示的五个数中，AE___0（填>或<）；BC___0（填>或<）；AC___0（填>或<）.6.数轴上的点与数轴的关系（1）每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点.（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的_________，与原点的距离是____个单位长度；表示a的点在原点的_________，与原点的距离是_____个单位长度.7.绝对值的定义（1）一般地，数轴上表示数a的点与的距离叫做数a的绝对值，记作.【答案】原点；8.绝对值的性质正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a>0时，是它的；当a<0时，是它的；当a=0时，是.【答案】本身；相反数；0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.【答案】正数和09.绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则．（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；0减去一个数等于加上这个数的_______，即.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和1.（4）有理数的乘法运算律①乘法交换律：；②乘法结合律：；③乘法分配律：．（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.15.科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．题型一相反意义的量【例1】（2023秋·湖南郴州·七年级统考期末）如果零上℃记作℃，那么零下℃记作_____℃．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）如果生产成本增加记作，那么生产成本降低记作______．2．（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为分，则扣15分记为_____分．3．（2023·江苏·七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入元记作元．那么元表示______．题型二有理数的分类【例2】（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填入相应的大括号内上：，0.618，3.14，260，2009，，0.010010001…，，0，1．有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；非正数集合：{

…}．2．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：．正有理数集{_______________}；非负数集{_______________}；非负整数集{_______________}；分数集{_______________}．3．（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，．正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}．题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数【例3】（2023秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）相反数是；绝对值是；倒数是．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）的绝对值为，相反数为．2．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）的相反数是，倒数是．3．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，是的倒数是．4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）相反数是，绝对值是，倒数是．5．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）的相反数是，倒数是．6．（2023·江苏·七年级假期作业）的相反数是，的倒数是．题型四用数轴上的点表示有理数【例4】（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）把下列各数，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．巩固训练1．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数轴．表示下列各数，并用“”连接起来．，0，，，．答：___________．2．（2023秋·七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把各数从小到大连起来．，3，，，，．3．（2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题.(1)互为相反数的一组数是___________；(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；(3)在这6个有理数中，负数有___________个，最小的数是___________.题型五数轴上两点间的距离【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上表示有理数与两点的距离是______．巩固训练1．（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上数和的两点间的距离是______，与相距9个单位的点是______．2．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于______．3．（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数，点B在数轴上距离点A有5个单位长度，则点B表示的数为______．题型六有理数的加减乘除乘方混合运算【例6】（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）计算：(1)；(2)；(3)．巩固训练1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．2.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)．(2)．3．（2023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．题型七有理数的加减乘除混合运算的应用【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？巩固训练1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？(2)离开下午出发点最远时是__________千米；(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？题型八用科学记数法表示绝对值大于1的数【例8】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为．巩固训练1．（2023·广东·统考中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约18600