区间型不确定多属性决策方法及应用

随着社会、经济的进展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增加．在实际决决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将介绍区间型正抱负点、区间型负抱负点等概念．区间数

之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并且分别介绍基于可能度、基于投影模型、靠近正抱负点的多属性决策方法．本章对上述方法均进展了实例分析第1节基于可能度的多属性决策方法一、区间数比较的可能度公式记称为区间数，特殊地，当时，退化为一个实数。先给出区间数的运算法则。设和，且，则设和，且，则〔1〕当且仅当和〔2〕〔3〕，其中，特殊地，假设，则定义4.1当均为实数时，则称当时当时当时〔4.1〕为的可能度。定义4.2当至少有一个为区间数时，且记〔4.2〕为的可能度。则称设，则记的次序关系为例设，，求。解所以，定义4.3当至少有一个为区间数时，且记〔4.3〕为的可能度。则称例设，，求。解所以，定义4.4当至少有一个为区间数时，且记〔4.4〕为的可能度。则称例设，，求。解所以，定义4.5当至少有一个为区间数时，且记〔4.5〕为的可能度。则称可以证明以上4个定义是等价的。例设，，求。解所以，依据上述3种定义，可以证明以下结论均成立。定理4.1设，，则〔1〕〔2〕当且仅当〔3〕当且仅当〔4〕〔互补性〕特殊地，〔5〕当且仅当特殊地，〔6〕〔传递性〕对于3个区间数假设当且仅当且则定义1.8设摸糊推断矩阵，假设有则称矩阵B是模糊互补推断矩阵例为模糊互补推断矩阵。定理2.2设模糊互补推断矩阵对矩阵B按行求和得则可依据的序关系对区间进展排序。例比较以下5个区间大小解：由可能度矩阵对于矩阵P按行求和：由得到第3节决策方法步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知(即为实数)。对于方案，按属性进展测度，得到关于的属性值(这里)．从而构成决策矩阵．最常见的属性类型为效益型和成本型．设分别表示效益型、本钱型的下标集．为了消退不同物理量纲对决策结果的影响，可用以下公式将决策矩阵转化为标准化矩阵，其中(4.9)(4.10)例4．3某地区盛产生皮．为了开发该地区的制革工业，考虑列生产资源的分布状况及其他与制革工业有关因素(属性)，其中所考虑的属性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10万加仑／天)；—废水排放方式(特别制)；—工厂和设备本钱(百万美元);—作业本钱(百万美元/年)；—有关地区的经济进展(十分制);—争论开发时机(特别制)；—投资酬劳(以1为基数).请标准化决策矩阵。表4.5决策矩阵表4.5决策矩阵在上述属性中，能源需求量()、水的需求量()。工厂和设备本钱()和作业本钱为本钱型外，其他均为效益型．表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化公式为表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化区间，如表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化公式为将决策矩阵转化为标准化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6标准化决策矩阵步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为标准化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6标准化决策矩阵或者(4.11)(4.12)依据区间放的运算法则，把(4.11)和(4.12)两式写为(4.13)(4.14)步骤2利用WAA算子对各方案的属性值进展集结．求得其综合属性值(4.15)步骤3利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方案综合属性值之间的可能度并建立可能度矩阵步骤4利用公式并按大小对方案进展排序，即得最优方案。第4节实例分析例4.1考虑一个大学的学院评估问题，选择教学，科研和效劳这3个属性作为评估指标．设有5个学院(方案)将被评估，并假定属性的权重向量为．决策者以区间数这种不确定形式给出了各方案的属性值，其标准化决策矩阵如表4.1所示．表4.1标准化决策矩阵利用公式可求出学院的综合属性值分别为区间数为了对各方案进展排序，先利用(4.2)式求出，两两比较的可能度矩阵对于矩阵P按行求和：假设用符号表示方案之间具有可能度的优序关系，则相应的5个学院的排序为从而学院综合评估结果最好。由得到4．2基于投影的多属性决策方法第1节决策方法首先构造加权标准化决策矩阵，其中且定义4.6称为区间型正抱负点，其中(4.16)定义4.7设和(4.17)是两个向量，定义定义4.8设则称为向量的模。众所周知，一个向量是由方向和模两局部所组成，而向量之间的夹角余弦值仅能街量它们的方向是否一致，而不能反映其模的大小．必需把模的大小与夹角余弦值结合起来考虑才能全面反映向量之间的接近度．为此定义投影的概念。定义4.9设和是两个向量，定义(4.18)为在上的投影，一般地，值越大．表示向量与之间越接近。令(4.19)其中，明显，值越大，说明方案越贴近区间型正抱负点，因此，方案越优。依据上述定义，下面介绍一种基于投影的多属性决策方法．具体步骤下：步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知．决策者对全部方案按各属性进展测度，得到决策矩阵。并按(4.9)和(4.10)两式将转化为规范化矩阵。步骤2利用属性权重向量和标准化矩阵，构造加权标准化决策矩阵。步骤3利用〔4.16〕式确定区间型正抱负点。步骤4利用〔4.19〕式求出方案在区间型正抱负点上的投影。步骤5依据值对方案进展排序或择优。实例分析例4．2修理性设计是指在产品的研制过程中，要充分考虑系统的总体构造、各局部的配置与连接，标准化和模块化等因素，以便在产品发生故障时，用户能准时恢复。现拟对某雷达接收机3个修理性设计方案进展选样．考虑的指标(属性)有：—寿命周期费用(万元)；—平均寿命(小时)；—平均修理时间；—-可用度；—综合性能．决策矩阵如表4．2所示．属性权重向量为试确定最正确方案。表4.2决策矩阵在各项指标中，除寿命周期费用()和平均修理时间()为本钱型外．其他均为效益型。步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为标准化决策矩阵，如表4.3所示．表4.3标准化决策矩阵表4.3标准化决策矩阵步骤2利用属性权重向量以及标准化决策矩阵构造加权标准化决策矩阵，如表4.4所示．表4.4加权标准化决策矩阵步骤3利用(4.6)式确定区间型正抱负点步骤4利用(4.19)式求出方案在区间型正抱负点上的投影步骤5依据值对方案进展排序．得故最优方案为。4.3靠近抱负点的多属性决策方法4.3.1决策方法定义4.10称为区间型负抱负点，其中〔4.20)下面介绍一种迢近抱负点的多属性决策方法．具体步骤如下：步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确定．分别为决策炬阵及其标准化矩阵．步骤2利用属性权重向量和标准化矩阵，构造加权标准化决策矩阵.

步骤3利用(4.16)和(4.20)两式确定区间型正、负抱负点、步骤4计算每个方案分别到正抱负点和负抱负点的距离：(4.21)(4.22)步骤5计算每个方案对理坦点的贴近度(4.23)步骤6按值的大小对方案进展排序，值越大，则方案越优。4.3.2实例分析例4．3某地区盛产生皮．为了开发该地区的制革工业，考虑列生产资源的分布状况及其他与制革工业有关因素(属性)，其中所考虑的属性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10万加仑／天)；—废水排放方式(特别制)；—工厂和设备本钱(百万美元);—作业本钱(百万美元/年)；—有关地区的经济进展(十分制);—争论开发时机(特别制)；—投资酬劳(以1为基数).属性权重向量为有关部门提出了5个备选方案，各方案在上述属性下的属性值如表4.5所示。试确定最正确方案。表4.5决策矩阵表4.5决策矩阵在上述属性中，能源需求量()、水的需求量()。工厂和设备本钱()和作业本钱为本钱型外，其他均为效益型．步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为标准化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6标准化决策矩阵表4.6标准化决策矩阵步骤2利用属性权重向量以及标准化决策矩阵构造加权标准化决策矩阵，如表4.7所示．表4.7标准化决策矩阵表4.7标准化决策矩阵步骤3利用(4.16)菏(4.20)式确定区间型正、负抱负点步骤4计算每个方案分别到正抱负点和负抱负点的距离步骤5计箅每个方案对抱负点的贴近度步骤6按值的大小对方案进展排序得：因此最正确方案为。第5章属性权重完全未知且属性值为区间数的多属性决策方法及应用5.1对方案无偏好的多属性决策方法5.1.1公式和定义对于某一多属性决策问题，其属性的权重向量为，并满足单位化约束条件：(5.1)且设决策矩阵为，这里。其相应的标准化矩阵为。为了能衡量两个区间数相像的程度相离度的概念．定义5.1设区间数，，假设范数称为区间数和的相离度。明显越大，则和相离的程度越大．特殊地，当时，有，即和相等。5.1.2决策方法对于某一多属陆决策问题．一般需要求出各方案的综合属性值．由标准化矩阵及属性权重向量，利用WAA算子得到方案的综合属性值(由(4.15)式获得)。当属性权重及属性值都是确定的值时。由各方案综合属性值的大小可以确定万案的优劣；否则,就不能直接由(4.15)式确定综合属性值。

下面将考虑属性权虽完全未知、属性值为区间数且决策者对方案无偏好的情形。5.3UOWA算子设表示全体区间数的集合。定义[224]设，假设其中是与UOWA相关联的权重向量，满足且是一组数据组中第大的元素。则称函数是不确定算子，〔简记算子〕。可以利用第1章中确定OWA算子加权向量的方法或用下面的表达式来确定加权向量，其中(5.13)这里，为模糊语义量化算子(5.14)其中。对应于模糊语义量化准则[79]，“大多数”，“至少半数”，“尽可能多”的算子中的参数对分别为例5.3给定一组区间数利用(4.2)式对这4个区间数进展两两比较，并建立可能度矩阵依据(4.6〕式(4.6)得到可能度矩阵P的排序向量利用对区间数，按降序进展排列，可得假设假定UOWA算子的加权向量为则利用UOWA箅子对这4个区间数进展集结，可得5.4基于UOWA算子