2021年北京市高三数学一模压轴题汇编教师版

(2021平谷一模压轴题)

21.(15分)已知数列A：",4,…,4“(0<4…具有性质P：对任意

zj(l<r<j<ri),%+q与%-q两数中至少有一个是该数列中的一项，5“为数列A的

前n项和.

(I)分别判断数列0，1，3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P；

(II)证明：q=0,且S,,=为；

(III)证明：当〃=5时，成等差数列.

(I)因为1+3=4eA,3—1=2e4,所以数列0,1,3,5不具有性质「；因为0+2,2-0；

0+4,4-0；0+6,6-0；2+4,4-2；2+6,6-2；6+4,6-4,六组数中，至少有

一个属于P,所以数列0,2,4,6具有性质P。.......5分

(11)：数列4：4，。2「.,。“(044<%<3<。.，〃23)具有性质尸，；.4“一。”与4,+4中

至少有一个属于A,alt>0,an+an>a“，故a“+a“£A,a“一G少，4=0。

由A具有性质P可知q,-%eA(Z=1,2,3,….

a“-%>an-a2>an-a.>---an-an_i>a,-an,

=an

%一%=%-1

%一。3=%-2

an~an-a\：从而〃。“―31+42+34")=①,+。"-1+3。1，S“=S”，

5“=詈........10分

(III)证明：由(ID知,tz5-a4=a,,a5-a3=aita5=a4+a2=2a3

a3-a2=a2,a3=2a2,a4=3a2,a5=4%，.•.数列%々,6,%,%是以0为首项,共

差为的的等差数列。15分

类似题

(学探诊总复习下册理科模拟练习第八套)

20,已知数集4={小.蛇,…,<…具有性质P：对任意

与%一4两数中至少有一个属于八・

(I)分别判断数集(。，1，3)与《。，2,4,6)是否具有性质P,并说明理由；

(D)求证：。》+。1+…+。・=£%,

(H)已知数集A%Va*V…V%，〃>3)具有性质P.请探究n为何值时，5,aj

…依次组成等差数列.

加】保由于3f3+1均不属于数—所嬴篇篇黑

由于2+0,4+0,6+0,4+2,6-2,6-4,0-0,2-2：：兰誓

(口)证明：因为数集A={aig,“..a.)具有性质p,所以&\［属,数*°24,6),所以该数索具布

—VY%，所以明+….,故%+a,黑工

由A具有性质P,知a.—a,SA(A=2,3,…'

又因为。・一。・<%—%7<一<a.一心〈<1,一5，所以有

a・-a“=ai，a•一•…=02•…・。・一。2=。一包-即=6①

从而Q.-%)+(%-a.-i)HHa.-aI)=a14-a2+…+。

故2Qi+az+…+a-)=〃a・.又5=0•所以人+/+…+a=2〃

"2

(DI)解:由①,得a.+a…，=，,(?=1,2②

”=3时.有如+。2=%,则.1，6,右}={0,5,勿力，所以外,(2八%构成等差数列：

〃=4时.有反例A=(0,2,3,5)(具有性质♦，但0,2,3.5不构成等差数列)；

■25时.由.a?依次组成等差数列，证明如下：

由a：+a.।=a.•知aj+a,-i♦at+a,-!，…,a“_j+a.T©A,

由A具有性质P.有a--i—，「。丁】一。4,a.-i-a._1£A.

=

且。・-1-a.—】Va.-j-a”-2V…Va”-i—a$Va”-]—<13Va.—a、.又a”一asaw

=

-a■i—0，a.-i-a"?一-a4=a.-4，a»t-i-ajciw—3.

所以a,+a.,=a.iG=1.2,…1).③

由②，③得a,=an—a...,=aR—(a„-i—a,-1)(i=L2»-»n—1).

即a,—a,-i=a.—a._j(i=2,3•…•〃-1),所以a1，a?,•••,%依次组成等差数列.

所以数集A=(〃i.a?)(0&。1V。2V…Va・，〃23)具有性质P.

则必有7加「…,明依次组成等差数列

所以所求的〃等于3以及25的所有正整数.

(2016房山一模理)

(20)(本小题13分)

己知数集M=｛4,4,•••,q,｝(OW4<4<•••<见,"22)具有性质P:对任意的

z,j(l<z<j<n),q+%.与生-《两数中至少有一个属于M.

(I)分别判断数集｛0,1,3｝与｛0,2,3,5｝是否具有性质P,并说明理由；

2

(H)证明：q=0,且。〃=一(6+。2+…+。〃-1+。〃)；

n

(III)当72=5时，证明：4，。2M3M4，出成等差数列.

20(共13分)

解(I)因为1+3与3-1均不属于集合M,

所以数集｛0,1,3｝不具有性质P............2分

因为0+2,0+3,0+5,2+3,5—2,5-3,0—0,2-2,3—3,5—5均属于集合M,

所以数集｛0,2,3,5｝是具有性质P............4分

(II)因为对任意的Ki</〈〃)，q+勺与%「4两数中至少有一个属于V,

所以见+a“与a"一”“中至少有一个是数列｛%｝中的项，

因为数列｛4｝是递增有限数列，且q20

所以a“+an>an,故a“+a”eA..

从而0=a“-a“eA,

所以q=0..

因为()=q<a2<---<an,

所以4+an>an,故%+an/A(攵=2,3,•••,〃).

所以(q一4)GA(无=1,2,3,.

又因为。"一<a“一a"_]<…<a“一4<一4，

所以-an=4=（）,a“一=a2,---,an-a2=an_l,an-a}=an,

即nan=2(4+6+••♦an_1+an).

2

所以a”=—（tz,+H------F<7nl+a“）.........................9分

n

（III）由（II）知，当〃=5时，有%一%=。2，。5-43=。3，

即4=%+包=2a3，

因为0=4<4<♦••<4，所以。3+。4>。2+。4=。5，

所以（/+4）史A,所以（。4一。3）6儿.

由a2+aA=2a3,得％-4=（%-％）eA，

且0<。3­。2<。3，所以％一。2=。2，

即—4=%-4=%—a，=a,—%=a>

所以4，。2，。3，%，%是首相为°，公差为生的等差数列••

..................................................13分

（2021人大附3月考）

21.（本小题15分）

已知项数为以左€”，/3）的数列｛叫满足04%<生<一<4，若对任意的

i，j（l<i<j<k）,aj+q与a广生至少有一个是数列｛”“｝中的项，则称数列｛4“｝具有性质

P.

（I）判断数列0,2,4,8是否具有性质尸，并说明理由；

（H）设项数为10的数列｛q｝具有性质P,%=36,求q+%+…+%+4,；

（III）若数列｛““｝具有性质P,且不是等差数列，求k.

21.（本小题15分）

（I）数列0,2,4,8不具有性质P.....................2分

因为2+8=10,8-2=6,它们均不是数列0,2,4,8中的项，

所以数列024,8不具有性质P.....................4分

（II）考虑项数为％的具有性质P数列｛。"｝.

a<a

因为0<q<,,,<k-\k»ak+ak,

所以《一用£加，B|J0eM,所以q=0.....................5分

设因为%所以《一《£加.

又0=4-%,

所以4-4=4，4-4-1=/，…，ak-aA=ak...........7分

将上面的式子相加得kq-(%+&T+…+4+«))=«,+生+…+W-i+4.

A4Z

所以q+%H---F4_]+4=...........8分

故当&=10,40=36时，a｝+a2+---+Oy+aU)==180...........9分

(III)一、当左=3时，

由(1[),q=0,a3-a2=a2=a2-at,

与数列｛《,｝不是等差数列矛盾，不合题意...........10分

二、当无=4时，

存在数列符合题意，例如数列0,2,6,8,故々可为4...........11分

三、当AN5时，

由(II),ak-ak_t=aM(0<i<k-\).(*)

当时，a_+q>&T+g=4,所以为_1+qeM,ak^-a.&M.

又°=4_|_ak_t<a1一4_2<…一/<4-4=4.2，

0=qV。2<…Vak-3Vak-2'

所以%_|-4_|=4，4_|-%_2=。2，…，ak-\-«3=ak-3-

所以%-4T=ai(\<i<k-3).

因为&N5,所以%T-4T=4，ak_t-ak_2=(^.

所以4_i-q=,%_「%=4-2，

所以WT-4T=ai0<i<k-\).(**)

由(*)(**)两式相减得，为-4.1=4+|-.

与数列｛q｝不是等差数列矛盾，不合题意...........14分

综上所述，4=4...........15分

（2019石景山一模理20）

20.（本小题13分）

若项数为〃的单调递增数列｛a„｝满足：

①q=1；

②对任意人（ZwN*,2WkWn）,存在i,j（ieN*,jeN*,iWiWjW"）使得

%=ai+%,则称数列｛%｝具有性质P.

（I）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P,并说明理由；

（II）若数列｛%｝具有性质P,且%=36,

（i）证明数列｛4｝的项数〃27；

（ii）求数列｛氏｝中所有项的和的最小值.

20.（本题13分）

解：（I）因为3。1+1,所以1,3,4,7不具有性质P；

因为2=1+1,3=1+2,5=2+3,所以1,2,3,5具有性质P.

（II）

（i）因为｛凡｝是单调递增数列，又q=4+勺，

所以cij<%<ak即a,<Uj<aA_1,

所以442ai,

4=1,所以。2«2,a3<4,a4<8,a5<16,tz6<32,

又因为a“=36,所以〃27.

（ii）因为36=18+18,18=9+9,9=3+6,6=3+3,3=1+2,2=1+1；

所以可以构造数列1,2,3,6,9,18,36满足性质P；

或36=18+18,18=9+9,9=4+5,5=4+1,4=2+2,2=1+1,

所以可以构造数列1,2,4,5,9,18,36满足性质P；

上述两个数列的和为75,下面说明75为数列｛凡｝中所有项的和的最小值.

若18在数列｛%｝中，要求数列｛为｝中所有项的和的最小值，则％=18,

若18不在数列｛%｝中，则a,.+勺=36，由(i)知〃27,

则数列｛a“｝中所有项的和s=q+a2+L+an>(«,.+勺+36)+4«,=76,

所以要求数列｛4｝中所有项的和的最小值，则a-=18.

同理要求数列｛4｝中所有项的和的最小值，则a-=9，

9=8+1=7+2=6+3=5+4,同理可得a1=6或4；

依此类推要求数列｛%｝中所有项的和的最小值，其数列为1,2,3,6,9,18,36或

1,2,4,5,9,18,36

所以数列｛凡｝中所有项的和的最小值为75.

【若有不同解法，请酌情给分】

已知数集A=｛a1,a2,.-.,a„｝(l=a1<a2<---<a„,n^2)具有性质尸：对任意的

k(2W2Wn),Bz,j(lWiWjWn),使得ak=ai+a,成立.

(I)分别判断数集｛1,3,4｝和｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由；

(II)求证：%W2a,+H---1-(〃>2)；

(III)若a,=72,求数集A中所有元素的和的最小值.

(1)因为3左1+1，所以｛L3.4｝不具有性质P.

因为2=1x2,3=1+2,6=3+3,所以｛1,23,6｝具有性质P...........4分

(II)因为集合4=｛《。2,…，为｝具有性质P：

即对任意的人04A4”)，方使得q=q+6成立，

又因为1=《<0?"22.所以

所以a,4a*-i，所以a*=a,+a,4

BPa,<2a,.，),a„.,<2a„,,<2ani,...,ay<2a2,a,<2a)...........6分

将上述不等式相加野

a2+--+a,_i+a„<2(勾+对+…+q_J

所以a“<2q+%+…+q_i...........9分

(IH)最小值为147.

首先注意到根据性质P.得到a2=2a=2

所以易知数集A的元素都是整数.

构造/=｛1,2,3,6.9.18,36,72｝或者/=｛1,2,4,5»9,1&36,72｝,这两个集合具有性质

P,此时元素和为147.

下面,我们证明147是最小的和

假设数集上佃,4,…4｝^^2—^〃，"'2).满足S=£a,4147最小(存在

性显然，因为满足£@4147的数集4只有有限个).

20.<本小题13分)〃

髀：(I)因为3*1+1,所以｛L3.4｝不具行性颜以-

因为2=1x2.3=1+2,6=3+3,所以｛123,6｝人行性质H

(II)因为集合*｛q用,…4｝具有性质3♦

即时任意的小,僧14=4+可成年一

乂因为1=0/〈，叶〃之2,所以a〈q.qvq.

所以可£%、%Sag,所以4=q+qW2az

即q42al,j42a4%t…ai"%丹0%•

格上述不等式相加

%+•••+ow_|+aw42(q+a?+…+。1)»

所以q4%1+。]+•••+。>[・

(川)最小值为147-

首先注意到q=l,根据性成式得到q=%=2・

所以妨知数的兀泰都是整教「

构造d二｛L23.6.9.1&36.72｝或?;彳=｛L2.4.5.9.18.36.72｝,这两个佻介共行性质

充此时兀泰利为147“

方面，我们证明147及最小的和“

•然•闪为满足£>4147的故乐/只存自限个),

第,步：首先说明第介*｛q.如…4｝©/—..〃22)中至少仃8个兀本〜

由(H)可知942&.&2al........

乂q=L所以642.。3工4.448.6416.4432.。7&64<72,“

所以〃28.

第步：证明=36.。­？=18.口=9：.

«

心36e”,设q=36,因为a“=72=36+36,为“史汽S=£aAJ小，在第介

中•定小含仃兀索4，使得36y/<72,从而。z=36；“

假设36®/,根据性质无月劣=72,寸风外使也凡=72=《+%”

U然工丐,所以q+a+q=144~

而此时此合/中至少还仃5个不同4叫4/的元—・

从而S>(q+q+a，+5q=149.4M,“

所以36w/,进而q=36,IL/T=36；/

所以18wd,=

同理可以证明：K9e则=

般设92.4“

因为。1=1&根据性啦正4M外使得。I=18=。,+。”

U然qN。人所以4+o.i+。7+《+丐=144~

而此时集合Z中至少还〃3个不同F*。1・。1・。,・巧的兀叔

从而S>q,+，i+o.2+q+丐+必1=147,/，丽，“

所以9wA,11=9)“

至此，我们得到/。1=36。1=1&。1=9.~

根据性质比布q,%•使得9=4+。”

我们需要号虐如21种情形：“

①q=8.q=l.此时案合中至少还需要一个人干净『4的兀索外,才能得到兀烹8,~

则S>148；”

②4=7,%=2.此时奂企中至少还需要•个大F4的兀意外，才能得到兀茶7.“

则S>148：-

”,=6.3=3.此时集•仆d=｛L2369J&36.72｝的和最小,为147…

④q=5.3=4.此时案仆/=｛L24.5.9,1&3672｝的和最小，为147.”

【答案】分析:(I)利用性质P的概念，对数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,

6｝判断即可;

(口)利用集合庆=何，a2，…，aj具有性质P,可分析得到awa1，向与心

1,从而ak=ai+aj<2ak-i,(k=2,3,...n),将上述不等式相加得a2+...+an-

i+a$2(ai+a2+...+an-i)

即可证得结论；

(HI)首先注意到&=1,根据性质P,得到az=2ai=2,构造A=｛1,2,3,

6,9,18,36,72｝或者A=｛1,2,4,5,9,18,36,72｝,这两个集合

具有性质P,此时元素和为147.

n

V

再利用反证法证明满足S=，=laWl47最小的情况不存在，从而可得最小值

为147.

解答:解：（I）因为3#1+1,所以{1,3,4}不具有性质P.

因为2=”2,3=1+2,6=3+3,所以{1,2,3,6}具有性质P...（4分）

（II）因为集合八=伯1,a2,…，aj具有性质P：

即对任意的k（2<k<n）,即j（1<i<j<n）,使得ak=a+aj成立，

又因为1=a1<a2V…<an,n>2,所以aVak,aj<ak

所以ai<ak-i，aj<ak-i,所以ak=ai+aj<2ak-i

8n-1-2an-2>8n-2-2an-3>,33-2d2>32-231（6分）

将上述不等式相加得a?+…+an-i+anS2（ai+a2+...+an-i）

所以aT2ai+a2+…+an-i…（9分）

（DI）最小值为147.

首先注意到&=1,根据性质P,得到az=2a尸2

所以易知数集A的元素都是整数.

构造A={1,2,3,6,9,18,36,72}或者A={1,2,4,5,9,18,36,

72},这两个集合具有性质P,此时元素和为147.

下面，我们证明147是最小的和

n

S=Va<147

假设数集八=91,a2,…，an}（ai<a2<...<an,n>2）,满足『1'

n

ya<147

最小（存在性显然，因为满足=1'的数集A只有有限个）.

第一步：首先说明集合A={ai,a2,...»an}（ai<a2<...<an,n>2）中至

少有8个元素：

由（II）可知a242ai,a3s2a2…

又ai=1,所以a2s2,a3s4,a68,a5^16,a6M32,a7464V72,

所以n>8

第二步：证明an-i=36,an-2=18,an-3=9：

n

S=£a

若36£A,设at=36,因为a「=72=36+36,为了使得门’最小，在集

合A

中一定不含有元素ak,使得36<ak<72,从而an」=36；

假设36CA,根据性质P对③=72,有a,ap使得an=72=a+aj

显然a/aj,所以an+ai+aj=144

而此时集合A中至少还有5个不同于生，a„砌的元素，

从而S>(an+ai+aj)+5ai=149,矛盾，

所以36GA,进而at=36,且an-i=36；

同理可证：an-2=18,an-3=9

(同理可以证明：若18£A,则an?=18).

假设180A.

因为a*36,根据性质P,有a”a”使得a*36=ai+aj

显然aHaj,所以an+an-i+ai+a)=144,

而此时集合A中至少还有4个不同于a”an-i,a；,aj的元素

从而S>an+an-i+ai+aj+4ai=148,矛盾，

所以18£A,且an-2=18

同理可以证明：若9£A,贝！Ja『3=9

假设9sA

因为an-2=18,根据性质P,有ai,a”使得a»2=18=ai+aj

显然a*aj,所以an+an-i+an-2+ai+aj=144

而此时集合A中至少还有3个不同于an,an-i,an.2,a.,初的元素

从而S>an+an-i+an-2+ai+aj+3ai=147,矛盾，

所以9WA,且a»3=9）

至此，我们得到J8n-1=36,8n-2=1818n-3=9ai=793j=2.

根据性质P,有a“a”使得9=a+aj

我们需要考虑如下几种情形：

①a=8,砌=1,此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak,才能得

到元素8,

则S>148；

②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak,才能得到元素7,

则S>148；

③a=6,砌=3,此时集合庆={1,2,3,6,9,18,36,72}的和最小,为

147；

④a=5,砌=4,此时集合庆={1,2,4,5,9,18,36,72}的和最小，为

147....（14分）

点评：本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想

与转化思想，考查构造函数的思想，an-i=36,a+2=18的证明是难点，属于

难题.

（2009年-北京20题）己知数集A=｛q,g，…％｝（1<…〈。八〃之3）具有性质P：对任

意的j<n）,・与」两数中至少有一个属于A.

（I）分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由；（II）证明:q=l,且

1+%+■♦,+44；（III）证明：当〃=5时，4，。,,。3，%，生成等比数列.

4+%+,••+〃〃

4

解答：（I）由于3x4与］均不属于数集｛1,3,4｝,...该数集不具有性质P.

由于1x2,1x3,1x6,2x3,I，］,I，3获都属于数集｛1,2,3,6｝,

•••该数集具有性质P.

（II）；A=｛qM2,…具有性质P，，与”■中至少有一个属于A,

由于1W6<%<…<4,，«,•a“a”>an,故anan生A.

从而1=—^eA,a,=1

an

"：\=ay<a2<---<an,：.akan>an,故4a“史A(k=2,3,•••,〃).

由A具有性质P可知A(R=1,2,3「、〃).

从而组+乌-+…+%+&=%+a,+---+a„]+a“，

aaa

„n-\i4

....+%+..,+/=a

**a-1+a；'+---+6Z,；1-

(III)由(H)知，当〃=5时，有四■=%,&■=°3，即

4-a3

•1=4<a,<•••v。5，

/.>%〃4=a51••eA,

由A具有性质P可知且eA.

由44=曲，得幺=&WA,且1<生<《，,幺=幺=2，

a2a3a2a3a2

••%•--_--%--_--/------外，

%%a2a\

即4，生,。3，。4，。5是首项为1，公比为电成等比数列.

(2018海淀二模)

20.(本小题共13分)

如果数列｛%｝满足“对任意正整数i,/,ix/,都存在正整数使得a=4%"，则称数

列｛4｝具有“性质P”.已知数列｛%｝是无穷项的等差数列，公差为

(1)若卬=2,公差d=3,判断数列｛%｝是否具有“性质P”，并说明理由；

(II)若数列｛《,｝具有“性质P”,求证：为20且420；

(IH)若数列｛4｝具有“性质P”，且存在正整数人使得a=2018,这样的数列也“｝共有多

少个？并说明理由

20.(本小题13分)

解：(I)若4=2,公差d=3,则数列他,｝不具有性质P.................1分

理由如下：

由题知4=3〃-1,对于4和的,假设存在正整数左，使得见=4臼，则有

3%-l=2x5=10，解得无=?■，矛盾！所以对任意的々eN*，w%a2......3分

(II)若数列｛氏｝具有“性质P”,则

①假设/<0，d<G'则对任意的“eN"，a„=a,+(H-1)■<7<0.

设4=4x%，则%>0，矛盾！.................................4分

②假设则存在正整数r，使得

a1<a2<a3<--<al<0<a,+,<al+2<■■­

设q.a*=4i，qy+2=%，q,《+3=%，…，。「々用=气,，，勺eN*，

i=l,2,…,f+1，则。>4,>a板>旬>…>4,“，但数列｛《,｝中仅有r项小于等于o,矛盾!

.....................................................................6分

③假设q20，d<0,则存在正整数f，使得

a[>a2>a3>--->al>0>al+l>al+2>•••

设”,+「4+2=%，4+I«+3=%，”，+「a，+4=a4，…，4+i•出,+2=4川，k,eN*-

i=l,2,...j+l，则0<%<%<%<…〈为一，但数歹U㈤｝中仅有f项大于等于0,矛盾！

.....................................................................8分

综上，«1>0>d>0-

(III)设公差为"的等差数列｛%｝具有“性质P”，且存在正整数人使得q=2018.

若d=0,则｛为｝为常数数列，此时%=2018恒成立，故对任意的正整数公

2

ak=20182018=at-a,，

这与数列｛七｝具有“性质P”矛盾，故dwO.

设x是数列｛%｝中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列｛““｝中的项，设

aki=x(x+d),aki=x(x+2d)

则%-a,=xd=也-k>d,

因为d*0,所以x=自-勺eZ，即数列｛七｝的每一项均是整数.

由(II)知，a,>0,420,故数列｛a,』的每一项均是自然数，且d是正整数.

由题意知，2018+4是数列⑸｝中的项，故2018-(2018+“)是数列中的项，设

册=2018.(2018+4),贝I

am-a,=2O18.(2O18+J)-2O18=2O18x2O17+2OI8z7=(/n-)l).J,

即(m-Z-2018)-d=2018x2017.

因为加—"2018eZ，deN"，故d是2018x2017的约数•

所以，t/=l,2,1009,2017,2x1009,2x2017,1009x2017,2x1009x2017-

当［=1时，q=2018-伏-1)NO，得后=1,2,...,2018,2019，故

q=2018,2017,...,2,1,0，共2019种可能；

当［=2时，tzl=2018-2a-l)>0)得火=1,2,...,1008,1009,1010，故

a,=2018,2016,2014,...,4,2,0，共1010种可能；

当d=1009时:4=2018-1009x(々-1)20，得&=1,2,3，故

q=2018,1009,(),共3种可能；

当d=2017时，4=2018-2017(1):0,得*=1,2，故

%=2018/，共2种可能；

当"=2x1009时，勾=2018—2018x(左一1)20，得上=1,2，故

%=2018,0，共2种可能；

当4=2x2017时，4=2018-2x2017x("1)*0,得左=1，故

%=2018，共1种可能；

当d=1009x2017时，%=2018-1009x2017x("1R0,得％=1，故

at=2018.共1种可能；

当4=2x1009x2017时，4=2018—2x1009x2017x(^-1)20，得左=1，故

a,=2018.共1种可能.

综上,满足题意的数列｛凡｝共有2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039(种)・

经检验，这些数列均符合题意.13分

（2021丰台一模压轴题）

（21）（本小题14分）

已知数列A:a”生,…,%”（neN*）,现将数列A的项分成个数相同的两组，第一组为

8：4也，…也，满足〃1%（i=l,2,L,〃-1）；第二组为C:q，G/、q,，满足

qWc；+|（i=l,2,L，〃一1）,记M=£网一cj.

/=|

（I）若数列A:l,2,4,8,写出数列A的一种分组结果，并求出此时〃的值；

（H）若数列A:l,2,3,…,2”，证明：max{4，q}\w+l（i=l,2,L,〃）；（其中max他,q}表示

如q.中较大的数）

（HI）证明：M的值与数列A的分组方式无关.

（类似初中竞赛题）

将1,2,3,4,…,199,200这200个数任意分为两组，每组100个数，将其中一组按从小到大的顺

序排列（记为q<4<-<«100），另一组按从大到小的顺序排列（记为々>h2>.：>him）

求Iq—4I+14-4I—Hq（x）-AooI的值

（2020人大附初一周测）

27.我们将不大于2020的正整数随机分为两组。第一组按照升序排列得到q<的<-<«,o,o-

第—一组按照降序排列得到b、>h2>••■>hm0，求|q-4|+16-&I---H4oio-々enoI的所有可

能值.

酬:咦不在h便当心当。枝且儿3。必助|shwM0,keM

MQ.,Q»,—Qv,t>k，b*…bi"均不超过|。|。，与（入甯

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(2021门头沟一模压轴题)

21.(本小题满分15分)

对于一个非空集合力,如果集合。满足如下四个条件：

①。口{(a/)|aeeA}；

②VawA,(a,a)e£>；

®\fa,heA,,若(a,A)e。且(4a)e。，则a=6；

®\fa,b,ceA,若(a,方)e。且(6,c)w£),则(a,c)w£),

则称集合。为力的一个偏序关系。

(I)设/={1,2,3},判断集合。={(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合4的偏序关系,

请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；

(II)证明：色={(a力)|aeR,/7eR,a0}是实数集R的一个偏序关系：

(III)设£■为集合力的一个偏序关系，。力G4若存在cG/,使得(c,a)GE,(c,b)QE,

且VdwA,若(d,a)eE,(d,b)QE,一定有(d,c)eE,则称c是a和6的交，记为c=

a/\b.证明：对/中的两个给定元素。力，若aAb存在，则一定唯一.

解：(I)集合。满足①②③，但不满足④，因为(l,2)e£),(2,3)w。由题意(l,3)e。，而(1,3)任£>,

所以不满足④，集合。不是集合A的偏序关系.....2分

。={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}(开放性)............................2分

注：(I)如果只给出结果，扣1分

(II)证:显然满足①②........1分

V(a,Z?)££>=>〃</?日(),a)££>=>/?<〃门_卜

'H，则°一"，满足条件③……1分

Ta,b,ceR,若(a,b)w(且(b,c)£&,则所以a<c,

所以(a,c)e&,满足条件④...2分

综上所述，<={3,»|ae/?/勿是实数集R的一个偏序关系…1分

(III)反证法。假设对A中的两个给定元素且aAb存在，但不唯一。

设q=〃A。，C2="A”,且行。2则(q,a)eE,2,份eE,(C2，a)wE,&㈤eE,其中

E为集合A的一个偏序关系。......................2分

且VdeA,若(d,a)eE,(d,h)eE,一定有(d,q)€E,所以(C2，q)eE,

....................................................................2分

同理(q,C2)eE,则C2=q,与《工。?矛盾。........................［分

所以，对A中的两个给定元素a,/?,若存在，则一定唯一。...1分

(2021朝阳一模压轴题)

(21)(本小题15分)

设数列A“：q吗，…，金(加22),若存在公比为4的等比数列(向结也，…也”,使得

bk<ak<4M，其中％=1,2,,则称数列瓦用为数歹ij，的“等比分割数列”.

(I)写出数列4:3,6,12,24的一个”等比分割数列”及；

(H)若数列4。的通项公式为4=2"(〃=1,2,…,10),其“等比分割数列”%的首项为1,

求数列%的公比4的取值范围；

(III)若数列4的通项公式为%=/(”=1,2,…,相)，且数列A,”存在“等比分割数列”，

求用的最大值.

(0.2,4,8)曲32

通(42’4%2〃f"2，】彳'"4*223:

多2<卜2"且2<]<2、卫242',

今

侬、的跃=$

。MS好彷竹一牛

2Jz2.1<222.区2.2〈宓邛22中2,|X2泣<$〃|g

印［］冈妹冰,传短

2

U会"c-彳

标准答案：

(21)(共15分)

解：(I)为：2,4,8,16,32.(答案不唯一)

（II）由％<a*<%+1,得gi<2*</左=1,2,…,10

所以2<q<2"i,&=2,3,…,10.

令/（幻==1+—L,%=2,3,…,10,

k-\k-\

则单调递减.

所以2君(4=2,3,…,10)的最小值为2M.

所以2<”29,即公比4的取值范围是

（2,2万）.

(III)首先证明当心26时，数列4不存在“等比分割数列”.

假设当〃吐6时，数列4存在“等比分割数列"B…

2i42m

则伪<l<b2=b1q<4<bxq<9<b]q<l6<b]q<25<•­•<m<bxq.

易知4>0,q>0.

因为0<许<1,且4c以『，所以/>4.因为q>0,所以q>2.

又因为9〈伪q3,所以％=伪/=伪"・,>36=62,

与%<%=36矛盾.

所以当〃?26时，数列4,“不存在”等比分割数列”.

所以，〃45.

当加=5时，数列/1,4,9,16,25,存在首项为楙公比为'的数列叫,满足:

所以机=5时，数列A,"存在”等比分割数列”.

所以，〃的最大值为

15分

(2021石景山一模压轴题)

(21)(本小题15分)

由机个正整数构成的有限集M={a],a2g，…0”}(其中q<。3<…<4")，记

P(M)=al+a2+...+am,特别规定P(0)=O,若集合又满足：对任意的正整数％<P(M),

都存在集合M的两个子集Z,B,使得后=P(A)-P(B)成立，则称集合/为“满集”.

(I)分别判断集合〃|={1，2}与根={2,3}是否为“满集”，请说明理由；

(II)若集合初为''满集"，求4的值：

(III)若4,4,%，…，4是首项为1公比为2的等比数列，判断集合"是否为“满集”，并说

明理由.

(21)(本小题15分)

解：(I)此是满集，不是满集.

尸(必)=3,且必的子集为0,{1},{2},{1,2}

A：=1«=尸({[})_P(0),左=2#=P({2})—P(0),k=3,k=P([1,2])-P(0)

所以必是满集；

P(弧)=5,且％的子