2022年河南省中考数学总复习新题型专项阅读理解类与新函数图象与性质的探究类(含答案)

2022年河南省中考数学总复习新题型专项专练

题型阅读理解类

类型1新定义阅读理解

l.[2021平顶山二模]顶点在圆上，一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图⑴所示,PT

切0()于点T,PB交0()于点A,B,ZPTA就是O0的f弦切角.经研究发现:弦切角等于所夹弧所对

的圆周角.

⑴下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程.

已知如图⑴,PT是。。的切线,T为切点，射线PB交00于A,B两点，连接TA,TB.

求证:/PTA=NABT.

⑵如图⑵,AB为半圆()的直径CD为半圆0上两点，连接AD,过点C作半圆0的切线交AD的延长线

于点E,则NECD为。0的T弦切角.若CE_LAD,且BC=1,AB=3厕DE=.

2.阅读下列材料，并完成相应的任务.

三角形的陪位中线

如图(1),AD是4ABC的中线，点E是BC上一点，且NEAC=NBAD,则AE是4ABC的陪位中线.反

之，若AD是aABC的中线,AE是AABC的陪位中线，则/EAC=NBAD.

如图⑵,AD是AABC的中线,AE是4ABC的陪位中线，点F,G分别在边AB,AC上,FG与AE,AD分别

交于点0,11.若△AFGsZXACB,则AE平分FG.

下面是证明AE平分FG的过程(部分).

证明:；AD是AABC的中线,AE是AABC的陪位中线,

/.Z1=Z2,

:.ZFAO=ZGAH.

VAAFG^AACB,

.".Z3=ZC,Z4=ZB,

.".△AFO^AACD,AAOG^AADB,

任务:

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

⑵利用以上内容解决问题：

如图⑶，已知△ABC,以AB为直径作。0,分别交AC,BC于点D,E,点F是AB上一点，且/ACF=/BCO,连

接DE交CF于点G,连接DF.若DF〃CE,求证:DF=CE.

图⑶

3.[2021山东枣庄中考改编]如图⑴，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

⑴概念理解:如图⑵，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD垂美四边形.(填“是”或

“不是”)

⑵性质探究:如图⑴，垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0.证明:AB'CD三AD'+BC；

⑶解决问题:如图⑶，分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,直接写出GE的长.

4.[2021北京中考改编]在平面直角坐标系xOy中,00的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定

义:若将线段BC绕点A旋转可以得到。0的弦B'C(B'£'分别是B,C的对应点)厕称线段BC是O0

的以点A为中心的“关联线段”.

⑴如图，点的横、纵坐标都是整数.在线段BC,B£“BQ中,00的以点A为中心的

“关联线段“是.

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(O,t),其中tWO.若BC是。0的以点A为中心的“关联线

段”，求t的值

类型2数学文化阅读理解

5.阅读以下材料并解决问题.

图⑴

托勒密(公元90年一公元168年),希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，他论证了四边形的特

性，即有名的托勒密定理.

托勒密定理:在圆的内接四边形中，两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积.

如图⑴，四边形ABCD内接于0O,AC,BD是对角线，则AB•CD+AD•BC=AC•BD.

某数学小组试图利用相似三角形的判定与性质对“托勒密定理”进行证明,作辅助线过程如下：

在BD上找一点P,使NDAP=NBAC,如图(2)所示.

请你补全该证明过程.

6.[2021贵州贵阳中考改编]⑴阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学

家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅如图⑴所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程.

⑵问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图⑵是古代的一种证明方法:过正方形ACDE的中心0,作FGJ_HP,将

它分

成4份.所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12,BC=5,求

EF的值.

D

图⑴图⑵

类型3解题方法类阅读理解

7.我们学习过利用尺规作图找出一条线段的中点，你能利用尺规作图找到一条线段的三等分点吗?

小聪同学对这个问题非常有兴趣，他尝试了很多次,终于找到了一种作图方法.下面是小聪的作图

过程.

如图⑴，①画线段AB；②过点A作一条不与AB重合的直线1；③以点A为圆心，任意长为半径画圆，

交直线1于点C,D；④连接BC,找出BC的中点E,连接DE交AB于点F,则点F为线段AB的一个三等

分点.

为了说明这一作图方法的正确性,需要对其进行证明.如下,小聪给出了不完整的“已知”和“求

证”，请你帮助小聪补充完成，并写出“证明”过程.

已知如图⑵，在^ABC中，点E是BC的中点，延长CA至点D,使得涟接DE,交AB于点F.

求证:____________________________________________________________________________.

8.[2021湖北随州中考改编]等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图

形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的

两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可

以使解题思路清晰,解题过程简便快捷.

⑴在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为_1其内切圆的

半径长为.

⑵如图⑴,P是边长为a的正三角形ABC内任意一点，点0为AABC的中心，设点P到AABC各边距

离分别为h“h2,h：“连接AP,BP,CP油等面积法，易知2a(hi+h2+h3)=SAABc=3SA(«i“可得hi+hz+h产；(结

果用含a的式子表示)

⑶①如图⑵，已知。0的半径为2,点A为00外一点,0A=4,AB切00于点B,弦BC〃0A,连接AC,则图

中阴影部分的面积为；(结果保留2

②如图⑶，现有六边形花坛ABCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五

边形ABCDG,其中点G在AE的延长线上,且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并

说明理由.

类型4科普材料类阅读理解

9.[2021山西中考改编]阅读与思考

请阅读下列科普材料并完成相应的任务.

图算法中的图也叫诺模图，是根据几何原理,将某一已知函数关系式中的各变量，分别制成有

刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在T的一种图形,可以用来求函数关系式中的

未知量.例如:有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧,问并联后的电阻值是多少.

我们可以利用公式白求得K的值，也可以设计一种图算法直接得出结果:如图⑴，我们先

来画出一个120。的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上按照同样的单位长度标上刻

度，这样就制好了一张算图，我们只要过角的两边刻着7.5和5的两点作一条直线，这条直线与角平

分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.

图算法得出的数据大多是近似值,但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计

算的测量制图人员彳主往更能体会到它的优越性.

任务

⑴请根据以上材料简要说明图算法的优越性.

⑵请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式疗+算十算:当RF7.5尺=5时,R的值为；

②如图⑵，在AAOB中,NA0B=120°,OC是AAOB的角平分线OA=7.5,0B=5用你所学的几何知识求线

段0C的长.

0

图⑵

2022年河南省中考数学总复习新题型专项专练（学生版）

题型新函数图象与性质的探究类

类型1根据解析式探究函数的图象与性质

1.［2021四川自贡］函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连

线画出函数图象，然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验，画出函数

y=-黑的图象，并探究其性质.

列表如下：

X--4-3-2-10123

⑴直接写出表中a,b的值，并在如图所示的平面直角坐标

系中画出该函数的图象.

⑵观察函数y=-筋的图象,判断下列关于该函数性质的

命题:

①当-2Wx<2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时,函数有最小值，最小值为-2；

③时，函数y的值随x的增大而减小.

其中正确的是.（请写出所有正确命题的序号）

⑶结合图象，请直接写出不等式普〉x的解

集:.

2.［2021平顶山三模］小明学习了函数有关知识后，利用学到的方法对函数y=［（X<T）'进行

{-X+2（x>—1）

了如下探究：

⑴列表：

x~5-4-3-2To123

其中m=,n=.

⑵描点、连线:在如图所示的平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵

坐标，已画出部分图象，请描点并补全函数图象.

⑶结合函数图象回答下列问题：

①该函数存在最值(填“大”或“小”)，最值是；

②观察函数图象，写出y随x的增大而变化的情况:；

③若直线y=kx+b经过点⑵0),且与y=M(X<-D'的图象围成封闭的图形,当封闭图形内(不包

(-X+2(x>-1)

括边界)的整点(点的横、纵坐标都为整数)有4个时，直接写出b的取值范围.

3.小东在课外书上遇到了函数y=x4gx>0),为了探究该函数的图象与性质，他进行了如下探究，请

补充完整.

⑴当x>0时，将x与y的几组对应值列表如下(当y的值是无限小数时，结果精确到0.01)：

X•••0.40.60.811.21.41.61.82•••

y-5.163.693.1433.113.393.814.35m…

其中,m=.

⑵根据上表数据，在如图⑴所示的平面直角坐标系中描点，请你描出点⑵m),再画出函数

丫=(+为〉0)的图象

图⑴

⑶结合图象进行分析，小东得到下面的结论,请你判断正误(正确的打“,错误的打“X”).

①当0〈x<l时,y随x的增大而增大.()

②当y=4时()

③若点A(xi,yJ,B(X2,%)(xKxJ在该函数图象上，且到直线x=l的距离相等，则y0％()

⑷某农户要建造一个如图⑵所示的容积为1的长方体无盖水池,水池的底面为正方形，其底面造

价为1000元/口:,侧面造价为500元/n?.设水池底面边长为xm,水池总造价为y元.

①求y关于x的函数解析式；

②请直接写出当水池底面边长是多少时，水池总造价最少，最少是多少元.

类型2分析几何问题探究函数的图象与性质

4.[2021郑州枫杨外国语三模]

如图⑴，在aABC中,NACB=90°,AC=BC,AB=6cm,点E是线段AB上一动点，点D是BC的中点，过点C

作射线CG,使CG〃AB,连接ED并延长交CG于点F,连接AF.设A,E两点间的距离为xcm,E,F两点间

的距离为ycm.

小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究.

下面是小亮的探究过程,请补充完整：

⑴列表:如表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的

几组对应值：

x/cm012344.556

y/cm9.497.625.83_____3.163.003.164.24

Ay/cm

10

9,

8

7

6

5

4

3

2

1

01123456i/cm

图⑵

请你通过计算补全表格（保留两位小数）.

⑵描点、连线:在如图⑵所示的平面直角坐标系xOy中,描出剩余的点（x,y）,并画出函数y关于x

的图象

⑶根据函数图象，当E,F两点间的距离y最小时,A,E两点间的距离约为cm.

⑷解决问题:当EF-AE=2时,BE的长度大约是cm.（结果保留一位小数）

5J2021焦作二模］小航在学习中遇到这样一个问题：

如图⑴，点F是线段AB上一动点，线段AB=8cm,AB的垂直平分线交@于点C,取线段CD的中点0,

连接F0并延长交魂于点E,连接AE.若AAEF是等腰三角形，求线段AF的长度.

小航结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：

⑴根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF,EF,AE的长度彳导到下表的几组

对应值.

AF/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

EF/cm6.75.64.53.5m3.54.5n6.7

AE/cm6.76.56.25.75.04.23.63.22.9

其中,m的值为,n的值为.

⑵将线段AF的长度作为自变量x,EF和AE的长度都是x的函数，分别记为y国和外并在平面直角

坐标系xOy中画出了函数注的图象，如图⑵所示.请在同一坐标系中画出函数y*的图象.

⑶继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当4AEF为等腰三角形时，线段

AF长度的近似值（结果保留一位小数）.

6.数学课上，老师展示了下面一道数学题目：

如图⑴，在RtAABC中,NACB=90。，AC的长为4cm,BC的长为2cm,以点C为圆心,AC的长为半径画

弧交BC延长线于点D,过点D作DH±AB于点H,交AC于点G,E是线段BD上一动点，连接AE交DII

于点F,试探索当BE为何值时,AF或EF恰好等于DG长的一半.

A

某个学习小组成员分析发现，该问题通过常规的推理计算很难得到答案，于是他尝试利用函数的知

识解决这个问题，请你帮助他完成下面的探索.

⑴该小组成员根据点E在BD上的不同位置，画出相应图形，测量线段BE,AF,EF的长度彳导到下表的

几组对应值.

BE/cm00.51.01.52.53.03.54.04.55.06.0

AF/cm1.791.801.831.902.152.362.632.98,.434.005.66

EE/cm'2.682.4Z2.292.131.881.771.64；49：I.291.000

操作中发现：

①当BE长为2.0cm时，可以直接得到此时AF的长为cm,EF的长为cm；

②在探究过程中，小组成员发现DG的长度无需测量即可得到，请你计算出DG的长.

⑵小组成员将线段BE的长作为自变量x,AF和EF的长度分别记为.外,并在如图⑵所示的平面

直角坐标系中画出了y”的图象.请你通过描点、连线的方法，在同一平面直角坐标系中画出y、「的

图象

⑶为解决问题，还需画出函数的图象，结合函数图象可知，当AF或EF是DG长的一半

时,BE长的近似值为(结果保留一位小数).

类型3分析实际问题，探究函数的图象与性质

7.如图(1),某校准备在一个正方形花园ABCD内修建一个矩形书吧AEFG,其中点G在AD上，点E在

AB上，已知正方形花园ABCD的面积为400m；AB,AD是墙壁,BC,CD无墙壁.

图⑴

已知矩形书吧AEFG的面积为正方形花园面积的也该书吧可借助花园的墙壁，只设置围栏GF,EF即

可.

小丁用所学的知识进行了如下探究.

⑴建立函数模型

由题意知，此书吧的面积为400x（=100（硝，设AE=xm,贝!JAG哼m.设所需围栏的长度为ym,则y

关于x的函数解析式为.

⑵画出函数图象

①列表：

x581012.51620

y2520.52020.5[22.25a

其中,a=.

②请根据上表数据，在如图⑵所示的平面直角坐标系中描点，并画出y关于X的函数图象,其中启

变量x的取值范围是.

图⑵

⑶观察函数图象，解决问题

①当所用围栏最短时,AE的长为m,AG的长为m.

②若学校打算用20.5m的围栏建设书吧（围栏正好用完），请你给出一种围挡方案:.

③若围栏的长度为bm,则b的取值范围为时,每一个b值都对应两种围挡方式.

8.阅读材料：

某种型号的温控水箱的工作过程是:接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水;当水温达到

设定温度80℃时，加热停止;此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水

箱中的水至80℃时，加热停止;当水箱中的水温下降到201时,再次自动加热……按照以上方式

不断循环.

小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究.发现水温y

是时间x的函数，其中y(℃)表示水箱中水的温度,x(min)表示接通电源后的时间.

下面是小明的探究过程,请补充完整：

⑴下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y及时间x.

接通电源后

的时间012345810161820212432…

x/min

中

203550658064103220m80644020-

y/-C

m的值为.

⑵①当0WxW4时，写出一个符合表中数据的函数解析式:.

当4WxW16时，写出一个符合表中数据的函数解析式:.

②如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点,画出当0《xW32时,

温度y随时间x变化的函数图象.

⑶①接通电源后，在26min时的水温为℃.

②如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时,距离接通电源min.

02468101214161820222426283O3A

2022年河南省中考数学总复习新题型专项专练

题型阅读理解题类

类型1新定义阅读理解

1.[2021平顶山二模]顶点在圆上，一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图⑴所示,PT

切O。于点T.PB交0。于点A,B,ZPTA就是O0的f弦切角.经研究发现:弦切角等于所夹弧所对

的圆周角.

⑴下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程.

已知如图⑴,PT是。。的切线,T为切点，射线PB交00于A,B两点，连接TAJB.

求证:/PTA=NABT.

⑵如图⑵,AB为半圆0的直径,C,D为半圆0上两点，连接AD,过点C作半圆。的切线交AD的延长线

于点E厕/ECD为的一个弦切角.若CELADABC=1,AB=3,则DE=_1_.

图⑵

⑴证明:如图⑴，连接T0并延长交O（）于点（：,连接AC,则NC=NABT.

YPT切。0于点T,/.PT±TC,.,.ZPTA+ZATC=90°.

:TC为OQ的直径，.,.NC+NATC=90°,r.NPTA=NC.

VZC=ZABT,ZPTA=ZABT.

图⑵

⑵W

解法提示:如图⑵，连接AC,OC,OD.由⑴可得/DCENDAC.

VCE是半圆0的切线，；.OC_LCE.

VCEXAE,：.AE//OC,ZEAC=ZACO.VOA=OC,ZOAC=ZOCA,AZOAC=ZEAC=ZDCE,/.ZDOC=

ZBOC,ACD=BC=1,.*.DE=CDsinZDCE=CDsinZBAC=lxl=l.

2.阅读下列材料，并完成相应的任务.

三角形的陪位中线

如图⑴,AD是AABC的中线，点E是BC上一点，且/EAC=/BAD,则AE是AABC的陪位中线.反

之，若AD是4ABC的中线,AE是4ABC的陪位中线，则NEAC=NBAD.

图⑴

如图⑵,AD是AABC的中线,AE是AABC的陪位中线，点F,G分别在边AB,AC上,FG与AE,AD分别

交于点0,11.若△AFGs△ACB,则AE平分FG.

下面是证明AE平分FG的过程（部分）.

证

明:：AD是4ABC的中线,AE是4ABC的陪位中线,

AZ1=Z2,

/.ZFA0=ZGAH.

VAAFG^AACB,

••.Z3=ZC,Z4=ZB,

Z.AAFO^AACD.AAOG^AADB,

任务：

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

⑵利用以上内容解决问题：

如图⑶，已知aABC,以AB为直径作00,分别交AC,BC于点D,E,点F是AB上一点，且NACF=NBCO,连

接DE交CE于点G,连接DF.若DF〃CE,求证:DF=CE.

.FOAOAOOG

('"DCAD,AD-BD,

,FOOG

"DCBD

VAD是△ABC的中线，,BD=CD,OF=OG,即AE平分FG.

⑵证明:ZACF=ZBCO,OA=OB,

•••CF是AABC的陪位中线.

四边形ABED是O()的内接四边形，

.•.ZA+ZDEB=180°.

又：NCED+NDEB=180°,

.\ZA=ZCED.

又YNDCEu/BCA,

ACDE^ACBA.

由⑴可知DG=GE.

VDF/7CE,

ZGDF=ZGEC,ZGFD=ZGCE,

ZXGDF咨AGEC,DF=CE.

3.[2021山东枣庄中考改编]如图⑴，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

⑴概念理解:如图⑵，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD^^垂美四边形.(填“是”

或“不是”)

⑵性质探究:如图⑴，垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0.证明:AB2+CD2=AD"+BC；

⑶解决问题如图⑶,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,直接写出GE的长.

⑴是

⑵证明:：AC1.BD,

AZA0D=ZA0B=ZB0C=ZC0D=90o.

由勾股定理得AD'+BCJAON+DCV+BCf+CO：

AB2-K:D-=AO-+BO2+CO2+DO-,

.*.AB^+CDMIZ+BC2.

⑶GE的长为g.

解法提示:如图，连接CG,BE,设CE分别交AB,BG于点\1,N.

^ilEAGAB^ACAE,.-.ZABG=ZAEC.

又；ZAEC+ZAME=90°,ZBMC=ZAME,

ZABG+ZBMC=90°CE±BG,

四边形CGEB是垂美四边形.

由⑵，得CG2+BE2=CB2+GE2.

,.•AC=4,AB=5,BC=3,BE=5V2,CG=4>/2,

/.(1V2)+(5V2)=3H；li.

.,.GE=V73.

4.[2021北京中考改编]在平面直角坐标系xOy中,。。的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定

义:若将线段BC绕点A旋转可以得到O()的弦B'C(B'£'分别是B,C的对应点)，则称线段BC是O0

的以点A为中心的“关联线段”.

⑴如图，点A,B“3,B2,C2,B*C的横、纵坐标都是整数.在线段BC,B£ZBq中,。0的以点A为中心的

“关联线段”是

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(O,t),其中tWO.若BC是的以点A为中心的“关联线

段”，求t的值.

解:⑴BC

解法提示:如图⑴,将线段BC绕点A顺时针旋转90。，恰好得到O0的一条弦B'C、以点A为旋转

中心,BC旋转后一定不与00相交,旋转后的两个端点不可能同时在。0上.

⑵「△ABC是边长为1的等边三角形，

.••点B,C在以点A为圆心,1为半径的QA上.

又：BC是。0的以点A为中心的“关联线段”，

二点B.C绕点A旋转后的对应点B'£'是OA和。0的交点

不妨设点B'在点C左侧,示意图如图⑵，连接OB',0C',AB',AC',

则OB'=0C'=1=AB'=AC',

，四边形AB'OC'是菱形，

•••AO,B'C,互相垂直平分.

设B'C'与y轴交于点D.

VZACD=60°,

.,.AD=vAC=^,

22'

.,.A0=2AD=V5.

:点A可能在x轴上方，也可能在x轴下方，

.,.t=±V3.

类型2数学文化阅读理解

5.阅读以下材料并解决问题.

图⑴

托勒密(公元90年一公元168年),希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，他论证了四边形的特

性，即有名的托勒密定理.

托勒密定理:在圆的内接四边形中，两缈寸边乘积之和等于两条对角线的乘积.

如图(1),四边形ABCD内接于。O,AC,BD是对角线，则AB•CD+AD•BC=AC•BD.

某数学小组试图利用相似三角形的判定与性质对“托勒密定理”进行证明,作辅助线过程如下：

在BD上找一点P,使/DAP=NBAC,如图(2)所示.

请你补全该证明过程.

补全证明过程如下.

,/ZDAP=ZBAC,ZADB=ZACB,

.,.△APD^AABC,

ADDP

，黑子，即ADXBC=ACXDP.

ACDC

•.*ZPAD=ZBAC,

/.NPAD+NCAP=NBAC+NCAP,

ZDAC=ZPAB.

又NACD=NABD,

nrAC

AADCA^APBA,A——gpABXCD-PBXAC,

rBAD

AAD•BC+AB•CD=AC•(DP+PB),即AD•BC+AB•CD=AC•BD.

6.[2021贵州贵阳中考改编]⑴阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学

家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图⑴所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程.

⑵问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图⑵是古代的一种证明方法:过正方形ACDE的中心0,作FG1.HP,将

它分

成4份.所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12,BC=5,求

EF的值.

D

图⑴图⑵

⑴勾股定理:x+b，=c(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方).

推理过程:如图⑴是由四个全等的直角边分别为a,b的直角三角形与中间一个边长为(b-a)的小正方形拼成的

一个边长为c的大正方形.

"■"S1^5■形"«，>=<?，且S形，*”=4S,ni.^S形”，尸1X3•b+(b-a)J=2ab+a2-2ab+b'=a'+b',

.".a'+b^c11.

⑵如图⑵，由题意得,正方形ACDb：被分成4个全等的四边形.

tgEF=a,FD=b,.,.a+b=12©.

••,正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的I个全等的四边形和正方形CBLM拼成的,

AE'F'=EF,KF'=FD,E'K=BC=5,

VE'F'-KF'=E'K,；.a-b=5②，

联立①②，得｛:

类型3解题方法类阅读理解

7.我们学习过利用尺规作图找出一条线段的中点，你能利用尺规作图找到一条线段的三等分点吗?

小聪同学对这个问题非常有兴趣，他尝试了很多次,终于找到了一种作图方法.下面是小聪的作图

过程.

如图(1),①画线段AB；②过点A作一条不与AB重合的直线1；③以点A为圆心，任意长为半径画圆，

交直线1于点CD；④连接BC,找出BC的中点E,连接DE交AB于点F,则点F为线段AB的一个三等

分点.

为了说明这一作图方法的正确性,需要对其进行证明.如下，小聪给出了不完整的“已知”和“求

证”，请你帮助小聪补充完成，并写出“证明”过程.

已知如图⑵，在aABC中，点E是BC的中点延长CA至点D,使得AD=AC,连接DE,交AB于点F.

求证：点1；是AB的一个三等分点(AF中B或BF=2AF等).

C

图⑴图⑵

证明:如图，取DE的中点G,连接AG.

在△DCE中,•••AD=AC,点G是DE的中点,

.\AG=^CE.

•••点E是BC的中点,

.•.CE=BE,；.BE=2AG.

•：AG〃CE,即AG//BC,

/.ZGAF=ZB.

又•：NAFG=NBFE,

.,.△AEG^ABEE,

AAF：BF=AG：BE=1：2,

点F是AB的一个三等分点.

8」2021湖北随州中考改编］等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图

形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的

两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可

以使解题思路清晰,解题过程简便快捷.

⑴在直角三角形中，两直角边长分别为3和d,则该直角三角形斜边上的高的长为_茬_，其内切圆

的半径长为1.

⑵如图⑴,P是边长为a的正三角形ABC内任意一点，点0为AABC的中心，设点P到AABC各边距

离分别为h“h：；,h：“连接AP,BP,CP,由等面积法,易知;a（hi+h2+h：J=SA.w=3SA0M可得hi+A+h产ga；（结

果用含a的式子表示）

⑶①如图⑵，已知O0的半径为2,点A为。0外一点,0A=4,AB切。0于点B,弦BC//0A,连接AC,则图

中阻影部分的面积为_二；（结果保留加）

②如图⑶，现有六边形花坛ABCDEF,由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五

边形ABCDG,其中点G在AF的延长线上,且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并

说明理由.

解:⑴装1

解法提示如图⑴，在RtAABC中战=3,BC=4,NACB=90°.

A

B

图⑴

根据勾股定理彳导AB=V32+42=5.

设4ABC斜边上的高为h,

则3c•BC=1AB•h,

.,ACBC3x412

-V-AB5--T

设aABC内切圆半径为r.

连接OA,OBQC厕SAAM=S4Aa)+SzsRrn+SA,\FW>,

.,.1X3X4-|AC・r+-BC・r-jAB•r,

即岸(AC+BC+AB);6,

.1_____12_______12_

.'1AC+BC+AB3+4+5'

⑵等

⑶峥

解法提示:丫BC//OA,.,.SA<XB=SA,O/

S阴影=$扇形coil.

VABwo0B,AZ0BA=90°.

又OB=2,OA=4,

/.cosZA0B=iZA0B=60".

VBC/70A,

/.Z0BC=ZA0B=60°,

AAOCB为等边三角形，

.\ZC0B=60°,

.a_60nx22_2

・・、扇形”360《工

②如图⑵，连接DF,过点E作EG〃DF交AF的延长线于点G,则点G即为所求.

理曲连接DG.

易知S六边形―二S五边形AHCw+S>+.

VEG//DF,

SzkhEI:=SAIXil:,

••S六边形ARII；卜二S五边形AIUDf,+SAliGf-S五边形\H（DG.

类型4科普材料类阅读理解

9.[2021山西中考改编]阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.

图算法中的图也叫诺模图，是根据几何原理,将某一已知函数关系式中的各变量，分别制成有

刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来求函数关系式中的

未知量.例如:有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧,问并联后的电阻值是多少.

我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果:如图⑴，我们先

来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上按照同样的单位长度标上刻

度，这样就制好了一张算图，我们只要过角的两边刻着7.5和5的两点作一条直线，这条直线与角平

分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.

图算法得出的数据大多是近似值,但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计

算的测量制图人员彳主往更能体会到它的优越性.

任务

⑴请根据以上材料简要说明图算法的优越性.

⑵请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式卷计算:当RF7.5R=5时,R的值为3；

②如图⑵，在aAOB中,NA0B=120°,0C是AAOB的角平分线,0A=7.5,0B=5,用你所学的几何知识求线

段0C的长.

图⑵

解：(1)答案不唯一.如:图算法方便、直观;不用公式计算即可得出结果等.

⑵①3

解法提示:当R.=7.5R=5时，气黑号R=3.

②如图，过点A作AM〃CO,交B0的延长线于点M.

VOC平分NAOB,

AZl=Z2^ZA0B=1x120°=60。.

VAM/7CO,.,.Z3=Z2=60°,ZM=Z>60°,

AZA0M=60°=Z3=ZM,

.•.△OAM为等边三角形,

.".0M=AM=0A=7.5.

VZB-ZB,Z1=ZM,

.・.AABCAODAM^.℃ABBOA.OMC,5■,

'MABM7.55+7.5

A0C=3.

2022年河南省中考数学总复习新题型专项专练(教师版)

题型新函数图象与性质的探究类

类型1根据解析式探究函数的图象与性质

1.[2021四川自贡]函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连

线画出函数图象，然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验，画出函数

丫=-悬的图象，并探究其性质.

列表如下：

x...-4-3-2-101234

⑴直接写出表中a,b的值，并在如图所示的平面直角坐标

系中画出该函数的图象.

⑵观察函数y=-磊的图象,判断下列关于该函数性质的

命题：

①当-2WXW2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时,函数有最小值，最小值为-2；

③时，函数y的值随x的增大而减小.

其中正确的是②①.(请写出所有正确命题的序号)

⑶结合图象，请直接写出不等式晶〉x的解集：x<-2或0<x<2,

O

解:⑴a=2,b=。

画出函数图象如图所示.

⑵@(§)

⑶x<-2或0<x<2

解法提示:将不等式磊〉x两边同时乘L得言〈-x,故不等式的解集即为直线尸x在函数y=券的图象

上方的部分对应的x的取值范围,所以不等式的解集为x<-2或0<x<2.

2.[2021平顶山三模]小明学习了函数有关知识后，利用学到的方法对函数y=(w("⑴’进行了

(-x+2(x>-l)

如下探究：

⑴列表：

x…-5-4-3-2-10123

333

y——m—32n0-1

54

其中m=1,n=1.

⑵描点、连线:在如图所示的平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵

坐标，已画出部分图象，请描点并补全函数图象.

⑶结合函数图象回答下列问题：

①该函数存在最大值(填“大”或“小”)，最值是3；

②观察函数图象，写出y随x的增大而变化的情况：当时,y随x的增大而增大，当xN-1

时,y随x的增大而减小；

③若直线y=kx+b经过点⑵0),且与y=而(X<-1),的图象围成封闭的图形,当封闭图形内(不包括

(-x+2(x>-l)

边界)的整点(点的横、纵坐标都为整数)有4个时，直接写出b的取值范围.

解:⑴11

⑵描点并补全函数图象如图⑴所示.

解法提示:；直线y=kx-b与函数y=M的图象能围成封闭图形,b>0.

,-x+2(x>-l)

如图⑵，当直线y=kx+b经过点(-2,1)时,封闭图形内的整点有3个，即(T,1),(7,2),(0,1),此时吟

故当封闭图形内的整点有I个时,()<bg.

3.小东在课外书上遇到了函数y=x*(x>0),为了探究该函数的图象与性质他进行了如下探究，请

补充完整.

⑴当x>0时，将x与y的几组对应值列表如下(当y的值是无限小数时，结果精确到0.01)：

x•••'0.4I0.6I0.8i11.2i1.41.6|1.82—

y•••5.163.693.1433.113.393.814.35m…

其中,m=5.

⑵根据上表数据，在如图⑴所示的平面直角坐标系中描点，请你描出点(2,m),再画出函数

丫=/+为>0)的图象

%

6

5

4

3

2

1

JI1234一歹

图⑴

⑶结合图象进行分析，小东得到下面的结论,请你判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”).

①当O〈x<l时,y随x的增大而增大.(X)

②当y=4时,1.6〈x<1.8.(X)

③若点八3,外,13侬%)3&)在该函数图象上,且到直线*=1的距离相等,则>1>”.(V)

⑷某农户要建造一个如图⑵所示的容积为1m”的长方体无盖水池,水池的底面为正方形，其底面造

价为1000元侧面造价为500元/M设水池底面边长为xm,水池总造价为y元.

①求y关于x的函数解析式；

②请直接写出当水池底面边长是多少时，水池总造价最少，最少是多少元.

解:⑴5

解法提示:结合图象分析，易知①②错误.

根据函数图象分析可知当y，=y.时，点B到直线x=i的距离大于点A到直线x=l的距离，

所以当点A,B到直线x=l的距离相等时,y,y“

(4)®y=4xx4x.500+l000x-l000.x

②当水池底面边长是1m时冰池总造价最少,最少是3000元.

类型2分析几何问题，探究函数的图象与性质

4.[2021郑州枫杨外国语三模]

如图⑴，在4ABC中,NACB=90°,AC=BC,AB=6cm,点E是线段AB上一动点，点D是BC的中点，过点C

作射线CG,使CG〃AB,连接ED并延长交CG于点F,连接AF.设A,E两点间的距离为xcm,E,F两点间

的距离为ycm.

小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究.

下面是小亮的探究过程,请补充完整：

⑴列表:如表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的

几组对应值：

x/cm012344.556

y/cm9.497.625.833.163.003.164.24

图⑵

请你通过计算补全表格（保留两位小数）.

⑵描点、连线:在如图⑵所示的平面直角坐标系xOy中,描出剩余的点（x,y）,并画出函数y关于x

的图象.

⑶根据函数图象，当E,F两点间的距离y最小时,A,E两点间的距离约为1.5cm.

⑷解决问题:当EF-AE=2时,BE的长度大约是3.3（答案不唯一，在误差允许范围内取值即可）

cm.（结果保留T立小数）

解:⑴4.24

解法提示:易知BC-\C-y.\B-3V2,ACDr^ABDE,

.\DE=DF.~

当x=3时，如图（1）,点E是AB的中点.

.\EF-苧X2=3&k4.24.

⑵根据表格数据,描点、连线，绘制函数图象如图⑵.

(3)4.5

(4)3.3(答案不唯一，在误差允许范围内取值即可)

解法提示:如题图⑵，画出函数y=x+2的图象，

由图象可知,两个函数图象的交点的横坐标约为2.7,

则BE-6-2.7=3.3(cm).(答案不唯一，在误差允许范围内取值即可)

5.[2021焦作二模]小航在学习中遇到这样一个问题：

如图(1),点F是线段AB上一动点，线段AB=8c叫AB的垂直平分线交®于点C,取线段CD的中点0,

连接FO并延长交好于点E,连接AE.若4AEF是等腰三角形，求线段AE的长度.

小航结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整：

⑴根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF,EF,AE的长度，得到下表的几组

对应值.

AF/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

EF/cm6.75.64.53.5m3.54.5n6.7

AE/cm6.76.56.25.75.04.23.63.22.9

其中,m的值为3.0,n的值为5.6.

⑵将线段AF的长度作为自变量x,EF和AE的长度都是x的函数，分别记为和yg并在平面直角

坐标系xOy中画出了函数y”的图象，如图⑵所示请在同一坐标系中画出函数为的图象.

⑶继续在同一坐标系中画