2022年人教A版高中数学必须一课时提升作业(二十三)

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课时提升作业(二十三)

方程的根与函数的零点

25分钟基础练(25分钟60分)

一、选择题(每题5分，共25分)

4

1.函数y=x-x的零点是()

A.2B.-2C.2,-2D,(2,-2)

44-xz2

［解析］选C.令X-x=0,得x=o,

4

得x=±2.故函数y=x~x的零点是±2.

2.假设函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,那么()

A.f(l)•f(2)>0B.f(l)・f(2)=0

C.f(l)-f(2)<0D.不确定

【解析】选D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(l)・f(2)<0,当其不单

调时，如f(x)=，就没有f⑴・f(2)<0,而是f⑴・f(2)〉0,但

f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点.

3.(2022•梅州高一检测)以下图象表示的函数中没有零点的是

【解题指南】由函数零点的意义可得：

函数没有零点0函数的图象与x轴没有交点.

【解析】选A.由图象可知，只有选项A中的函数图象与x轴无交点.

4.假设X。是方程lgx+x=2的解，那么X。属于区间()

A.(0,1)B.(1,1.25)

C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)

［解析］选D.构造函数千(X)=Igx+x-2(x>0),

那么函数f(X)的图象在(0,+8)上是连续不断的一条曲线，

又因为千(1.75)=f=lg4-4<0,

f(2)=|g2>0,所以千11-75).f(2)<0,

故函数的零点所在区间为(1.75,2),

即方程Igx+x=2的解x。属于区间(1.75,2).

【补偿训练】函数f(x)=2,+3x的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

]_1

【解析】选B.由题意可知f(-2)=4-6<0,f(-1)=2-3<0,f(0)=l>0,

f(2)>o,f(-l)・f(0)<0,因此在区间(T,0)上一定有零点.

5.(2022•赤峰高一检测)函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a〈b),并且a,B

(a〈B)是方程f(x)=0的两个根，那么a,b,a,B的大小关系可能是

()

A.a<a<b<BB.a<a<B<b

C.a<a<b<BD.a<a<0<b

【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(a)=f(B)=0,如下图,

所以a,b,a,B的大小关系是a<a<b<0.

二、填空题(每题5分，共15分)

6.(2022•十堰高一检测)函数f(x)=x一2的零点是.

［解析］令x-2=0,即且x-2左0,解得x=-2,故函数的零点为

X2_4=O

~2.

答案:-2

【误区警示】此题易认为函数的零点有两个，即由X2~4=0求出x=±2.

7.对于方程x3+x2-2x-l=0,有以下判断：

①在(-2,-1)内有实数根；

②在(T,0)内有实数根；

③在(1,2)内有实数根；

④在(-8,+OO)内没有实数根.

其中正确的有.(填序号)

【解析】设f(x)=x3+x2-2x7,

那么千(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f(0)=-1<0,

f(1L-K0,f(2)=7>0,

那么f(x)在(-2,7),(7,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确.

答案:①②③

【补偿训练】假设函数f(x)=2x2-ax+8只有一个零点，那么实数a的

值等于.

【解析】因为函数f(x)=2x2-ax+8只有一个零点，

即方程2x-ax+8=0只有一个解，

那么△=a2-4X2X8=0,解得a=±8.

答案：士8

8.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(填序

号).

X-10123

f(X)-0.6773.0115.4325.9807.651

g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892

①(T,0);②(0,1);③(1,2);④⑵3).

【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,

F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,

F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,

所以F(0)•F(1)<0,

所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.

答案：②

三、解答题(每题10分，共20分)

9.求以下函数的零点.

(l)f(x)=-6x2+5x+l.

3

(2)fCx)=x+l.

x2+2x+1

⑶f(x)=x-l

【解析】⑴因为千(x)=—6x2+5x+1=—(6x+1)(X-1),令—(6x+1)(x-1)=o,

解得x=-6或x=1,

所以f(x)=-6x2+5x+1的零点是-6和1.

3

(2)因为f(x)=x+1=(x+1)(x-x+1),

令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,

所以f(x)=x*1的零点是-1.

X?+2x+1(X+1)2

(3)因为f(x)=x-1=x-1,

(X+1)2

令X-1=0,解得x=-1,

J+2x+1

所以f(x)二X-1的零点是T.

10.(2022・九江高一检测)函数f(x)=-3x2+2x-m+l.

(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点.

(2)假设函数恰有一个零点在原点处,求m的值.

【解析】(1)函数有两个零点，那么对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不

4

相等的实数根，易知△>(),即4+12(1-m)>0,可解得水3

由△二(),可解得m=3；

4

由△<(),可解得m>3.

4

故当m<W时，函数有两个零点；

44

当m=Z时，函数有一个零点；当m>W时，函数无零点.

(2)因为0是对应方程的根，有1-m=0,可解得m=1.

⑳分钟提升练(20分钟©分)

一、选择题(每题5分，共10分)

1.二次函数y=x-kx-l(keR)的图象与x轴交点的个数是()

A.0B.1C.2D.无法确定

【解析】选C.因为△=b2-4ac=(-k)2-4XlX(-l)=k2+4,无论k为何实

数，>>0恒成立，即方程x2-kxT=0有两个不相等的实数根，所以二次

函数y=x2-kx-l的图象与x轴应有两个交点.

2.(2022•海口高一检测)f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0,+8)

内的零点有1003个，那么f(x)的零点的个数为()

A.1003B.1004C.2006D.2007

［解题指南］利用函数为奇函数，那么其图象关于原点对称，又千(0)=0,

故可判断该函数图象与X轴交点的个数.

【解析】选D.因为f(x)为奇函数，且在(0,+8)内有1003个零点，所

以在(-8,0)上也有1003个零点,

又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.

二、填空题(每题5分，共10分)

3.(2022•玉林高一检测)函数f(x)=x-的零点个数

为.

【解题指南】利用函数与方程思想，把函数的零点个数问题转化为方

程解的个数问题，再转化为求两个函数图象的交点个数问题.

I©I仗

【解析】函数f(x)=x-的零点个数，是方程X-=0的解的个

数，

X

即方程X二的解的个数，

也就是函数旷=*与丫=两图象的交点个数.在同一坐标系中作出两

个函数的图象，如图可得交点个数为1个.

答案：1

【补偿训练】函数f(x)=lnx-x+2(x>0)的零点个数是.

［解析】取g(x)=Inx,h(x)=x-2,(x>0)

那么千(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图：

由图可知两函数的图象有两个交点，故原函数有两个零点.

答案：2

4.假设函数f(x)=aX-x-a(a>0,且aWl)有两个零点，那么实数a的取

值范围是.

【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=a*与函数h(x)=x+a

交点的个数，由函数的图象可知a>l时两函数图象有两个交点，O〈a〈l

时两函数图象有唯一交点，故a>l.

答案：(1,+8)

【补偿训练】二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点，一个大

于1,一个小于1,那么实数m的取值范围为.

【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,

如图，有两种情况.

lm+2<0,

第一种情况，*1)>°'此不等式组无解.

Ini+2>0,J

第二种情况,l，⑴<0,解得-2<m<-Z

综上,m的取值范围是-2<m<-Z

答案：(--I)

三、解答题(每题10分，共20分)

5.(2022・南京高一检测)假设关于x的方程x2+(k-2)x+2k-l=0的一

个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)±,求实数k的取值范围.

【解析】令f(x)=x?+(k-2)x+2kT,

由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,

1

k>2,

2

k<q

2k-l>0,1

'l+k-2+2k-l<0,k>4,

U+2(k-2)+2k-l>0,

解得

因此实数k的取值范围为

【补偿训练】1.函数f(x)=axL2(a+l)x+aT,讨论a为何值时,

(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.

【解题指南】对a分类讨论求解.

1

【解析】⑴①当a=0时，f(x)=O即为-2x7=0,那么x=-2,符合题意;

②当a芋0时，函数为二次函数，假设函数有一零点，那么△=12a+4=0,

故当a=0或a=-时，函数f(x)=ax?-2(a+1)x+a7有一•零点.

⑵假设函数有一正一负两零点，那么a于0且△=12a+4>0,且

a(a-1)<0,解得0<a<1.

故当0<a<1时，函数有一正一负两零点.

2.讨论函数f(x)=(axT)(x-2)(a£R)的零点.

【解析】当a=0时，函数为f(x)=-x+2,那么其零点为2.

J仅-1)

当a=，时，那么(x-2)=0,解得XFX2=2,那么其零点为2.

111

当a于0,且a于2时那么(ax-1)(x-2)=0,解得x=a或x=2,其零点为a和

2.

6.(2022•南昌高一检测)函数f(x)=ax2-4x+2.

⑴假设f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.

x

(2)aWl,假设函数y=f(x)-log2©在区间［1,2］内有且只有一个零点，

试确定实数a的取值范围.

【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),

所以f(x)的对称轴为x=2,

,4

即-2a=2,即a=1.所以f(x)=x-4x+2.

X

2

(2)因为y=f(x)-log2^=ax-4x+5-log2x,

2

设r(x)=ax-4x+5,s(x)=Iog2x(xG［1,2］),

那么原命题等价于两