2023年中考数学复习 专题18 解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（全国通用）（教师版）

专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1锐角三角函数的定义】 1【考点2锐角三角函数的增减性】 5【考点3同角三角函数的关系】 7【考点4互余两角三角函数的关系】 9【考点5特殊角的三角函数】 13【考点6解直角三角形】 16【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】 24【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】 29【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 35【考点10解直角三角形应用之其他问题】 40【要点1锐角三角函数】在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【考点1锐角三角函数的定义】【例1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P1,1，则tan∠OAP的值是（

A．33 B．22 C．1【答案】C【分析】由P1,1可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设OC=x，OB=2x【详解】∵P点坐标为（1，1），则OP与x轴正方向的夹角为45°，又∵OP∥AB，则∠BAO=45°，△OAB为等腰直角形，∴OA=OB，设OC=x，则OB=2OC=2x，则OB=OA=3x，∴tan∠OAP=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．【变式1-1】（2022·上海·上海市进才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（

A．tanB=34 B．sinB=43【答案】C【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，∴根据勾股定理得：BC=A∴tanB=ACBC=43故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【变式1-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD＝3，A．32 B．53 C．52【答案】B【分析】由直径所对圆周角为直角，得出：∠ACD=90°，再由勾股定理求得CD的长，由【详解】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AD=3，AC=2，∴CD=5∴cosD=故选：B．【点睛】本题考查了圆中直径所对的圆周角是直角，勾股定理，灵活运用这些知识求锐角三角函数是关键．【变式1-3】（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（

A．817 B．715 C．1517【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5−x，根据勾股定理列出关于x【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB∴ΔAFD≌∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5−x，在RtΔBEF中，B即5−x2解得：x=85，则∴cos∠ADF=故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌【考点2锐角三角函数的增减性】【例2】（2022·上海静安·统考一模）如果0°<∠A<45°，那么sinA与cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【答案】B【分析】cosA=【详解】∵cosA=∴当0°<∠A<45°时，45°<90°−∠A<90°，∴sinA<cos故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．【变式2-1】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【答案】A【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．【详解】解：∵0°＜25°＜30°∴0<∴0<sin故选A．【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．【变式2-2】（2022·甘肃张掖·统考模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（

）A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小 C．tanα随α的增大而增大 D．0<sinα【答案】B【分析】如图，作半径为1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均为直径，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案．【详解】解：如图，作半径为1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均为直径，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，∴OA=OB=1,由sin∠BOH=显然，∠BOH＜∠AOG，而BH＜AG，所以当0°<α<90°时，sinα随α同理可得：当0°<α<90°时，cosα随α的减小而增大，故B错误；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，故C正确；当α=∠AOG，当点A逐渐向F移动，边AG逐渐接近OA，∴sinα=sin当0°<α<90°时，0<sinα<1，故D正确；故选B．【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．【变式2-3】（2022·浙江宁波·校联考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°【答案】D【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较.【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故选D．【考点3同角三角函数的关系】【例3】（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程4x2−mx+1=0A．18 B．34 C．7【答案】C【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到{sinα⋅cos【详解】∵sinα，cosα是关于x的方程∴由一元二次方程根与系数的关系，可得{sin∴==1−2×(故选：C．【点睛】本题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,【变式3-1】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosAA．133 B．132 C．53【答案】C【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴cos2∴cosA=故选C．【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1．【变式3-2】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知tanα=5，则3【答案】5【分析】由于tanα=sinαcosα=5，则【详解】解：∵tan∴sin∴3sin故答案是：517【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：sin2A+cos2A=1【变式3-3】（2022·湖北·校联考一模）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：⑴asinθ+bcosθ−c=0；⑵acos【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由①得asinθ+bcosθ=c，两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθ-bsinθ=-d，两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．【考点4互余两角三角函数的关系】【例4】（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE=β，则矩形ABCD的周长可表示为（

）A．22cosβC．22sinβ【答案】B【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长．【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G，∵∠DFC=90°，∠DCE=β，DF=2，∴DC=DF∵矩形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠BCG+∠DCF=90°，∵∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°，∵∠BCG+∠DCF=90°，∴∠DCF=∠GBC=β，∵∠BGC=90°，∠GBC=β，BG=5，∴BC=BG∵DC=DF∴矩形ABCD的周长为2故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题关键．【变式4-1】（2022·安徽宣城·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA＝sinB B．cosA＝sinBC．sinA＝cosB D．sin（A+B）＝sinC【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义依次分析各项即可．【详解】如图，A.∵sinA＝ac，sinB=bc，∴当a≠b时，sinA≠sinBB.∵cosA＝bc，sinB＝bc，∴cosA＝sinC.∵sinA=ac，cosB＝ac，∴sinA＝cosBD.∵∠A+∠B=∠C，∴sin（A+B）＝sinC，不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式4-2】（2022·湖北武汉·统考三模）如图，在△ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC=1，⊙O经过A、B两点，分别交AC、BC于D、E两点，若DE=10，AB=24，则⊙O的半径为（

）A．102 B．C．13 D．25【答案】C【分析】连接BO并延长，交圆O于点G，连接AG，AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠GAB=90°，从而证出∠G＋∠GBA=90°，然后根据圆的内接四边形的性质可得∠AEC=∠G，根据锐角三角函数的性质可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后根据圆周角定理证出AG=【详解】解：连接BO并延长，交圆O于点G，连接AG，AE∴∠GAB=90°∴∠G＋∠GBA=90°∵四边形AEBG是圆O的内接四边形∴∠AEC=∠G∴∠AEC＋∠GBA=90°∵tan∠BAC•tan∠ABC=1，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°∴∠AEC＋∠EAC=90°∴∠GBA=∠EAC∴AG∴AG=DE=10在Rt△AGB中BG=A∴⊙O的半径BO=12故选C．【点睛】此题考查的是圆周角定理及推论、圆的内接四边形的性质、锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握圆周角定理及推论、圆的内接四边形的性质、锐角三角函数的性质和勾股定理是解决此题的关键．【变式4-3】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3【答案】A【详解】试题分析：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=12AD•BC=12AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=12A′D′•B′C′=12A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC考点：互余两角三角函数的关系．【要点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【考点5特殊角的三角函数】【例5】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形ABCB1中，AB=3，AB与直线l所夹锐角为60∘，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线lA．2×332019 B．2×332020【答案】C【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出A1B1、A2B2、A3B3【详解】解：∵AB与直线l所夹锐角为60°，且∠BAB1是正方形∴∠B又∵∠AB∴在Rt△AB1∵正方形ABCB1的边长∴A1同理可求得：A2B2以此类推可知：A2022∵Rt△A2021A2022∴A2021故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、含特殊角的锐角三角函数等知识，含30°的直角三角形的性质．利用从特殊到一般寻找规律是解题的关键．【变式5-1】（2022·山东日照·统考中考真题）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理数是所以，有理数的个数是2，故选：B．【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【变式5-2】（2022·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC=CD，则cosB的值为（

）A．34 B．32 C．13【答案】D【分析】证明△ABC是等边三角形，得出∠B=60°，由特殊角的三角函数值，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∵AC=CD，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=12故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【变式5-3】（2022·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（

）A．6 B．43 C．8 D．【答案】C【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得AD=43【详解】根据题意，得∠ADC=∠BEC=90°∴∠CAD+∠ACD=∠CBE+∠ACD=90°∴∠CBE=∠CAD=30°∵CD＝4∴tan∴AD=43经检验，AD=43是4∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=15°∴∠BAE=90°−∠ABE=75°∴∠BAD=∠BAE−∠CAD=45°∴∠BAD=∠ABE=45°∴BD=AD=43∴cos∠CBE=∴BH=8经检验，BH=8是43故选：C．【点睛】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．【要点3解直角三角形的类型和解法】已知条件图形解法对边邻边斜边对边邻边斜边ACBb已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边【考点6解直角三角形】【例6】（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=【答案】3+3【分析】连接BD，则BD过正方形ABCD的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝25，AG＝13AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝13CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝25，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形ABCD的中心点O，作FH⊥CD于点H，∵AB=32，tan∴tan∴AG＝13AB＝2∴BG＝AG∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，∠A=∠DHF=90°∠AGB=∠HDF∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝在△BCM和△FHM中，∠C=∠FHM=90°∠BMC=∠FMH∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝13CD，BM＝FM∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝25∴BF＝45∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，∴OM＝12DF=5，EM∵BD＝2AB=6，△BED∴EO＝12∴△OEM的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋5＋25故答案为：3+35【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．【变式6-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【答案】2【分析】先求解AB=3【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15−12=3,∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴AB=BC同理：AD=DE∴BD=AB−AD=3故答案为：2【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．【变式6-2】（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)AC＝10【分析】（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到∠ODB=∠EBD，进而得到OD//BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O的切线；（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和差求解即可．（1）证明：如图，连接OD，BE，∵点D为CE的中点，∴CD=∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴OD//BE，∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵AD//CE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵DG//CE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝BFEF∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝CE∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝BEBC∴sinA＝sin∠ECB＝35在Rt△AOD中，sinA＝ODOA=3∴OA＝253∴AC＝OA﹣OC＝103【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．【变式6-3】（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．(1)如图①，当α=20°时，∠AEB的度数是_____________；(2)如图②，当0°<α<90°时，求证：BD+2CE=2(3)当0°<α<180°,AE=2CE时，请直接写出BDED【答案】(1)45°(2)见解析(3)22+2【分析】（1）根据旋转的性质可知AB=AD，当α=20°时可根据等腰三角形的性质计算∠ADB的角度，再由∠BAC=90°，AE是∠DAC的平分线可知∠DAE=35°，由三角形外角的性质，通过∠AEB=∠ADB−∠DAE即可得出答案；（2）延长DB到F，使BF=CE，连接AF，先证明△ADE≌△ACE，可推导∠DEA=∠CEA、∠ADE=∠ACE、∠DE=CE，再由已知条件及等腰三角形的性质推导∠DEA=∠CEA=45°，然后证明△ABF≌△ACE，推导∠FAE=90°，在Rt△AFE中，由三角函数可计算EF=2AE，即可证明（3）分两种情况讨论：①当0°<α<90°时，借助（2）可知BD=(22−2)CE，再求BDED的值即可；②当90°≤α<180°时，在线段BD上取点F，使得BF=CE，结合（2）中△ADE≌△ACE，可知DE=CE、∠ADE=∠ACE，易证明△ABF≌△ACE，可推导∠BAF=∠CAE、AE=AF、∠EAF=90°，∠AEF=∠AFE=45°，在Rt△AFE中，由三角函数可计算EF=2AE【详解】（1）解：由旋转可知，AB=AD，当α=20°时，可知∠ABD=∠ADB=180°−α∵∠BAC=90°，AE是∠DAC的平分线，∴∠DAE=∠BAC−α∴∠AEB=∠ADB−∠DAE=80°−35°=45°．故答案为：45°；（2）证明：延长DB到F，使BF=CE，连接AF．∵AB=AC，AD=AB，∴AD=AC，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∵AE=AE，∴△ADE≌△ACE，∴∠DEA=∠CEA，∠ADE=∠ACE，∠DE=CE，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADE+∠ADB=180°，∴∠ACE+∠ABD=180°，∵∠BAC=90°，∴∠BEC=360°−(∠ACE+∠ABD)−∠BAC=360°−180°−90°=90°，∵∠DEA=∠CEA∴∠DEA=∠CEA=1∵∠ABF+∠ABD=180°，∠ACE+∠ABD=180°，∴∠ABF=∠ACE，∵AB=AC，BF=CE，∴△ABF≌△ACE，∴AF=AE，∠AFB=∠AEC=45°，∴∠FAE=180°−∠AFB−∠DEA=180°−45°−45°=90°，在Rt△AFE中，∠FAE=90°，∵cos∠AEF=∴EF=AE∵EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE，∴BD+2CE=2（3）①当0°<α<90°时，由（2）可知，DE=CE，BD+2CE=2∴BD=2当AE=2CE时，可知BD=2∴BDED②当90°≤α<180°时，如下图，在线段BD上取点F，使得BF=CE，由（2）可知，△ADE≌△ACE，∴DE=CE，∠ADE=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABF=∠ADE，∴∠ABF=∠ACE，∵BF=CE，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴∠BAF=∠CAE，AE=AF，∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠CAF+∠BAF=∠BAC=90°，∴∠AEF=∠AFE=180°−∠EAF在Rt△AFE中，cos∠AEF=∴EF=AE∴BD=BF+EF+DE=CE+2当AE=2CE时，可知BD=2∴BDED综上所述，当0°<α<180°,AE=2CE时，BDED=22【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形．【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】【例7】（2022·山东聊城·统考中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【答案】古槐的高度约为13米【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案．【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在Rt△AME中，∠EAM=26.6°，∴tan∠EAM=∴AM=EM∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BD−BH=8米，∴CN=8米，在Rt△ENC中，∠ECN=76°，∴tan∠ECN=EN∴EN=CN⋅tan∴CD=NH=EH−EN=12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．【变式7-1】（2022·山东济南·统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（

）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出DB=58AB，在Rt△ABC【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABDB∴DB=AB在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABCB∴tan22°=解得：AB=112故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．【变式7-2】（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，【答案】(1)90(2)A、B两点间的距离约为52.0米【分析】（1）根据坡度求得∠ABF=30°，结合题意，得出∠HBP=60°，进而得出∠PBA=90°,∠BAP=45°（2）根据∠PBA=90°,∠BAP=45°，得出PB=AB，解△PHB即可求解．【详解】（1）如解图所示；过点A作AF⊥BC于点F，∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:∴tan∠ABF=∴∠ABF=30°，∵在窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，∴∠HPB=30°,∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°,∠BAP=45°，故答案为：90；（2）∵∠PBA=90°,∠BAP=45°∴PB=AB，∵PH=45米，sin60°=解得：PB=303故AB=303答：A、B两点间的距离约为52.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【变式7-3】（2022·四川自贡·统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E,F（E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的距离m，点O1,O2到地面的距离O1【答案】(1)证明见解析(2)10.2米(3)mtan【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含α、β、m的式子表示出PH．【详解】（1）证明：∵∠COG=90°,∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON（2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，∠OQP=90°,∠POQ=60°，在Rt△POQ中tan∠POQ=PQ∴PQ=5∴PH=PQ+QH=53故答案为：10.2米．（3）由题意得：O1由图得：tanO2∴O∴m=∴PD=∴PH=PD+DH=m故答案为：mtan【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】【例8】（2022·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为_____．（计算结果保留根号）【答案】（8002−4006【分析】如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长，作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，求得P1N，从而求得P1P2．【详解】解：作P1M⊥AC于M，设P1M＝xm，在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，∴AM＝P1M＝xm，在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，∴MC=3P1M=3∵AC＝1000m，∴x+3=1000，解得x＝500（3−∴P1M＝500（3−1）m∴P1A=P1M22作BN⊥AP2于N，∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m∴BN＝AN=22AB＝3002（∴P1N＝500（6−2）﹣3002=（5006−800在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，∴P2N=33BN=33×3002∴P1P2＝1006−（5006−8002）＝（8002−4006故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是（8002−4006）m故答案为：（8002−4006）m【点睛】本题考查解直角三角形解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形解决问题．【变式8-1】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的公路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3【答案】从A地直达C地的路程约为77千米．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，设BD=x，依据沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米，即可得到AB+BC−AC=20，进而得出2x+2x−3x+x=20，求得x【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，设BD=x，在Rt△ABD∵∠BAD=56°−26°=30°，∴AB=BDsin30°在Rt△BCD∵∠C=26°+19°=45°，∴BC=BDsin45°∴AC=3由题意得AB+BC−AC=20，∴2x+2解得x≈28.6，∴AC≈2.7×28.6=77.22≈77（千米）．∴从A地直达C地的路程约为77千米．【点睛】本题考查了方向角，解直角三角形的综合运用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．【变式8-2】（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：3≈1.732，sin75°≈0.966，(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析(2)没有触礁危险，证明见解析【分析】（1）过C作CO⊥AB于O，通过证明∠ACB=∠CAB=30°，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；（2）过C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．【详解】（1）过C作CO⊥AB于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，∵在A处测得岛C在北偏东的60°方向，∴∠CAB=30°，又∵B处测得岛C在北偏东30°方向，∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴AB=BC=10×1=10（海里），∵CO⊥AB，∠CBO=60°，∴CO=53∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（2）过C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，CD=10×sin∴没有触礁危险．【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．【变式8-3】（2022·四川成都·校联考三模）如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间的距离．（结果保留整数）参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin42°≈2740，cos42°≈34【答案】A，B两株古树之间的距离为336米【分析】由题意可知四边形CDFE是矩形，在Rt△BDF中，分别求出BF=100米，DF=1003米，在Rt△ACE中，再利用三角函数求出AE即可．【详解】解：如图，由题意可知：四边形CDFE是矩形，∴CE=DF，CD=EF，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，∴BF=12BD由勾股定理得：DF=BD2−B在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=1003米，∴AE=tan42°×CE=910×1003∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，∴A，B两株古树之间的距离为336米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，将实际问题转化为数学问题，利用数形结合的思想解答问题．【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】【例9】（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m【分析】通过解直角三角形Rt△BCD和RtΔACD，分别求出AD和BD的长，由AB=AD−BD求出【详解】解：在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1∴CDBD∴BD=CD=20m在RtΔACD中，∵背水坡AC的坡度∴CDAD∴AD=3∴AB=AD−BD=203答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度．【变式9-1】（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．【答案】(1)105°(2)3.2【分析】（1）根据山坡②的坡度i=1:1，可求∠BCN=45°，∠ACB=180°−∠BCN−∠ACM即可求解；（2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解；（1）解：∵山坡②的坡度i=1:1，∴tan∠BCN=∴∠BCN=45°，∵∠ACM=30°，∴∠ACB=180°−∠BCN−∠ACM=180°−45°−30°=105°，（2）∵∠BCN=45°，CN=2∴cos∠BCN=∴BC=2千米，∵∠ACM=30°，AM=0.6km∴sin∠ACM=∴AC=1.2km∴该登山运动爱好者走过的路程．AC+BC=1.2+2=3.2km【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．【变式9-2】（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡OA−AB上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为3m/s，距水平地面的高度总为15m（在直线y=15上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知OA=1010m，斜坡OA的坡度i=1：3，斜坡(1)点A坐标为______，OA段y关于x的函数解析式为______；(2)小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y关于x的函数解析式；(3)若小明沿O−A−B方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：sin22.5°≈513，cos【答案】(1)30,10，y=(2)134，(3)9秒【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定OA段的函数解析式．（2）通过AB段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在AB段的速度，由A，B点确定AB段解析式．（3）通过OA段和AB段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为10m时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过10【详解】（1）解：如图，过A点作AC⊥OB于点C，∵AC⊥OB，∴∠∵OA=1010m，斜坡OA的坡度i=AC：OC=1：∴AC=10m，OC=30∴点A坐标为30,10，设OA段y关于x的函数解析式为y=kx（代入A(30，10)，30k=10，解得：k=1∴OA段y关于x的函数解析式y=1故答案为：(30，10)；y=1（2）解：在Rt△ABC中，AC=10m，∵sin∠tan∠ABC=∴AB≈26m，BC≈24m，∵在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为3m/s，∴小明在斜坡AB上跑步的时间为：24÷3=8（s∴小明在斜坡AB上的跑步速度是：26÷8=13∵OC=30m，BC=24∴OB=OC+BC=54m∴B(54，0)，设AB段y关于x的函数解析式为：y=mx+n（m≠0）代入A（30，10），B（54，0），得：30m+n=1054m+n=0解得：m=−5∴AB段y关于x的函数解析式为y=−5故答案为：134（3）解：在OA段上无人机与小明之间的距离为10m则有：15−1解得：x=15，∴无人机飞行的时间为15÷3=5（s在AB段上，无人机与小明之间距离为10m时，则有：15−（−解得：x=42，∴无人机飞行的时间为42÷3=14（s∴无人机与小明之间距离不超过10m的时长为：14−5=9（【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．【变式9-3】（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）如图是某大型商场一层到二层的自动扶梯侧面示意图，小明在一层的A处用测角仪（测角仪高度忽略不计）测得天花板上的日光灯P的仰角为27°，他向正前方走了5米来到扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米到达二层的D处，此时用测角仪测得日光灯P的仰角为53°，已知自动扶梯BD的坡度为1∶2.4．参考数据：sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈(1)求图中点D到一层地面的高度；(2)根据规定，商场两层总楼高要大于10米，判断该商场楼高是否符合规定，并说明理由．【答案】(1)5米(2)该商场楼高符合规定；理由见解析【分析】（1）过点D作DF⊥AC于点F，过点P作PQ⊥AC于点Q，交DE于点M，在Rt△BDF中由坡度的定义和勾股定理求解即可；（2）先证明四边形DMQF是矩形，由题意知在D处用测角仪测得日光灯P的仰角为53°，有tan∠PDE=PMDM=tan53°≈43，设PM=4x，则DM≈3x，然后利用矩形的性质可求出PQ=4x+5，AQ≈17+3x，接着再根据题意知：在A处用测角仪测得天花板上的日光灯P的仰角为27°，然后在（1）如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点P作PQ⊥AC于点Q，交DE于点M，∴∠DFB=∠DFC=90°，又∵自动扶梯BD的坡度为1∶2.4，在Rt△BDF中，BD=13，DF∶BF＝1∶2.4，∴BF=2.4DF，DF2+BF2=BD2，即：DF2+（2）该商场楼高符合规定．理由：∵PQ⊥AC，DE∥AC，DF⊥AC，∴PQ⊥DE，DF∥MQ，∠AQP=90°，∴四边形DMQF是平行四边形，∠PMD=∠QMD=90°，∴四边形DMQF是矩形，∴MQ=DF，FQ=DM，由题意知：在D处用测角仪测得日光灯P的仰角为53°，∴tan∠PDE=PMDM=tan53°≈43，设PM=4x，则DM≈3x，∵MQ=DF=5，∴PQ=PM+MQ=4x+5，∵AB=5，FQ=DM≈3x，∴AQ=AB+BF+FQ≈5+12+3x=17+3x，由题意知：在A处用测角仪测得天花板上的日光灯P的仰角为27°，∴在Rt△APQ中，tanA=PQ【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题、