专题4.4比较线段的长短（知识梳理与考点分类讲解）-七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.4比较线段的长短（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】线段的基本事实线段的基本事实：两点之间的连线中，线段最短；简单说成：两点之间线段最短；特别提醒：具有最短性、唯一性、存在性；两点之间的距离：两点之间的线段长度，叫做这两点的距离；特别提醒：两点之间距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把A、B两点的距离说成线段AB。【知识点二】线段的比较及长短比较1、线段的长短比较(1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度,然后根据测量结果进行比较。(2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段上使它们有一个端点重合,然后根据另一个端点的位置进行比较。特别提醒：度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的,从“度”的方面比较，一般用度量的方面比较，从“形”的方面比较一般用叠合法。2.尺规作图：在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图。【知识点三】线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图一、如果点M是线段AB的中点,则有AM=BM=AB.图1图22.三等分线段：把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点如图2，点M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB==AB特别提醒：线段中点的表示方法：线段中点一定在线段上,表示点M是线段AB的中点有三种方法:AM=BM;(2)AB=2AM=2BM;(3)AM=BM=AB.【考点目录】【考点一】利用线段（直线）的基本事实解决问题；【考点二】线段的长度比较方法比较线段的长短；【考点三】利用线段中点求线段长；【考点四】求线段的和与差；【考点五】线段上的动点问题。【考点一】利用线段（直线）的基本事实解决问题【例1】（21·22下·淄博·期中）直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由．【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置．解：如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置，理由：两点之间线段最短．【点拨】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本题的关键．【变式1】（22·23上·邢台·期中）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．均用两点之间线段最短来解释B．均用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释【答案】D【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：D．【点拨】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键．【变式2】（18·19上·南京·期末）下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（填序号）．【答案】②【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释；②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，可用“两点之间线段最短”来解释；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上，可用“两点确定一条直线”来解释；其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②．故答案为：②．【点拨】此题考查了线段的性质和直线的性质，正确应用线段的性质是解题关键．【考点二】线段的长度比较方法比较线段的长短【例2】（17·18·常州·期末）如图，已知CA⊥BA（1）画图：①延长BA到D，使AD=BA，连接CD；②过点A画AE∥BC，AE与CD相交于点E；③过点B画BF⊥CD，交DC的延长线于点F．思考：图中有______条线段，它们的长度表示点到直线的距离；（2）度量：①你度量的哪些量？______；②通过度量你发现：______．（写一条发现即可）【答案】（1）详见分析；（2）7，线段BC、线段CD，BC=CD．【分析】（1）根据题意画出图形即可，根据点到直线的距离的定义即可解决问题；（2）开放题目，答案不唯一．可以测量线段，也可以测量角.解：（1）线段AD、AE、BF如图所示；图中有7条线段，它们的长度表示点到直线的距离，（线段BA，DA，CA，BF，CF，EF，DF）（2）①度量线段BC、线段CD．（开放题目，答案不唯一）②发现：BC=CD．（开放题，根据①回答即可）故答案为：7，线段BC、线段CD，BC=CD．【点拨】本题考查作图复杂作图、点到直线的距离、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1】（23·24上·全国·课时练习）如图，已知三角形，下列比较线段和长短的方法中，可行的有（

）①用直尺度量出和的长度；②用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置；③沿点A折叠，使和重合，观察点的位置．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】①用直尺度量出和的长度，比较长度；②用圆规将线段叠放到线段上，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，；③沿点A折叠，使和重合，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，．解：比较线段和长短的方法有：①用直尺度量出和的长度，比较长度；②用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，；③沿点A折叠，使和重合，观察点的位置，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，．共3个方法．故选：D．【点拨】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法．【变式2】（21·22上·全国·课前预习）比较线段的长短的方法和使用场景：方法一：目测法：直接观察，适用于有的对比对象．若对比数值接近，使用该方法得到结果不准确．方法二：度量法：用刻度尺测量对比对象，测量结果可能是值，得到结果不准确方法三：叠合对比法：另对比对象的一个端点重合，观察另一个端点的关系，得到结果准确．【答案】明显差异预计位置【考点三】利用线段中点求线段长【例3】（22·23上·菏泽·期中）已知点D为线段的中点，点C在线段上．（1）如图1，若，求线段的长；（2）如图2，若，点E为中点，，求线段的长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用线段的和差关系可以先求出的长，再利用中点的定义求出，即可求出的长；（2）根据线段中点的定义结合已知求出，进而可得和的长，然后根据求出即可解决问题．（1）解：∵，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴；（2）解：∵点E为中点，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查线段的和差计算，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键．【变式1】（20·21上·中卫·期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．解：根据题意画图如下：∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴；∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴．故选：D．【点拨】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键．【变式2】（18·19上·全国·专题练习）如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝cm．【答案】【分析】根据线段中点的性质求得线段的长度，即可求解．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，∴AP＝3+1＝4cm，∵P为AB的中点，∴AB＝2AP＝8cm，∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，∴CB＝5cm，∵N为CB的中点，∴，∴故答案为：．【点拨】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【考点四】求线段的和与差【例4】（18·19上·泰州·期末）已知：点C，D是直线AB上的两动点，且点C在点D左侧，点M，N分别是线段AC、BD的中点．（1）如图，点C、D在线段AB上．①若AC=10，CD=4，DB=6，求线段MN的长；②若AB=20，CD=4，求线段MN的长；（2）点C、D在直线AB上，AB=m，CD=n，且m＞n，请直接写出线段MN的长（用含有m，n的代数式表示）．【答案】（1）①12；②12；（2）．【分析】（1）①根据线段中点的定义可得CM和DN的长，利用线段的和可得＞n结论；②根据线段中点的定义可得CM+DN的长，利用线段的和可得结论；（2）由（1）②得出结果．解：（1）①∵点M，N分别是线段AC、BD的中点，∴CM=AC，DN=BD，∵AC=10，BD=6，∴CM=5，DN=3，∴MN=CM+CD+DN=5+4+3=12；②∵AB=20，CD=4，∴AC+BD=204=16∵点M，N分别是线段AC、BD的中点，∴CM=AC，DN=BD，∴CM+DN==8，∴MN=CM+DN+CD=8+4=12；（2）由（1）②得，MN=．【点拨】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【变式1】（18·19上·广安·期末）如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示：①CE=CD＋DE；②CE=AB－AC－EB；③CE=CD＋BD－EB；④CE=AE＋BC－AB．其中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据图示可以找到线段间的和差关系．解：由图可知：①CE＝CD+DE，正确；②CE=AB－AC－EB，正确；③CE=CD＋BD－EB，正确；④CE=AE＋BC－AB，正确．故选D．【点拨】本题考查了两点间的距离．连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．【变式2】（18·19下·哈尔滨·期末）已知点B、C为线段AD上的两点，AB=BC=CD，点E为线段CD的中点，点F为线段AD的三等分点，若BE=14，则线段EF=【答案】2或10．【分析】设AB=x，则BC=2x，CD=3x，CE=DE=CD=x，由BE=14可求出x的值，由点F为线段AD的三等分点，可得出AF=2x或DF=2x，分AF=2x、DF=2x两种情况找出EF的长度，此题得解．解：设AB=x，则BC=2x，CD=3x，CE=DE=CD=x，∵BE=BC+CE=2x+x=14，∴x=4．∵点F为线段AD的三等分点，∴AF=AD=2x或DF=AD=2x．当AF=2x时，如图1所示，EF=AB+BC+CEAF=x=10；当DF=2x时，如图2所示，EF=DFDE==2．综上，线段EF的长为2或10．故答案为2或10【点拨】本题考查了两点间的距离，分AF=2x、DF=2x两种情况找出EF的长度是解题的关键．【考点五】线段上的动点问题【例5】（21·22上·廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．（1）若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；（2）若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】（1）①12；②；（2）【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．（1）解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．（2）解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．【变式1】（19·20上·台州·期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．解：设BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，当0≤t≤15时，此时点P在线段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M是BP的中点∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15