数学七年级下学期3.21《整式的乘除》+全章复习与巩固

专题3.21《整式的乘除》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算 1、计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．解：（1），=，=，=；（2），=，=，=，=．【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．举一反三：【变式1】已知，求的值．【答案】-3【分析】运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法得出，求出m的值，算乘方，算乘除，最后把m的值代入求出即可．解：∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简和求出m的值是解此题的关键．【变式2】计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．解：（1）原式；（2）原式．【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．类型二、整式的乘除法运算2、计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．解：（1）原式；（2）原式．【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．3、已知xa=2，xb=3.（1）求x3a+2b的值．（2）求x2a-3b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．解：（1）∵xa=2，xb=3，∴；（2））∵xa=2，xb=3，∴．【点拨】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．举一反三：【变式1】计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．解：（1）原式；（2）原式．【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．【变式2】已知与的乘积中不含和项，求的值．【答案】，【分析】先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．解：∵乘积中不含和项，∴，，∴，．【点拨】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．类型三、乘法公式4、计算：．【答案】2022【分析】根据平方差公式计算分母即可解答．解：原式＝＝＝2022．【点拨】本题主要考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a−b）＝a2−b2是解题的关键．举一反三：【变式】先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可解：原式===当时，原式=【点拨】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．5、已知，求代数式的值．【答案】5【分析】先用乘法公式进行化简，再整体代入求值即可．解：原式=，=，∵，∴，原式=．【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行化简，整体代入求值．【变式】先化简再求值：（1）当x＝1，求代数式（﹣2x）2+（x+3）（x﹣3）的值．（2）当ab＝﹣1，求代数式（a﹣b）2﹣（a+b）2的值【答案】（1）；；（2）；．【分析】（1）先计算积的乘方和平方差公式，然后合并同类项，最后将已知值代入求解即可；（2）利用平方差公式的逆运算进行因式分解，然后化简求值即可．解：（1），；当时，原式；（2），，，；当时，原式，．【点拨】题目主要考查整式的化简求值，包括平方差公式及积的乘方运算，熟练掌握平方差公式及其逆运算是解题关键．5、如图，某校有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)用含a、b的代数式表示绿化面积；(2)求出当a=3米，b=2米时的绿化面积．【答案】（1）5a2+3ab（m2）；（2）63m2【分析】（1）绿化的面积=长方形的面积-中间部分的面积，据此可列出代数式．

（2）把a=3米，b=2米代入（1）式所得的代数式可求出解．解：（1）由题意可得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2

=（6a2+5ab+b2）-（a2+2ab+b2）

=5a2+3ab；

（2）当a=3，b=2时，

原式=5×32+3×3×2=63m2．【点拨】本题考查列代数式和代数求值，关键知道完全平方公式，整式的混合运算等知识点．举一反三：【变式】乘法公式的探究及应用.小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是_______(写成两数平方差的形式)；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_______，长是______，面积是_________(写成多项式乘法的形式).小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式________(用式子表达).【答案】小题1：；小题2：，，；小题3：【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；

对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；

对于小题3，由图②与图①阴影