5.2第二课时二次函数y=axh²k的图象与性质（十二大题型）

（苏科版）九年级下册数学《第5章二次函数》5.2第2课时二次函数y＝a（xh）2+k的图象与性质知识点一知识点一二次函数y＝ax2+k的图象和性质◆1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质y＝ax2+ka

>

0a

<

0图象开口方向开口向上开口向下对称轴y轴（或直线x＝0）y轴（或直线x＝0）顶点坐标(0，k)，抛物线最低点(0，k)，抛物线最高点最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大.当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小.◆2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系：二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：当k＞0时,向上平移k个单位长度得到.当k＜0时,向下平移k个单位长度得到.★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减.知识点二知识点二二次函数y＝a（xh）2的图象和性质◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质y＝a(x﹣h)2a

>

0a

<

0图象开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标(h，0)，抛物线最低点(h，0)，抛物线最高点最值当x=h时，y最小值=0当x=h时，y最大值=0增减性当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h时，y随x增大而增大.当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h时，y随x增大而减小.◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系：二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：当h>0时，向右平移h个单位长度得到.当h<0时，向左平移ℎ个单位长度得到.★左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变.知识点三知识点三二次函数y＝a（xh）2+k的图象和性质◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质y＝a(x﹣h)2+ka

>

0a

<

0图象h＞0，k＜0h＜0，k＞0开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标(h，k)，抛物线最低点(h，k)，抛物线最高点最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k增减性当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h时，y随x增大而增大.当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h时，y随x增大而减小.◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系：二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：平移规律(设h＞0，k＞0)：★简记为a不变.题型一二次函数题型一二次函数y＝ax2+k的图象与性质【例题1】抛物线y＝﹣2x2+3的顶点为（）A．（0，3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（0，﹣3）【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+3，∴抛物线顶点坐标为（0，3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．解题技巧提炼二次函数y＝ax2+k的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的.a＞0，x<0时，函数值y随x的增大而减小；x>O时，函数值y随x的增大而增大；a＜0，x<0时，函数值y随x的增大而增大；x>O时，函数值y随x的增大而减小.【变式11】（2022秋•新华区校级期末）抛物线y＝x2+1的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断．【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．【点评】应熟练掌握二次函数的图象与性质．【变式12】比较二次函数y＝2x2与y=−12xA．开口方向相同 B．开口大小相同 C．顶点坐标相同 D．对称轴相同【分析】根据题意的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝2x2与y=−12x∴函数y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y=−12x2+1的开口向下，对称轴是故选项A、C错误，选项D正确；∵二次函数y＝2x2中的a＝2，y=−12x2+1中的a∴它们的开口大小不一样，故选项B错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式13】在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，∴a＝1＞0，∴二次函数的开口方向向上，∴排除C选项．∵一次函数y＝﹣mx+1，∴b＝1＞0，∵一次函数经过y轴正半轴，∴排除A选项．当m＞0时，则﹣m＜0，一次函数经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，∴排除B选项．当m＜0时，则﹣m＞0一次函数经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，∴D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．【变式14】由图象可得二次函数y＝x2+1的图象性质：（1）二次函数y＝x2+1是一条曲线，把这条曲线叫做．（2）二次函数y＝x2+1中，二次函数a＝，抛物线y＝x2+1的图象开口．顶点坐标（，），图象有最点，y有最值．（3）自变量x的取值范围是．（4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于对称，从而图象关于对称．【分析】根据函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）二次函数y＝x2+1是一条曲线，把这条曲线叫做抛物线．（2）二次函数y＝x2+1中，二次函数a＝1，抛物线y＝x2+1的图象开口向上．顶点坐标（0，1），图象有最低点，y有最小值．（3）自变量x的取值范围是x是全体实数．（4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于y轴对称，从而图象关于y轴对称．故答案为：（1）抛物线；（2）向上，0，1，低，小；（3）x是实数；（4）y轴，y轴．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式15】已知抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）．（1）求m和n的值；（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；（4）函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出来；若没有，请说明理由．【分析】（1）先把（m，3）代入y＝2x﹣1可求出m，得到交点坐标为（2，3），然后把（2，3）代入y＝2x2+n可求出n的值；（2）、（3）由（1）得抛物线的解析式为y＝2x2﹣5，然后根据二次函数的性质求解；（4）把直线与抛物线的交点问题转化为方程组的解的问题解决：通过解方程组y=2x−1y=2【解答】解：（1）把（m，3）代入y＝2x﹣1得2m﹣1＝3，解得m＝2，把（2，3）代入y＝2x2+n得2•4+n＝3，解得n＝﹣5；（2）抛物线的解析式为y＝2x2﹣5，它的顶点坐标为（0，﹣5），对称轴为y轴；（3）当x＜0时，二次函数y＝2x2﹣5中y随x的增大而减小；（4）有．解方程组y=2x−1y=2x2−5得所以函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象还有一个交点坐标为（﹣1，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数的性质.【变式16】二次函数y＝ax2+k的图象顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线y=−12x（1）确定a，k的值；（2）画出二次函数y＝ax2+k的图象．【分析】（1）根据形状、开口方向相同的抛物线的a值相同，可得a的值；根据顶点坐标，可得k的值；（2）根据描点法，可得函数图象．【解答】解：（1）由y＝ax2+k形状及开口方向与y=−12x得a=−1由y＝ax2+k的顶点是（0，2），得k＝2；（2）y=−12x【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的a值相同二次函数图象的开口方向，形状相同．题型二二次函数题型二二次函数y＝ax2+k与y＝ax2的关系【例题1】（2022•和平区二模）将抛物线y＝x2﹣2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2﹣2，即y＝x2﹣4，故答案是：y＝x2﹣4．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．解题技巧提炼二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：当k＞0时,向上平移k个单位长度得到.当k＜0时,向下平移k个单位长度得到.★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减.【变式21】（2023•江南区校级三模）将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．【变式22】（2022秋•利通区期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（）A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式y＝﹣x2﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．【变式23】将二次函数y=14xA．y=14x2﹣5 B．y=14C．y=14（x+2）2﹣3 D．y=14（【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次函数的系数可得新二次函数解析式．【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，﹣3），二次函数y=14x∴新抛物线的解析式为（0，﹣5），∴二次函数y=14x2﹣3的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是y=1故选：A．【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：抛物线的平移，看顶点的平移即可；平移不改变二次函数的系数．【变式24】如果将抛物线y＝x2+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝x2+2 D．y＝（x+1）2﹣1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y＝x2+3的顶点坐标为（0，3），向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．【变式25】将二次函数y＝4x2的图象向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数关系式是；将二次函数y＝﹣5x2+1的图象向下平移5个单位长度，所得的图象相应的函数关系式是．将函数y＝﹣3x2+4的图象向平移个单位长度可得y＝﹣3x2的图象；将二次函数y＝2x2﹣7的图象向平移个单位长度可得到二次函数y＝2x2的图象．将二次函数y＝x2﹣7的图象向平移个单位长度可得到二次函数了y＝x2+2的图象．【分析】分别根据向上平移纵坐标加，向下平移坐标减解答即可．【解答】解：二次函数y＝4x2的图象向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数关系式是y＝4x2+3；将二次函数y＝﹣5x2+1的图象向下平移5个单位长度，所得的图象相应的函数关系式是y＝﹣5x2﹣4；将函数y＝﹣3x2+4的图象向下平移4个单位长度可得y＝﹣3x2的图象；将二次函数y＝2x2﹣7的图象向上平移7个单位长度可得到二次函数y＝2x2的图象；将二次函数y＝x2﹣7的图象向上平移9个单位长度可得到二次函数了y＝x2+2的图象．故答案为：y＝4x2+3，y＝﹣5x2﹣4，下，4，上，7，上，9．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．题型三二次函数题型三二次函数y＝a（x﹣h）2的图象与性质【例题3】（2022秋•潮安区期末）二次函数y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝2（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法的考查，需熟记．解题技巧提炼二次函数y＝a(x﹣h)2的性质主要是从开口方向，对称轴，顶点坐标，最值和增减性五个方面来判断的.a＞0，x<h时，函数值y随x的增大而减小；x>h时，函数值y随x的增大而增大；a＜0，x<h时，函数值y随x的增大而增大；x>h时，函数值y随x的增大而减小.【变式21】在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣2）2（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数y＝a（x﹣2）2（a≠0）的顶点坐标为（2，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．【解答】解：二次函数y＝a（x﹣2）2（a≠0）的顶点坐标为（2，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求出二次函数的顶点坐标．【变式22】在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x＝﹣1的是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．【解答】解：A、y＝2（x+1）2的对称轴为x＝﹣1，所以选项A正确；B、y＝2（x﹣1）2的对称轴为x＝1，所以选项B错误；C、y＝﹣2x2﹣1的对称轴为x＝0，所以选项C错误；D、y＝2x2﹣1对称轴为x＝0，所以选项D错误；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的对称轴，形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x＝h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=−b【变式23】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求得答案．【解答】解：∵y＝2（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0），∴抛物线经过第一、二象限，∴不经过第三、四象限，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．【变式24】已知二次函数y=3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．【解答】解：二次函数y=3（x﹣a）2的对称轴为直线x=a，∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，∴a≤2．故答案为：a≤2．【点评】本题考查了解题的关键．【变式25】已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在函数y＝（x﹣1）2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】由已知确定函数的对称轴为x＝1，A、B、C三点到对称轴的距离分别为5，1，2，即可求解；【解答】解：y＝（x﹣1）2的开口向上，对称轴为直线x＝1，A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）三点到对称轴的距离分别为3，0，1，∴y1＞y3＞y2，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大是解题的关键．【变式26】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3），（1）求抛物线的解析式．（2）当x为何值时，y随x的增大而增大．（3）求抛物线与y轴的交点坐标．【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式．（2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大．（3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，∵抛物线过点（1，﹣3），∴﹣3＝a（1﹣2）2，∴解得a＝﹣3，∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2．（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，所以当x＜2时，y随x的增大而增大．（3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12，所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．题型四二次函数题型四二次函数y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系【例题4】（2023•南岗区校级模拟）将抛物线y＝﹣x2通过一次平移可得到抛物线y＝﹣（x+4）2，对这一平移过程描述正确的（）A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向上平移4个单位长度 D．向下平移4个单位长度【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+4）2的顶点坐标为（﹣4，0），∵点（0，0）向左平移4个单位可得到（﹣4，0），∴将抛物线y＝﹣x2向左平移4个单位得到抛物线y＝﹣（x+4）2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．解题技巧提炼二次函数y＝a(x﹣h)2(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象左右平移得到：当h>0时，向右平移h个单位长度得到.当h<0时，向左平移h个单位长度得到.【变式41】把抛物线y=−12xA．y=−12x2+2 B．y=−12（C．y=−12x2﹣2 D．y=−12【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：∵把抛物线y=−12x∴平移后所得抛物线的解析式为：y=−12（x﹣2）故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图形与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．【变式42】将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，其对称轴是，顶点是，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．【分析】根据“左加右减”的平移规律可得出函数y＝（3x+6）2的图象是由函数y＝9（x﹣3）2的图象向左平移5个单位长度得到的；然后根据函数解析式写出对称轴，顶点坐标，并根据二次函数的增减性和最值问题解答．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数y＝2（x﹣3）2，其图象对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，0）；当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．故答案为：y＝2（x﹣3）2，直线x＝3，（3，0），＞3，＜3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的顶点坐标，增减性，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．【变式43】已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同．（1）求这条抛物线的解析式；（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式．【分析】（1）直接利用a决定抛物线的开口方向和开口大小，进而得出答案；（2）利用二次函数平移的性质得出平移后解析式；（3）利用二次函数的性质得出符合题意的答案．【解答】解：（1）∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝（x+2）2相同，∴这条抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2；（2）将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y＝3（x﹣2）2；（3）若（2）中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，则符合此条件的抛物线解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握二次函数的性质是解题关键．【变式44】已知函数y=−14x2，y=−14（x+2）2和y=−1（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的函数图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）试说明分别通过怎样的平移，可以由函数y=−14x2的图象得到函数y=−14（x+2）2和函数y=−1（4）分别说出各个函数的性质．【分析】（1）根据二次函数图象的画法作出函数图象即可；（2）根据函数图象分别写出开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据平移规律即可解答；（4）根据二次函数的对称轴和开口方向确定其增减性即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）y=−14x2开口向下，对称轴为y=−14（x+2）2开口向下，对称轴为直线y=−14（x﹣2）2开口向下，对称轴为直线（3）y=−14（x+2）2由抛物线y=−1y=−14（x﹣2）2由抛物线y=−1（4）y=−14x2当x＜0时y随着x的增大而增大，当x＞0时y随着y=−14（x+2）2当x＜﹣2时y随着x的增大而增大，当x＞﹣2时y随着y=−14（x﹣2）2当x＜2时y随着x的增大而增大，当x＞2时y随着【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够正确的作出二次函数的图象．题型五二次函数题型五二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质【例题5】（2023•松北区三模）抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6） B．（1，﹣6） C．（1，6） D．（﹣1，﹣6）【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2﹣6，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣6），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．解题技巧提炼二次函数y＝a(x﹣h)2+k对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）.当a＞0时，开口向上，顶点是它的最高点；当x=h时，y有最小值是k当a＜0时，开口向下，顶点是它的最低点；当x=h时，y有最大值是k；函数y＝a(x﹣h)2+k的增减性和函数y＝a(x﹣h)2是一致的.【变式51】（2023春•鼓楼区校级期末）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．【变式52】已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝﹣3（x﹣1）2满足条件．故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．【变式53】若抛物线y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1【分析】求出函数的顶点坐标为（m+1，2m+4），再由第二象限点的坐标特点得到：m+1＜0，2m+4＞0即可求解．【解答】解：∵y＝2（x﹣m﹣1）2+2m+4，∴顶点为（m+1，2m+4），∵顶点在第二象限，∴m+1＜0，2m+4＞0，∴﹣2＜m＜﹣1，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合第二象限内点的坐标特点求解是关键．【变式54】（2022•下陆区校级开学）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y=−1（2）y＝2x2﹣7；（3）y＝2（x+3）2+6．【分析】（1）由抛物线顶点式求解．（2）由抛物线顶点式求解．（3）由抛物线顶点式求解．【解答】解：（1）∵y=−14（x﹣1）∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0）．（2）∵y＝2x2﹣7，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣7）．（3）∵y＝2（x+3）2+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，6）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．【变式55】已知：抛物线y=34（x﹣1）（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的解析式．【分析】（1）根据二次函数的性质可直接得出结论；（2）先求出P、Q两点的坐标，再利用待定系数法求出直线PQ的解析式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=34（x﹣1）2﹣3中，a∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1；（2）∵令x＝0，则y=−9∴P（0，−9∵令y＝0，则x＝3或x＝﹣1，∴Q（3，0）或（﹣1，0）．若Q（3，0），设直线PQ的解析式为y＝k1x+b1，则b1解得k1此时直线解析式为y=34x若Q（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y＝k2x+b2，则b2解得k2此时直线解析式为y=−94x故直线PQ的解析式为：y=34x−94或y【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式及用待定系数法求一次函数的解析式是解答此题的关键．【变式56】（2022秋•衢江区校级月考）已知函数y=−1（1）指出函数图象的开口方向是，顶点是；（2）当x时，y随x的增大而减小；（3）怎样移动抛物线y=−12x【分析】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；（3）根据平移的平移规律求解．【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；故答案为：向下，（﹣2，﹣2）；（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；故答案为：＞﹣2；（3）把抛物线y=−12x2就先向左平移2个单位物线y=−12（【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．题型六二次函数题型六二次函数y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系【例题6】（2023•明山区校级模拟）抛物线y＝x2可以由抛物线y＝（x+2）2﹣3平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3向右平移2个单位可得到抛物线y＝x2﹣3，抛物线y＝x2﹣3再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2．故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．解题技巧提炼二次函数y＝a(x﹣h)2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移得到.【变式61】（2023•兴庆区校级一模）将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a＝﹣4，∴y＝﹣4（x﹣2）2+3．【点评】题中由抛物线的顶点求解析式一般采用顶点式；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．【变式62】已知抛物线y＝（x+3）2﹣4，将其图象沿y轴向下平移1个单位，再沿x轴向左平移2个单位，则该抛物线的解析式为（）A．y＝（x+5）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝（x+5）2﹣3【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4，将其图象沿y轴向下平移1个单位，再沿x轴向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式为y＝（x+3+2）2﹣4﹣1，即y＝（x+5）2﹣5，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．【变式63】（2022秋•长汀县期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x+2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．【变式64】将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象．（1）确定a、h、k的值；（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．【分析】（1）根据已知和平移的特点得出a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，求出即可；（2）根据求出的函数解析式和二次函数的性质得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，∴a（x﹣h+2）2+k+3＝﹣2（x+3）2+1，a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，解得：a＝﹣2，h＝﹣1，k＝﹣2；（2）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k＝﹣2（x+1）2﹣2，∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣2）；（3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣2），∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，y有最大值，y的最大值是﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．【变式65】【分析】根据抛物线解析式y=−12（x﹣1）【解答】解：如图：由y=−12（x﹣1）2+2得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是：抛物线y=−12x2的顶点坐标是（0，0），抛物线y=−12（∵由顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到顶点（1，2），∴由抛物线y=−12x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位就可以得到抛物线y=−12（【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．题型七函数图象位置的识别题型七函数图象位置的识别【例题7】函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】本题可先抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．【解答】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．解题技巧提炼在同一直角坐标系判断函数图象的位置，主要是根据二次函数的图象的位置特征和一次函数的性质来判断即可.【变式71】（2023•庐江县三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝x2﹣m与一次函数y＝﹣x+m的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据抛物线中a＝1＞0，抛物线开口向上，排除A；再根据当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，排除B和D．【解答】解：∵抛物线中a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故A不合题意；当x＝1时，二次函数值为1﹣m，一次函数值为﹣1+m，互为相反数，故B和D不合题意，C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．【变式72】（2023•天河区校级模拟）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，∴不经过第一象限．故选：A．【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．【变式73】（2023春•鼓楼区校级期末）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【解答】解：由y=ax−1y=ax2−x，解得∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（1aA、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【变式74】（2022•肇东市校级一模）同一坐标系中，抛物线y＝（x﹣a）2与直线y＝a+ax的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；B、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故错误；C、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；D、由一0，故正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【变式75】二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误；B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确；C、二次函数y＝a（x﹣2）2+c的对称轴x＝2，在y轴右侧，故C错误；D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣2）2+c的顶点（2，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．题型八利用二次函数的性质比较函数值的大小题型八利用二次函数的性质比较函数值的大小【例题8】（2022•西城区校级开学）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2+m上，则y1，y2的大小关系为：y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】分别把A（﹣1，y1），B（2，y2）代入解析式求解．【解答】解：把（﹣1，y1）代入y＝2x2+m得y1＝2+m，把（2，y2）代入y＝2x2+m得y2＝8+m，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．解题技巧提炼（1）确定这些点的横坐标的大小；（2）判断这些点是图象的对称轴的左边还是右边，当点不在对称轴同侧时，需要先根据抛物线的对称性，把这些点转化为在对称轴同侧的点；（3）根据函数的增减性进行判断，也可根据这些点到对称轴的距离的大小来比较.【变式81】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是．【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），|﹣1﹣1|＝2，|1﹣1|＝0，|2﹣1|＝1，∴y2＞y3＞y1，故答案为：y2＞y3＞y1．【点评】本用二次函数的性质解答．【变式82】若A（−134，y1）B（−54，y2），C（14，y3）为二次函数y＝（x﹣2）2图象上三点，则y1，y2，y3【分析】把三个点的坐标分别代入函数解析式可求得y1，y2，y3，可求得答案．【解答】解：∵A、B、C为二次函数y＝（x﹣2）2图象上三点，∴y1＝（−134−2）2=44116，y2＝（−54−2）2=169∴y1＞y2＞y3，故答案为：y1＞y2＞y3．【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．【变式83】已知点A（2，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）在函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象上，则y1、y2、y3的关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】分别将横坐标的值代入函数解析式求出纵坐标的值，即可得解．【解答】解：y1＝（2﹣1）2﹣2＝1﹣2＝﹣1，y2＝（﹣1﹣1）2﹣2＝4﹣2＝2，y3＝（﹣2﹣1）2﹣2＝9﹣2＝7，所以，y3＞y2＞y1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数图象上点的坐标满足函数解析式，本题求出具体的函数值是解题的关键．【变式84】（2023•泗阳县一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，∴y1＝﹣（﹣2+1）2+3＝2，y2＝﹣（1+1）2+3＝﹣1，y3＝﹣（2+1）2+3＝﹣6，∴y1＞y2＞y3，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．【变式85】（2023•灞桥区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y1，y2，y3的值，然后比较它们的大小．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9a+4；当x＝﹣1时，y2＝4a+4；当x＝5时，y3＝16a+4；∵二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，∴a＞0，∴4a+4＜9a+4＜16a+4∴y2＜y1＜y3．故选：C．【点评】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．题型九利用二次函数的性质判断结论题型九利用二次函数的性质判断结论【例题9】（2022秋•盐湖区期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标为（1，0） D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2，∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；对称轴是直线x＝1，故选项B正确，不符合题意；顶点坐标为（1，0），故选项C正确，不符合题意；当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．解题技巧提炼主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键.【变式91】二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（1，4） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，∴a＝﹣2，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误；顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选项C错误；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式92】（2022秋•五常市期末）已知抛物线y＝（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝3 C．抛物线的顶点坐标为（3，1） D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1中，a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，抛物线的对称轴为直线x＝3，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，抛物线的顶点坐标为（3，1），因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，因此当x＜3时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）．【变式93】设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0 C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【解答】解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：2=a(1−ℎ)∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a=12，故若h＝4，则a=−12，故若h＝6，则a=−16，故若h＝8，则a=−110，故故选：C．【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．【变式94】（2022•赤峰模拟）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 D．这个函数的最小值小于﹣6【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x=3（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x=3∵抛物线经过点（﹣2，6），∴当x＜32时，y随∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；∴x＞32时，y随x增大而增大，故由对称性可知，在x=32处取得最小值，且最小值小于﹣6．故故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．题型十二次函数对称性的应用题型十二次函数对称性的应用【例题10】如图，两条抛物线y1=−12x2+1，y【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．【解答】解：如图，过y2=−12x2﹣1的顶点（0，﹣1）作平行于x轴的直线与y1=−1同过点（0，﹣3）作平行于x轴的直线与y2=−12x故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为4×2＝8．故填8．【点评】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积．解题技巧提炼1、利用二次函数对称性，将一些不规则图象转化为规则图形，从而求出此类图形的面积.2、抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点是关于对称轴对称.【变式101】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…则二次函数的对称轴是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝4 D．x＝﹣4【分析】根据表中x、y的对应值可知，当x＝﹣2与x＝4时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程．【解答】解：∵由表中x、y的对应值可知，当x＝﹣2与x＝4时y的值相等，∴对称轴是直线x=−2+4故答案为直线x＝1，故选：B．【点评】此题考查二次函数的对称性，理解y相同的坐标关于对称轴对称是解决问题的关键．【变式102】（2022秋•西湖区校级月考）若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一个函数图象上，这个函数可能为（）A．y＝（x﹣1）2+2022 B．y＝（x+1）2+2022 C．y＝（x+3）2﹣2022 D．y＝（x﹣2）2﹣2022【分析】由点A，B坐标可得A，B关于直线x＝1对称，进而求解．【解答】解：A（﹣3，m），B（5，m）关于直线x＝1对称，A选项中抛物线对称轴为直线x＝1，符合题意．B选项中抛物线对称轴为直线x＝﹣1，不符合题意．C选项中抛物线对称轴为直线x＝﹣3，不符合题意．D选项中抛物线对称轴为直线x＝2，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．【变式103】已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A．y＝x+2 B．y=−2x C．y＝x2+2 D．y＝﹣x【分析】由点A（﹣3，m），B（3，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．【解答】解：∵A（﹣3，m），B（3，m），∴点A与点B关于y轴对称；由于y＝x+2不关于y轴对称，y=−2x的图象关于原点对称，因此选项A、∵n2＞0，∴m+n2+1＞m；由A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确故选：D．【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．【变式104】已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为．【分析】由自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等可得抛物线对称轴为直线x=12，再结合抛物线解析式即可求得【解答】解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，∴抛物线对称轴为直线x=1∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），∴m=1故答案为：12【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意求出抛物线的对称轴是解决本题的关键．题型十一利用二次函数的性质求最值题型十一利用二次函数的性质求最值【例题11】（2023•阿城区三模）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值为（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的最大值是k，∴抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的最大值为﹣5．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．解题技巧提炼确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【变式111】（2023•长安区校级二模）已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9【分析】代入点A，化简2a﹣b并配方，根据二次函数性质解答即可．【解答】解：把A（a，b）代入二次函数y＝﹣x2+8中得，b＝﹣a2+8，∴2a﹣b＝2a﹣（﹣a2+8）＝2a+a2﹣8＝（a+1）2﹣9，∴当a＝﹣1时，最小值为﹣9．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值的计算，配方的应用是解题关键．【变式112】（2022秋•海曙区期末）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．【分析】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m−12）2∴当m=12时，m﹣n取得最大值，m﹣n故答案为：−15【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式113】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）D．有最大值2，无最小值【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．【变式114】（2022•河南模拟）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{﹣3，﹣1}＝﹣3．则min{﹣x2+2，x}的最大值是．【分析】令﹣x2+2＝x，求出抛物线y＝﹣x2+2与直线y＝x交点坐标，结合图象求解．【解答】解：令﹣x2+2＝x，解得x1＝﹣2，x2＝1，∴抛物线y＝﹣x2+2与直线y＝x交点横坐标为﹣2，1，将x＝﹣2代入y＝x得y＝﹣2，将x＝1代入y＝x得y＝1，如图，∴min{﹣x2+2，x}=−∴min{﹣x2+2，x}的最大值是1．故答案为：1．【点评】本【变式115】已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2＝﹣1，解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2＝﹣1，解得：h3＝4（舍去），h4＝6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．题型十二二次函数与一次函数的综合应用题型十二二次函数与一次函数的综合应用【例题12】抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC．（1）求a的值；（2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标．【分析】（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），即可求解；（2）PM＝2MN，即|12x2﹣1−12x+1|＝2|【解答】解：（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），点B的坐标代入函数表达式并解得：a=1（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y=12设点P（x，14x2﹣1），点M（x，12PM＝2MN，即|14x2﹣1−12x+1|＝2|解得：x＝2（舍去）或4或﹣4，故点P的坐标为：（4，3）或（﹣4，3）．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．解题技巧提炼解决二次函数与一次函数综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，而要充分利用好函数图象的交点坐标，考查了三角形的面积、平行四边形的判定等问题，有时要用到分类讨论的思想．【变式121】（1）写出直线BC的解析式；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用抛物线解析式求出点B的坐标，然后代入直线解析式求出b的值，即可得解；（2）联立抛物线与直线解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）令y＝0，则−34x解得x＝±2，所以，点B的坐标为（2，0），代入y=−34x+b得，−3解得b=3所以，直线BC的解析式为y=−34x（2）联立y=−3解得x1=2y所以，点C的坐标为（﹣1，94∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∴△ABC的面积=12×【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟记性质并联立两函数解析式求出交点C的坐标是解题的关键．【变式122】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1＝4a，解得：a=1∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）2=14x（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：y=14xy=1∴点A的坐标为（1，14），点B作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1，∴点B′的坐标为（4，﹣3）．设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，14）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+bk+b=144k+b=−3∴直线AB′的解析式为y=−1312x当y＝﹣1时，有−1312x解得：x=28∴点P的坐标为（2813【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；【变式123】如图，一条抛物线由抛物线y＝x2向右平移a个单位长度得到，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．（1）求a的值