初中数学七年级上册《1.4有理数的乘除法》课件（二）

有理数的乘除法有理数的乘法有理数的乘法法则内容图例乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0同号两数相乘异号两数相乘与0相乘内容图例知识解读（1）“同号得正，异号得负”的符号法则，只适用于两个有理数相乘.（2）避免把确定有理数乘积的符号与确定有理数和的符号相混淆.（3）要记住把算式中的负因数加上括号巧记乐背两数相乘积为何？结果符号看因数；一旦有0积为0，同正异负别弄错.（1）带分数的乘法：当某个因数是带分数时，先把带分数化成假分数再相乘；（2）分数与小数的乘法：当算式中既有分数又有小数时，先统一为分数或小数再相乘.例1

计算：（1）（-125）×3；（2）（-33）×（-5）；分析：根据有理数乘法法则计算，注意（4）有因数0，结果为0.解：（1）（-125）×3=-（125×3）=-375.（2）（-33）×（-5）=+（33×5）=165.（3）两个有理数的乘法运算：先确定符号，再把两因数的绝对值相乘.倒数内容倒数乘积是1的两个数互为倒数知识解读（1）倒数是相互的，即若a是b的倒数，则b也是a的倒数，单独一个数不能称其为倒数.（2）求有理数a（a≠0）的倒数的方法：当a为整数时，则即为a的倒数；当a是分数（真分数或假分数，若为带分数，应将其化为假分数）时，把a的分子与分母颠倒位置，即可得到a的倒数注意求一个带分数的倒数时，要先把这个带分数化为假分数再求其倒数.忽略倒数存在的条件，误认为任何一个有理数都有倒数，记住0没有倒数.相同点不同点倒数都是指两个数之间的关系，都是相互的互为倒数的两个数相乘得1正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数相反数互为相反数的两个数相加得0正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0倒数和相反数的异同例2求下列各数的倒数：（1）；（2）-1；（3）；（4）0.125；（5）-1.4.解：（1）的倒数是.（2）-1的倒数是-1.（3）的倒数是.（4）0.125的倒数是8.（5）-1.4的倒数是.多个有理数相乘的运算内容示例一般运算方法多个有理数相乘，可以把它们按照自左至右的顺序依次相乘（-2）×（-3）×5×-112=-6×5×112=-30×112=-52内容示例符号确定法则几个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数（-1）×2×（-3）×4=24，（-1）×（-2）×（-3）×4=-24几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于012×（-2017）×0×（-0.51）=0注意多个有理数相乘时，注意要看有无因数0，若有可直接写出积的结果为0.多个非零的有理数相乘的一般步骤：（1）数一数负因数的个数，按照“偶正奇负”的方法确定出积的符号；（2）把各因数的绝对值相乘，得出积的绝对值.巧记乐背多个有理数相乘，先看有0没有0，有一个0积为0，没0负数要查清，奇为负来偶为正，再把绝对值相乘，仔细观察巧运算，交换结合简便行.例3

计算：（1）（-4）×（+2）×（-5）×（-3）；解：（1）原式=-（4×2×5×3）=-120.（1)三个以上非零有理数相乘，应该先确定积的符号，再计算积的绝对值.（2）无论多少个有理数相乘，若其中有一个因数是0，则积为0.有理数乘法的运算律内容字母表示乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积相等ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等（ab）c=a（bc）分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a（b+c）=ab+ac内容字母表示知识解读根据有理数乘法运算律的内容可知，小学学过的乘法运算律在有理数范围内仍然适用，所不同的是，运算律中的a或b或c不仅可以表示正数，还可以表示0和负数.运用乘法运算律的目的是通过改变有理数乘法的运算顺序，达到对有理数乘法进行简便计算的目的乘法运算律的推广（1）交换律和结合律：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积都不变.（2）分配律：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.（3）逆用分配律：对于含有相同因数的几个乘积式相加，往往可逆用分配律简化运算.注意（1）乘法交换律是指因数的位置可改变，乘法结合律是指因数相乘的顺序可改变，它们都包含自身符号；（2）运用分配律时，不要漏乘括号里面的项.例4

用简便方法计算：运用乘法运算律简化运算：若是只有乘法运算，一般运用乘法交换律、结合律；若是乘法与加法的混合运算，一般运用分配律.对倒数的概念理解不透彻例5

下列说法正确的是（）①两个正数中倒数大的反而小；②两个负数中倒数大的反而小；③两个有理数中倒数大的反而小；④两个符号相同的有理数中倒数大的反而小.A.①②④B.①C.①②③D.①④A只有两个数同号时，才能说倒数大的反而小；在两个数的符号未知时，不能说倒数大的反而小.运用分配律时，漏乘项或漏掉符号例6

计算：用-24乘括号里面的各数时，漏乘-1导致出错；或忽略-56，-1是负数，与-24相乘漏掉负号导致出错.题型一对有理数乘法法则的深入理解例7

若a，b满足a+b＞0，ab＜0，则下列式子正确的是（）A．|a|＞|b|B．|a|＜|b|C．当a＞0，b＜0时，|a|＞|b|D．当a＜0，b＞0时，|a|＞|b|C思路导图根据ab<0得到a,b异号综合各个条件，确定出正确选项结合a+b>0得到正数的绝对值大解析：因为ab＜0，所以a，b异号.因为a+b＞0，所以正数的绝对值较大.故选C．题型二倒数、相反数和绝对值的综合运用思路导图根据a,b互为相反数，c,d互为倒数，得到两个等式根据m的绝对值是2，得到m的值分别代入原式计算，即可求得结果例8

若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求（a+b+cd）m-cd的值.解：由题意可知a+b=0,cd=1,m=±2.当m=2时，（a+b+cd）m-cd=（0+1)×2-1=1；当m=-2时，（a+b+cd）m-cd=（0+1)×（-2)-1=-3.方法点拨两数互为倒数，则其积为1；两数互为相反数，则其和为0；已知一个数的绝对值求该数，要注意分情况讨论.题型三巧用分配律简化计算例9

用简便方法计算：分析：（1）先逆用分配律把公因数“”提出来，再进行计算.（2）先把带分数拆成整数和分数的差，再运用分配律进行计算.题型四利用有理数的乘法解决实际问题例10

某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如下表：小组第一组第二组第三组第四组人数15131412小组平均分与全班平均分的差值4-3-21（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？（2）据（1）你能否判断出第五组的平均分比全班的平均分高还是低？思路导图对于第（1）小题，求出四个小组的总平均分与全班的平均分之差，判断即可得到结果对于第（2）小题，若这四个小组的总平均分高于全班的平均分，则第五组的平均分比全班的平均分低，否则比全班的平均分高解：（1）高.理由：因为4×15+12×1-13×3-14×2=5＞0，所以四个小组的总平均分比全班的平均分高.（2）根据（1）可判断出第五组的平均分比全班的平均分低．题型五有理数乘法的规律探究题例11

阅读材料，大数学家高斯在上学时研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，发现这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=2×3=3×4=将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）.（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=_____________.（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=_____．分析：（3）1260.解读中考：有理数的乘法是有理数运算的重点之一，中考对此部分的考查有以下几个明显的特点：（1）有理数的乘法多以选择题、填空题的形式考查，题目比较简单；（2）关于倒数，一般以选择题或填空题的形式考查一个数的倒数，也常常与相反数、绝对值等综合一起考查.例12

（陕西中考）计算：

×2=（）A．-1B．1C．4D．-4例13

（四川雅安中考）P为正整数，现规定P!=P（P-1）（P-2）×…×2×1，若m!=24，则正整数m=________．解析：原式=×2=-1.故选A.A解析：因为P!=P（P-1）（P-2）×…×2×1=1×2×3×4×…×（P-2）（P-1）P，所以m!=1×2×3×4×…×（m-1）m=24.因为1×2×3×4=24，所以m=4.4考点一列式表示数量关系解析：A.4×（-4）≠1，故此选项不符合题意；B.-3×≠1，故此选项不符合题意；C.-2×=1，故此选项符合题意；D.0没有倒数，故此选项不符合题意．故选C.例14

（山东菏泽中考）下列两数互为倒数的是（）A．4和-4B．-3和13C．-2和-12D．0和0C考点二倒数的概念例15

（湖南永州中考）

的相反数的倒数是（）A．1B．-1C．2016D．-2016解析：的相反数是.因为×2016=1，所以的相反数的倒数是2016．故选C.C核心素养例16

现有一种计算13×12的方法，具体算法如下：第一步：用因数13加上因数12的个位数字2，即13+2=15．第二步：把第一步得到的结果乘10，即15×10=150．第三步：用因数13的个位数字3乘因数12的个位数字2，即3×2=6．第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150+6=156．于是得到13×12=156．（1）填空．第一步：用因数14加上因数17的个位数字7，即________________________．第二步：把第一步得到的结果乘10，即________________________．第三步：用因数14的个位数字4乘因数17的个位数字7，即______________________．第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即________________________．于是得到14×17=238．14+7=2121×10=2104×7=28210+28=238.（2）对于（10+a）×（10+b）.第一步：用因式10+a加上因式10+b的个位数字b，即10+a+b．第二步：把第一步得到的结果乘10，即10（10+a+b）．第三步：用因式10+a的个位数字a乘因数10+b的个位数字b，即ab．第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即10（10+a+b）+ab=100+10a+10b+ab．故（10+a）·（10+b）=100+10b+10a+ab.（2）一般地，对于两个十位上的数字都为1，个位上的数字分别为a，b（0≤a≤9，0≤b≤9，a，b为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算．请你通过计算得出一般结论．有理数的除法有理数除法的法则内容法则一除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数法则二两数相除，同号得正并把绝对值相除两数相除，异号得负0除以任何一个不等于0的数，都得0内容知识解读有理数相除的一般步骤：（1）当运用法则一时，先利用法则一把除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则及运算律计算；（2）当运用法则二时，先确定商的符号，再求商的绝对值注意除法的两个法则要根据具体情况灵活选用，当两个数不能整除时，用法则一比较简便；当两个数能整除时，用法则二比较简便.（1）分数可以理解为分子除以分母，如-123=-12÷3=-4，因此利用除法运算可以化简分数；（2）两个数相除，若商是1，则这两个数相等，若商是-1，则这两个数互为相反数，反之亦然.例1

计算：解：（1)原式=-（3780÷42）=-90.有理数的乘除运算一般都要先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再分别按照乘除运算法则进行计算.有理数的乘除混合运算运算顺序一般步骤有理数的乘除混合运算只有乘除运算时，按照自左向右的顺序计算；有括号的先计算括号里面的（1)一般将除法转化为乘法；（2)确定积的符号；（3)运用乘法运算律简化运算,求出最后的结果运算顺序一般步骤知识解读（1）在同一级运算中,要按照从左到右的顺序进行计算.（2）乘除混合运算时,①将除法转化成乘法,算式化成连乘的形式.②先由负因数的个数确定积的符号,同时将小数化成分数,带分数化成假分数,再进行计算.计算结果能约分的必须约分例2计算：当一个算式中既有乘法运算，又有除法运算时，一般是将除法运算转化为乘法运算，这样可使难度降低，从而不易出错.有理数的加减乘除混合运算内容有理数的加减乘除混合运算顺序（1）先乘除，后加减，有括号先算括号里面的.（2）同级运算中，按照自左向右的顺序计算知识解读知识解读（1）有理数加减乘除混合运算中，首先要把乘除混合运算统一为乘法运算，加减混合运算统一为加法运算，然后按照有理数乘法与加法的法则及运算律进行运算.（2）当乘除混合运算的算式较复杂时，可借助于计算器计算结果巧记乐背混合运算有顺序，同级运算左边起；先算乘除要牢记，再算加减没问题；算式如果有括号，先算括号里面的.注意如果算式中有多重括号，一般按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行计算.例3计算：进行含括号的除法运算时，误用分配律例4计算：本题易误为除法可用分配律，从而得到错解：有理数的乘除混合运算，弄错运算顺序而出错例5计算：-31÷3×解：-31÷3×=-31××=-319.乘除是同级运算，没有按照从左向右的顺序依次计算，而是先算3×

，从而得到错解：-31÷3×

=-31÷1=-31.题型一先巧妙变形，再运用运算律进行运算解：原式=0.25×68×=0.25×4×17×=（0.25×4)×[17×]=1×（-15)=-15.例6计算：0.25÷×方法点拨利用运算律可使运算简便，对于某些不能直接使用运算律运算的题目，应结合数的特点，适当变形，从而为运用运算律创造条件.题型二巧用分配律进行加减乘除混合运算例7用简便方法计算：（1）13÷16+（-7）÷+（-36）÷；（2）（-9999）÷11.分析：（1）先把除法转化为乘法，再逆用分配律进行计算.（2）把除法转化为乘法，把带分数拆成整数和分数的和，再运用分配律进行计算.题型三利用有理数的混合运算解决实际问题例8

某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10．（1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？（2）这10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？（3）这10名同学的平均成绩是多少？解：（1）最高分是80+12=92（分），最低分是80-10=70（分）.（2）低于80分的有5个，所占的百分比是5÷10×100%=50%.（3）平均成绩是［80×10+（8-3+12-7-10-3-8+1+0+10）］÷10=80（分）．方法点拨解决这类问题的关键是先读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式.题型四巧用倒数进行有理数的混合运算例9请用简便方法计算：解：原式的倒数为故原式=题型五有理数的新定义运算例10已知a是有理数，［a］表示不超过a的最大整数，如［3.2］=3,［-1.5］=-2,［2］=2，试计算下列各式的值：（1）［3］+[]×［-3.4］-［0.7］×［0.9］;（2）［-9.2］÷［5.9］+[]×［-4.8］.解：（1）［3］+[]×［-3.4］-［0.7］×［0.9］=3+（-6）×（-4）-0×0=3+24=27.（2）［-9.2］÷［5.9］+[]×［-4.8］=（-10）÷5+（-10）×（-5）=-2+50=48.解读中考：中考对本节内容的考查有以下几个特点：（1）有理数的除法以选择题、填空题的形式进行考查，题目比较简单；（2）有理数的加减乘除混合运算多与平方根、三角函数（后面学习）等知识综合命题，偶尔也会以简单的解答题的形式命题.例11

（江苏扬州中考）与-2的乘积为1的数是（）A．2B．-2C．D．解析：（-18）÷6=-（18÷6）=-3．故选A.解析：1÷（-2）=．故选D.D例12（2015·天津中考）计算（-18）÷6的结果等于（）A．-3B．3C．D．A考点一有理数的除法运算例13

（内蒙古赤峰中考）8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两家书店对学习用品和工具书实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后