专题04 有理数范围内的定义新运算（解析版）

专题04有理数范围内的定义新运算类型一和绝对值有关1．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则：．如：．（1）计算：．（2）计算：．（3）在，，，…，，，，，…，，这个数中：①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值；②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值．【答案】（1）4；（2）3；（3）①当，，时，可取最小值为；②．【解析】【分析】（1）根据新运算法则列式计算即可；（2）根据新运算法则列式计算即可；（3）①分类讨论，，化简求得原式的最小值；②将，，，分别赋予和，同时赋予四个负数，最后一组，同时，为两个负数，分别进行计算，从而求解．【详解】解：（1）根据题意：；故答案为：4；（2）根据题意得：；故答案为：3；（3）①当时，，当时，，当，，时，可取最小值为，即的最小值为；②当，，时，此时，；当，，时，此时，；当，，时，此时，；当，，时，此时，；当，，时，此时，；即五个结果的最大值为．【点睛】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算法则及绝对值的意义，发现当时，，当时，是解题关键．2．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，-1，3的最佳值为．东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列-4，-3，1的最佳值为（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值．【答案】（1）3；（2）；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10．【解析】【分析】（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|−3＋2|＝1，由此得出答案即可；（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．【详解】（1）因为|−4|＝4，＝3.5，＝3，所以数列−4，−3，1的最佳值为3．故答案为3；（2）对于数列−4，−3，2，因为|−4|＝4，＝，＝，所以数列−4，−3，2的最佳值为；对于数列−4，2，−3，因为|−4|＝4，＝1，＝，所以数列−4，2，−3的最佳值为1；对于数列2，−4，−3，因为|2|＝2，＝1，＝，所以数列2，−4，−3的最佳值为1；对于数列2，−3，−4，因为|2|＝2，＝，＝，所以数列2，−3，−4的最佳值为∴数列的最佳值的最小值为＝，数列可以为：−3，2，−4或2，−3，−4．故答案为，−3，2，−4或2，−3，−4．（3）当＝1，则a＝0或−4，不合题意；当＝1，则a＝11或7；当a＝7时，数列为−9，7，2，因为|−9|＝9，＝1，＝0，所以数列2，−3，−4的最佳值为0，不符合题意；当＝1，则a＝4或10．∴a＝11或4或10．【点睛】此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键．3．阅读下列两则材料：材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．【答案】(1)，（答案不唯一）(2)(3)0【解析】【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>||，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．(1)解：V（A4）=||+||+||=4，∴||+||+||=4，当，，V（A4）=||+||+||=4(2)解：||+||+||=3，即||+||+||=3①2≤a<3时，||+||+||=3，所以，解得以a=1，但不符合题意，舍去．②a≤2时，||+||+||=3所以，解得以，符合题意．③a>3时，||+||+||=3所以，，解得以，符合题意．综上所述，或．(3)解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数∴>||，>||，>||，>||，>0，∴0≤||+||+||+||≤∴0≤V（A5）≤a∴V（A5）的最小值为0．【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．类型二和乘方有关4．概念学习现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：________，________；（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈次方等于它本身的数是1或深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；（4）比较：________；填“>”“<”或“=”）（5）计算：．【答案】（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根据规定的运算，直接计算即可；（2）根据圈次方的意义，计算判断得出结论；（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；（4）根据圈次方的规定直接进行判断即可；（5）先把圈次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．【详解】解：（1），，故答案为：，；（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，结论正确，不符合题意；B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，结论正确，不符合题意；C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，结论正确，不符合题意；D．圈次方等于它本身的数是1，结论错误，符合题意；故选：D；（3），故答案为：；（4）＝＝＝，＝＝＝，∵，∴，故答案为：；（5）原式＝＝＝＝．【点睛】本题考查了新定义运算，掌握圈次方的意义是解本题的关键．5．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4．（1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______．（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________．（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．（4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1）【答案】（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；（2）由（1）的结论直接得出结果；（3）根据定义归纳出一般性的结果；（4）根据（3）的结论进行计算即可．【详解】（1）L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6故答案为：（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)故答案为：L2（4）+L2(16)=L2(64)（3）设则即La(M)+La(N)=La(MN)故答案为：（4）La（3）=0.5【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．6．读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内连续奇数的和）可表示为；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）“2+4+6+8+10+…+100”（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为．（2）计算:的值【答案】；50．【解析】【详解】试题分析：首先根据题意得出新定义的含义，然后根据含义得出一般性的规律，最后根据规律进行计算．试题解析：（1）（2）==0+3+8+15+24=50考点：新定义型类型三和四则运算有关7．探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子:(+2)※(+4)=+6；(-3)※(-4)=+7

(-2)※(+3)=-5；(+5)※(-6)=-11

0※(+9)=+9；(-7)※0=+7小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则：（1）归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，

特别是0和任何数进行※（加乘）运算，或是任何数和0进行※（加乘）运算（2）计算：-5※〔0※（-3）〕=（3）若（4-2b）※（│a│-1）=0,求a+b的值【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值；（2）8；（3）1或3．【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出❈（加乘）运算的运算法则；（2）①根据（1）中的结论可以解答本题；②根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题．【详解】解：（1）由题意可得，归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都等于这个数的绝对值；故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值；（2）（5）❈[0❈（3）]=（5）❈3=（5+3）=8，故答案为：8．（3）∵（4-2b）❈（|a|-1）=0，∴当|a|≠1时，|4-2b|+||a|-1|=0，得b=2，|a|=1（舍去），当|a|=1时，|4-2b|=0，得b=2，∴当|a|=1，b=2时，a=±1，∴当a=1，b=2时，a+b=3，当a=-1，b=2时，a+b=1；【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．8．阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为（，）．例如：；；；则称数对（4，2），（，），（，）是“差商等数对”．根据上述材料，解决下列问题：（1）下列数对中，“差商等数对”是（填序号）；①（，），②（，）③（-3，-6）（2）如果（，4）是“差商等数对”，请求出的值；（3）如果（，）是“差商等数对”，那么______________(用含的代数式表示)．【答案】（1）①；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据“差商等数对”的定义进行计算即可得；（2）先根据“差商等数对”的定义可得一个关于x的一元一次方程，再解方程即可得；（3）先根据“差商等数对”的定义列出运算式子，再计算代数式的运算即可得．【详解】（1）①，，，是“差商等数对”；②，，，不是“差商等数对”；③，，，不是“差商等数对”；故答案为：①；（2）由题意得：，解得；（3）由题意得：，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的除法与减法的应用、一元一次方程的应用、列代数式，掌握理解“差商等数对”的定义是解题关键．9．定义：若是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，则______；是的差倒数，…，依次类推，回答下列问题：（1）______，______，______．（2）求的值．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）直接利用倒差数的定义求出a2、a3、a4即可；（2）先根据（1）发现a1、a2、a3…a4为、、4的循环，然后运用加法结合律计算即可．【详解】解：（1），，故答案为，，；（2）由题意和（1）可知，a1、a2、a3…a4为、、4的循环∴=（++4）+（++4）+…+（++4）=673×（++4）=673×=．【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及有理数的四则混合运算，理解差倒数的定义以及发现每三个数一循环成为解答本题关键．10．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}、{﹣2，7，，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个给定集合中的元素是互不相同的．