专题03 二次函数的性质与应用（解析版）【浙江专用】

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）专题03二次函数的性质与应用【考点1】二次函数图象问题【例1】（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．【解析】y=ax2+bxy=ax+b解得故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（-ba，0）或点（1，a+在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，-ba＜0，a+b＞0在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．点评:本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．【例2】（2020•浙江自主招生）函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解析】由图象可知，函数函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x=-b∵a＜0，∴2a+b＜0，故C正确；∵当x＝2时，函数y＝ax2+bx中y＜0，即4a+2b＜0，当x＝1时，y＜1，即a+b＜1∴5a+3b＜1，故A正确；∵a+b＜1，∴2a+2b＜2∵2a+b＜0，∴4a+3b＜2故B正确；∵-b2a＞12∴b＞﹣a，∴2b＞﹣2a，∴a+2b＞﹣a，∴a+2b＞0，故D错误；故选：D．点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【考点2】二次函数性质问题【例3】（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m--m+1，x2＝m∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m--m+1）解得：m＝0或1，当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x1+x2＞2m∴x∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．点评：本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．【考点3】有关二次函数动点图象选填题【例4】（（2019•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．【解析】通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x＝2时有最大面积为4，当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．【考点4】二次函数最值问题【例5】（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解析】∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．点评：本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．【例6】（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；（2）m=-b2，n=4c-b24，得n（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2-b24+2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值-b24+2b，当﹣5≤-b2＜-当最大值1+3b时，1+3b+b24-2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，【解析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m=-b2，∴n=8b-∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2-b对称轴x=-当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x=-b当﹣5≤x≤1时，函数有最小值-b24当﹣5≤-b2＜-2当﹣2＜-b2≤1时，函数有最大值25﹣函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+b24-2∴b＝6或b＝﹣10，∵4＜b≤10，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+b24-2∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．【考点5】二次函数与变换问题【例7】（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．点评：此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．【例8】（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-12x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．【解析】（1）令y＝0，则-1解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线x=-2+6∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6-n+(-n)2∴n＝1，∴m=-∴m，n的值分别为72，1点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．【考点6】二次函数与x轴交点问题【例9】（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．点评：本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．【例10】（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【解析】（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n；点评：本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．【考点7】二次函数与实际问题【例11】（2019•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）…190200210220…y（间）…65605550…（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？【分析】（1）描点、连线即可得；（2）待定系数法求解可得；（3）由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．【解析】（1）如图所示：（2）设y＝kx+b，将（200，60）、（220，50）代入，得：200k+b=60220k+b=50解得k=-∴y=-12x+160（170≤x（3）w＝xy＝x（-12x+160）=-12∴对称轴为直线x=-b∵a=-1∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，∴当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．【例12】（2019•嘉兴）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p=150t-15刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p=-1160（（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【分析】（1）把（25，0.3）代入p=-1160（t﹣h）（2）①由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时，p=150t-15，求得m＝100（150t-15）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，根据题意即可得到m＝100[-1160（t﹣h）2+0.4]﹣20（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）把（25，0.3）代入p=-1160（t﹣h）2+0.4得，0.3=-1160（25解得：h＝29或h＝21，∵h＞25，∴h＝29；（2）①由表格可知，m是p的一次函数，∴m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时，p=150t∴m＝100（150t-15）﹣20＝2t当25≤t≤37时，p=-1160（t﹣h）∴m＝100[-1160（t﹣h）2+0.4]﹣20=-58（t﹣（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝40t2﹣600t﹣4000，∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元；（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，增加的利润为600m+6000﹣w（30﹣m）=-11252（t﹣29）∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，此时，m＝20，综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．1．（2020•拱墅区校级一模）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点 B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点 C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动 D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【分析】利用△＝（2k﹣1）2+3＞0可对A进行判断；利用点（-12，-34）满足抛物线解析式可对B进行判断；先求出抛物线顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则根据二次函数图象上点的坐标特征可对【解析】A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（-12，-3C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，所以C选项正确；D、抛物线的对称轴为直线x=-2k2=-k，抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随故选：C．2．（2020•上虞区校级一模）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】根据△＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，根据△的意义对①进行判断；由a＝1＞0得抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=--2m2=m，由于当x≤1时y随x的增大而减小，则直线x＝1在直线x＝m的左侧，于是可对②进行判断；配方得到y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，则抛物线向左平移3个单位的解析式为y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把原点坐标代入计算出m的值，则可对③进行判断；根据抛物线的对称性由当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则m＝3，所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x﹣3，然后计算x＝【解析】∵△＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，所以①正确；∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=--2m2=m，当在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，而当x≤1时y随x的增大而减小，∴m≥∵y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，∴抛物线向左平移3个单位的解析式为y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把（0，O）代入得（m﹣3）2﹣m2﹣3＝0，解得m＝1，所以③错误；∵当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，则x＝m＝3，∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x﹣3，当x＝6时的函数值为﹣3，所以④正确．故选：B．3．（2019•杭州模拟）已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（）A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1 B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1 C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1 D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1【分析】先利用y2减去y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，据此对各个选项计算分析即可．【解析】y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2由y2＞y1得y2﹣y1＞0∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0选项A：若﹣2＜a＜0＜b，则1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；选项B：若﹣2＜a＜b＜0，则1﹣a＞1＞0，∵0＜b﹣a＜2，∴△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0故B正确；选项C：若0＜a＜2＜b，则1﹣a无法确定正负，故C错误；选项D：同选项C一样，无法确定1﹣a的正负，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．4．（2019•嘉兴一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y=12x2沿射线OC平移得到新抛物线y=12（x﹣m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边A．2，6，8 B．0＜m≤6 C．0＜m≤8 D．0＜m≤2或6≤m≤8【分析】抛物线y=12x2沿射线OC平移，则新的抛物线的顶点在OC上，分别求出C（2，﹣2），B（2，2），进而可得OC的直线解析式为y＝﹣x；则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝m，将点B（2，2）代入y=12（x﹣m）2+m中，将点A（4，0）代入y=12（x﹣m）2+m中，则可确定0＜m≤2或【解析】∵抛物线y=12x2沿射线∴新的抛物线的顶点在OC上，∵点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，∴C（2，﹣2），B（2，2），∴OC的直线解析式为y＝﹣x，则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝﹣m，将点B（2，2）代入y=12（x﹣m）2﹣∴m＝0或m＝6；将点A（4，0）代入y=12（x﹣m）2﹣∴m＝2或m＝8；∵新抛物线与正方形的边AB有公共点，∴0＜m≤2或6≤m≤8；故选：D．二．填空题（共6小题）5．（2020•温州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（26-4）m【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，比原先的宽度当然是增加了26-4故答案为：（26-46．（2019•杭州模拟）若二次函数的解析式y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（p，t）点和（p+6，t）点，则t的取值范围是354≤t≤9【分析】设直线y＝t与抛物线的交点为（x1，0），（x2，0），由题意|x1﹣x2|＝6，由y=ty=(x-m)(x-1)，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣t＝0，推出x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣t，由（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，可得（m+1）2﹣4（m﹣t）＝36，推出t=35-(m2-2m)4，设y′＝m2【解析】设直线y＝t与抛物线的交点为（x1，t），（x2，t），由题意|x1﹣x2|＝6，由y=ty=(x-m)(x-1)，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣t＝0∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣t，∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，∴（m+1）2﹣4（m﹣t）＝36，∴t=35-(设y′＝m2﹣2m，∵y′＝（m﹣1）2﹣1，当1≤m≤2时，﹣1≤y′≤0，∴354≤t≤故答案为354≤t≤7．（2019•诸暨市模拟）已知，抛物线y＝ax2+bx+3满足2a﹣b＝0，写出抛物线上可以确定的点的坐标（0，3）（﹣2，3）．【分析】由题意得到y＝ax2+bx+3＝ax2+2ax+3＝ax（x+2）+3，即可求得抛物线y＝ax2+bx+3一定经过点（﹣2，3），求得对称轴x=-2a【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+3满足2a﹣b＝0，∴b＝2a，∴y＝ax2+bx+3＝ax2+2ax+3＝ax（x+2）+3，∴抛物线y＝ax2+bx+3一定经过点（﹣2，3），∵对称轴x=-2a∴点（﹣2，3）的对称点为（0，3），∴抛物线y＝ax2+bx+3一定经过点（0，3），故答案为（0，3）（﹣2，3）．8．（2019•余姚市一模）直线y＝ax+m和直线y＝bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1【分析】根据一次函数的图象上点的坐标特征，把x＝2、3、6代入两个解析式，且利用x＝3和x＝6时，y的值相等，从而建立方程组求出a、b的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．【解析】如图可知，当x＝2时，2a+m＝2b+n，得2a﹣2b＝n﹣m；当x＝3时，y1＝3a+m①，当x＝6时，y2＝6b+n②，且y1＝y2；②﹣①得n﹣m＝3a﹣6b，∴2a﹣2b＝3a﹣6b，∴a＝4b．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x=-故答案为：直线x=-9．（2019•温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可．【解析】如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=-14x+10，3a=∴矩形区域ABCD的面积S＝（-34x+30）x=-34∵a=-14x+10∴x＜40，则S=-34x2+30x（0＜x∵S=-34x2+30x=-34（x﹣20）2+300（0＜x∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．故答案为：300．10．（2019•海曙区一模）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+b）（x+3b）经过（m，3）、（m+4，3）两点，若方程（ax+b）（x+3b）＝0的一个根为x＝5，则其另一个根为﹣1【分析】根据题意得到抛物线过定点（0，3），即可求得（m，3）、（m+4，3）两点的坐标，求得对称轴，然后根据解析式和方程的关系即可求得另一个根．【解析】∵二次函数y＝（ax+b）（x+3∴当x＝0时，y＝3，∴二次函数y＝（ax+b）（x+3b）必经过定点（0，∴二次函数y＝（ax+b）（x+3b）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，∴对称轴为：x=0+42=2或∵方程（ax+b）（x+3b）＝0的一个根为x＝∴另一个根为﹣1或﹣9∴故答案为﹣1或﹣9．三．解答题（共9小题）11．（2020•拱墅区校级一模）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，进而得m的最小值和n的最大值．【解析】（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；（2）解方程组y=2x+1y=x2+x+1得∴B（1，3），作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1，∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1；（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5．12．（2020•上城区模拟）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．【分析】（1）假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论；（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可；（3）分12b≥0、﹣2＜12b＜0、b【解析】（1）甲发现当x＝0时，y＝5，则c＝5；乙发现函数的最大值为9，即c+b2丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2，则-b-2=4，即b＝4；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根，则c+4b假设甲和丙正确，即c＝5，b＝4，则即c+b2故错误的是丁，函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则x＝5或﹣1，故点B（5，0），而点C（0，5），过点A作y轴的平行线交BC于点H，设直线BC解析式为：y＝kx+5，把点B的坐标代入，得5k+5＝0．解得k＝﹣1．故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝3，故点H（2，3），函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，解得：0＜m＜6；（3）c＝b2，则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b2，函数的对称轴为：x=12①当12b≥0时，即b≥0则x＝0时，y取得最大值，即b2＝5，解得：b=±②当﹣2＜12b＜0时，即﹣4＜b＜当x=12b时，y取得最大值，即﹣（12b）2+12b2+b2＝5，解得：b③当b≤﹣4时，同理可得：b＝1-10综上，b=5或﹣213．（2020•杭州模拟）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．①求直线BC的解析式．②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；（2）①解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再确定C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；②如图，利用对称性得到x2﹣1＝1﹣x1，则x1+x2＝2，所以x1+x2+x3＝2+x3，利用函数图象得到﹣1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．【解析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得1﹣b﹣3＝0，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得3m+n=0n=-3，解得m=1∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；②如图，x2﹣1＝1﹣x1，∴x1+x2＝2，∴x1+x2+x3＝2+x3，∵y3＜﹣3，即x3﹣3＜﹣3，∴x3＜0，∵y＝﹣4时，x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，∴﹣1＜x3＜0，∴1＜x1+x2+x3＜2．14．（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．【解析】（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=5当x=53时，AD＝15＞∴x＝5，∴AD＝5，答：AD的长是5米；②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]根据题意得，y＝x（263-23x）=-23x2∴当x=132时，y有最大值为答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，按图甲的方案，S＝x×20-x3=-∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S-1按图乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x∴当x=a+204时，S的值最大为S=(a+20)224，此时a取最大值n∵(n+20)224-[-13（n﹣10）∴(n+20)故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．15．（2020•温州模拟）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：售价（元/件）100110120130…月销量（件）200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价求出利润；（2）运用待定系数法求出月销量y与售价x的一次函数关系式即可；（3）根据月利润＝每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．【解析】（1）销售该运动服每件的利润是：（x﹣60）元，故答案为：x﹣60；（2）设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，由题意得，100k+b=200110k+b=180解得k=-则y＝﹣2x+400；（3）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400）＝﹣2x2+520x﹣24000∴当x＝130时，利润最大值为9800元，故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．16．（2019•杭州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由对称轴公式即可求解；（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；（3）分类讨论，利用函数图象，结合函数的对称性即可得出t的取值范围．【解析】（1）二次函数图象的对称轴是x=-（2）该二次函数的图象经过点（1，3），∴a﹣4a+3+b＝3，∴b＝3a，把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，得4＜a+3|a|＜9．当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜而a为整数，∴a＝2，则b＝6，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则-9而a为整数，∴a＝﹣3或﹣4，则对应的b＝﹣9或﹣12，∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，∴|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，∴4﹣x2≤x1≤x2，∵x2≥5，∴4﹣x2≤﹣1，∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，∴t∴﹣1≤t≤4．17．（2019•嘉兴一模）已知，抛物线y＝x2+2mx（m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若点A（﹣n+5，0），B（n﹣1，0）在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该抛物线上，且p＜q＜r，求m的取值范围．【分析】（1）m为常数且m≠0，则△＝（2m）2＞0，即可求解；（2）x1+x2＝﹣2m＝4，x1x2＝0＝（﹣n+5）（n﹣1），利用则S△ABM=12AB×（﹣y（3）由题意得：三个点中，只需要对称轴与（2，p）点最为接近即可．【解析】（1）m为常数且m≠0，则△＝（2m）2＞0，故抛物线与x轴有两个交点；（2）函数的对称轴为：x＝﹣m，设函数与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2m＝4，x1x2＝0＝（﹣n+5）（n﹣1），解得：m＝﹣2，n＝5或1，则AB＝4，当x＝﹣m＝2时，y＝4+4m＝﹣4，则S△ABM=12AB×（﹣yC）=12×4（3）由题意得：三个点中，只需要对称轴与（2，p）点最为接近即可，即：-2m解得：m＞-故：：m＞-52且m≠18．（2019•温州三模）如图，已知直线l：y=12x+2与x、y轴分别交于D、A两点．抛物线y=12x2+bx+2与直线交于（1）当抛物线与x轴交于B、C两点时，点B坐标为（1，0）；①求该抛物线的解析式；②求四边形ABCE的面积；（2）当抛物线的顶点在x轴上方，与x轴的距离最大时，求点E的坐标．【分析】（1）①把B点坐标代入y=12x2+bx+2中求出②解方程12x2-52x+2＝0得B（1，0），C（4，0），再利用一次函数解析式求出A、D的坐标，接着解方程组y=12x+2y=12x2-52x+2得E（2）利用配方法得到顶点式y=12（x+b）2-12b2+2，利用抛物线的顶点在x轴上方得到-