新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件新人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程学习任务1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)必备知识·情境导学探新知01把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？知识点圆的一般方程(1)圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_______________________叫做圆的一般方程，此时方程表示以

为圆心，

为半径的圆．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点__________D2＋E2－4F>0

提醒(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．

1．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是__________.(－∞，－1)

[由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，所以－2k－2>0，解得k<－1．](－∞，－1)2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5，0)，则圆C的半径r＝____．4

[由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9．由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16．所以圆C的半径r＝4．]4关键能力·合作探究释疑难02类型1圆的一般方程的辨析类型2求圆的一般方程类型3圆的轨迹问题

类型1圆的一般方程的辨析【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．

反思领悟

圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．[跟进训练]1．(源自人教B版教材)判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；[解]

原方程可以化为x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，即(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以是圆心坐标为(－2，3)，半径为5的圆的方程．

(3)x2＋y2－6x＋10＝0．[解]

因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程．

[母题探究]若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．[解]

由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，解得b<0或b>8，所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)．反思领悟

待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．(3)解此方程组，求出D，E，F的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．

反思领悟

求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点Q(x0，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．

学习效果·课堂评估夯基础031．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(

)A．(4，－6)，16

B．(2，－3)，4C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，161234√C

[圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，因此圆心坐标为(－2，3)，半径r＝4，故选C．]

1234√

1234x2＋y2－2x＝0

1234x2＋y2＝9回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出圆的一般方程．提示：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．