新教材2023年秋高中数学课时分层作业4空间直角坐标系新人教A版选择性必修第一册

课时分层作业(四)空间直角坐标系一、选择题1．已知OA＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为()A．(12，14，10) B．(10，12，14)C．(14，10，12) D．(4，2，3)2．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Oxz平面对称的点的坐标是()A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1)C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1)3．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为()A．(3，3，2) B．(3，2，2)C．(3，2，3) D．(2，2，3)4．(多选)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是()A．每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示B．点P(3，0，－1)位于Oxy平面上C．过点P(1，3，－4)作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q(1，0，－4)D．点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝14A1B1，则BE等于(A．0，14C．0，-1二、填空题6．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是________．7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系．则A1B的坐标为________，B18．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量MN的坐标为________．三、解答题9．如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．10．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标一定可记为(a，0，c)．其中，正确的个数是()A．1B．2C．3D．411．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是()A．点B1的坐标为(4，5，3)B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．13．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则AG的坐标为________，AB的坐标为________．14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．(1)试求向量EF的坐标；(2)求证：EF∥BD1．15．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ0<θ<π，θ≠π2，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，zA．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0B．已知a＝(x，y，0)π3，b＝(0，0，z)π3，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θD．已知OA＝(1，0，0)π3，OB＝(0，1，0)π3，OC＝(0，0，1)π3，则三棱锥课时分层作业(四)1．A2．A3．B4．ACD[在空间直角坐标系中，每一个点和向量坐标都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示，从而A正确；点P(3，0，－1)位于空间直角坐标系中的Ozx平面上，从而B错误；点P(1，3，－4)在Ozx平面内的射影坐标为(1，0，－4)，从而C正确；点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)，从而D正确．故选ACD．]5．C6．(1，1，0)7．(0，4，－3)(－4，0，－3)8．19．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝62.所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－32，0)，B(32，0，0)，C(－32，0，0)，D(0，－32，8)，E(0，0，8)，F(0，32，0)．10．C11．ACD[依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确．设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误．由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确，点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．]12．(1，1，1)32，12，-114．解：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{DA，DC，DD1}为单位正交基底，设DA＝i，DC＝j，DD1＝k，∴向量EF可用单位正交基底∵EF＝ED+DC+CF，ED与DA1共线，CF与CA共线，∴设ED＝λDA1，CF＝μCA，则EF＝λDA1+DC＋μCA＝λ(DA+DD1)＋DC＋μ(DA-DC)＝(λ＋μ)DA＋(1－μ∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即EF⊥A1D，EF⊥AC，∴EF·A1又A1D＝－i－k，AC＝－i＋∴λ整理得-即2λ+∴EF＝13i＋13j－1∴EF的坐标是13(2)证明：∵BD1＝BD+DD1＝－又由(1)知EF＝13i＋13j－1∴EF＝－13BD1，即又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1．15．BC[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cosθ，因为0<θ<π，且θ≠π2所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设OB＝b，OA＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义