新教材2023年秋高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题学生用书无答案新人教A版选择性必修第一册

第2课时用空间向量研究夹角问题学习任务1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算)2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算)在必修教材的课程中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？知识点1利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝u·vu知识点2利用向量方法求直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝u·nu1．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？知识点3利用向量方法求两个平面的夹角(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中____________的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2．(1)二面角与平面的夹角范围一样吗？(2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________．2．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________．3．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β的夹角为________．类型1两条异面直线所成的角【例1】(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D所成角的余弦值．[尝试解答]求异面直线所成角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量．(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．(3)得出两条异面直线所成的角．[跟进训练]1．如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．类型2直线与平面所成的角【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[思路导引](1)AD=DC=CB=1CD∥AB，AB=2→四边形ABCD为等腰梯形→BD⊥(2)由(1)建系→相关点坐标→PD，PA，PB→平面PAB的法向量→PD[尝试解答]利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝n·[跟进训练]2．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．类型3两个平面的夹角【例3】(2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．[思路导引](1)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4→三棱锥A-A1BC的体积→点A到平面A1BC的距离．(2)题设条件→BA，BC，BB1两两垂直建系平面ABD与平面BDC的法向量向量夹角的余弦公式平面ABD与平面BCD的法向量的夹角的余弦值同角三角函数的基本关系二面角A[尝试解答]求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉当〈n1，n2〉∈0,π2时[跟进训练]3．(2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求平面APM与平面PMB夹角的正弦值．1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－32，则l与α所成的角为(A．30°B．60°C．150°D．120°2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A．65B．64C．633．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这