内蒙古包头市铁路第一中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学（理）试题

包铁一中20232024学年第一学期月考试题高三理科数学本试卷共22题，共150分，共4页（不含答题卡）.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上各题目的规定区域内，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡交回，试卷自行留存.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，或，所以.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．4.tan255°=A.－2－ B.－2+ C.2－ D.2+【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．5.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．7.设，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.8.函数y=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．10.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（）A.， B.，C， D.，【答案】D【解析】【分析】根据图象可得的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.【详解】设的最小正周期为，可知，即，且当时，取到最小值，由周期性可知：与最近最大值点为，如图所示，所以的单调递减区间为，.故选：D.11.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I(K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.12.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：114.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.16.若，则______.【答案】【解析】【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求，；（2）求及.【答案】（1），或；（2）或，【解析】【分析】(1)化简集合A，B，根据交集和补集的定义求，；(2)根据交并补的定义求、.【详解】解：（1），，，或（2），所以或因为或，所以.18.（1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.（2）若且，求解不等式.【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.【小问1详解】解：函数的定义域满足，即，所以，要使函数的定义域非空，则，即.若将函数图像向下移后得到的解析式为：，.所以在函数的图像上，即，解得：，所以，【小问2详解】解：由题知，,,因为函数在上单调递增，所以等价于，展开整理得：，所以，不等式的解集为的解，所以，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.19.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.20.已知函数（1）求函数的最小正周期，最大值及取到最大值的的取值集合；（2）已知锐角满足，求的值.【答案】20.最小正周期为；当时，最大值为3.21.【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，即可得到，结合余弦型函数的性质，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，结合二倍角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，则函数的最小正周期为，令，，解得，，即当时，函数的最大值为3.【小问2详解】由于，即，解得，则，解得，又为锐角，即，则，所以，即，所以.21.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22.已知函数（其中，）的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图象的一条对称轴.（1）求的值；（2）求的单调递减区间；（3）若，求的值域.【答案】（1）2（2）