甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

20232024学年第一学期联片办学期中考试高二年级数学学科试卷考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数列，，，，，，中，是它的（）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项2．数列，，，，的一个通项公式为（）A． B． C． D．3．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为郑出向上为小于5的偶数点，事件B为郑出向上为3点，则（）A． B． C． D．4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中前7天共分发多少升大米？（）A．1170 B．1440 C．1785 D．17725．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（）A． B． C． D．6．已知数列满足，若，则（）A．2 B． C． D．7．在等差数列中，其前n项和为，若，是方程的两个根，那么的值为（）A．88 B． C．110 D．8．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且，，则（）二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A． B． C． D．10．下列结论正确的是（）A．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C．若为等差数列，且m，n，p，q均是正数，则“”是“”的充要条件D．满足（且）的数列为等比数列11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球中至少有一个白球”，“取出两个球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的是（）A．事件A与D为对立事件 B．事件B与C是互斥事件C．事件C与E为对立事件 D．事件12．数列的前n项和为，已知，则（）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线的一个法向量______．14．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为______．（结果用分数表示）15．在正项等比数列中，若，则______．16．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是．求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？18．（12分）已知数列的前n项和为．（1）求，；（2）求这个数列的通项公式．19．（12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）求经过、两点的直线方程；（2）求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程；（3）求经过点且斜率为的直线方程．20．（12分）设数列的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设，求数列的前n项和．21．（12分）直线l的方程为．（1）证明：直线l恒经过第一象限；（2）若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．22．（12分）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．（1）求与的通项公式；（2）设，求的前n项和．20232024学年度高中数学期中考试卷参考答案1．B【分析】根据题意，由数列的通项公式，即可得到结果．【详解】由题意可得，数列的通项公式为，令，解得．故选：B2．B【分析】根据所给数列前几项，寻找规律，代入选项检验即可．【详解】由数列的前几项可知，分母为相邻两个自然数的乘积，并且正负相间，代入验证知，故选：B3．C【分析】根据事件的运算结合古典概型运算求解．【详解】由题意可知：样本空间，，，则，可得，，所以．故选：C．4．C【分析】建立等差数列模型，根据等差数列求和公式可求得结果．【详解】由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列，设公差为d，则，记第一天共分发大米为（升），则前7天共分发大米（升）．故选：C．5．D【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．【详解】解：∵，∴直线与直线的斜率均存在∴直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应小于0，故B图象不符合；对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应大于0，故C图象不符合；对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在y轴上的截距应大于0，故D图象符合．故选：D．6．A【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律．【详解】因为，，所以，，；所以的周期为3，所以．故选：A．7．D【分析】由根与系数关系得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求．【详解】由题设，而．故选：D8．C【分析】由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可．【详解】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选：C．9．AC【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可．【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，当截距不为0时，设直线方程为，可得，∴，所以直线方程为，故选：AC．10．BD【分析】根据等差数列前n项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项．【详解】若为等比数列，设公比为q，，是的前n项和，设，当时，，，，，，不是等比数列，所以A选项错误；若为等差数列，是的前n项和，设公差为d，则，，，所以，，是等差数列，所以B选项正确；为等差数列，考虑，，，所以C选项错误；根据等比数列定义，数列，（且）的数列为等比数列，所以D选项正确．故选：BD11．AD【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案．【详解】设是样本空间，A选项，由于，，所以A与D是对立事件，A选项正确．B选项，由于“取出的2球中，一个黄球一个白球”，所以B与C不是互斥事件，B选项错误．C选项，由于“取出的2球中，恰好有1个白球”，所以C与E不是对立事件，C选项错误．D选项，由于，所以，所以D选项正确．故选：AD12．BCD【分析】A选项，根据求出通项公式，进而得到，单调递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确．【详解】A选项，当时，，又，所以，因为，则是递减数列，故A错误；B选项，由可得，故B正确；C选项，令，解得，故C正确；D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确．故选：BCD．13．（答案不唯一）【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答．【详解】直线的方向向量为，而，所以直线的一个法向量．故答案为：14．【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有1人命中的概率．【详解】记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为B事件，则，，，，因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B互为独立事件，那么，恰好有1人命中的概率．故答案为：．15．2【分析】根据等比数列的性质，得到，结合对数的运算性质，即可求解．【详解】在正项等比数列中，因为，可得，则．故答案为：2．16．【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式．【详解】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以所以．故答案为：17．得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案．【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥．由已知可得，，，，则，即，所以，，．故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，．18．（1），；（2）．【分析】（1）代入求，由可得；（2）由与的关系求数列通项公式．【详解】（1）因为数列的前n项和为，所以，则；（2）当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式．19．（1）（2）（3）【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．（2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．（3）由点斜式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案．【详解】（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为．（2）由截距式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为．（3）因为经过点，由点斜式方程可得：，化为一般式方程为．20．（1）证明见解析（2）【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；（2）利用裂项相消法求解即可．【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，得，即，所以数列是以1为公差的等差数列；（2），由（1）得，所以，则，所以．21．（1）证明见解析（2）【分析】（1）可利用直线经过的定点进行说明；（2）结合（1）的结论，只要直线的y轴上的截距大于0即可．【详解】（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线l一定经过第一象限．（2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在y轴上的截距大于0即可，而经过y轴上的点，则，