第03讲 3.3抛物线（解析版）2023-2024学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页第03讲3.3抛物线目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查抛物线定义理解 1题型二：重点考查利用抛物线定义求轨迹方程 3题型三：重点考查抛物线上点到定点距离及最值 5题型四：重点考查抛物线上点到焦点的距离和差最值 8题型五：重点考查抛物线焦半径公式 11题型六：重点考查求抛物线标准方程 15题型七：重点考查抛物线范围 17题型八：重点考查抛物线对称性 20题型一：重点考查抛物线定义理解典型例题1．（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（

）A． B． C． D．0【答案】B【详解】设，由抛物线方程化为，得焦点，准线，由抛物线定义可得，解得，故选：B.2．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为．【答案】【详解】抛物线焦点为，点在准线上，在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，

令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，于是，令，则，解得，所以点坐标为.故答案为：精练核心考点1．（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，利用抛物线定义可知.故选：A2．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【详解】因为点在抛物线上，，所以，所以，所以，所以，解得.故选：C

题型二：重点考查利用抛物线定义求轨迹方程典型例题1．（2023·全国·高二专题练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.2．（2023·全国·高二专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.求点M的轨迹方程；【答案】【详解】由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；3．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为；若动点M满足，则M的轨迹方程为.【答案】【详解】解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，设，，，因为动点满足，所以，即，，所以，，因为，所以，所以，即的轨迹方程为.故答案为：；.精练核心考点1．（2023·江西·校联考三模）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.2．（2023·全国·高二假期作业）已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.【答案】(1)；(2)，或【详解】（1）解：由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，因此动点的轨迹方程为.（2）解：设，由两点间的距离公式得：，当，即时，，即当或时，点与点的距离最小，最小值为.3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为.（2）动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.【答案】y2＝－8x或x2＝8yy2＝4x【详解】（1）易得直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上，且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y；综上：抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y.（2）设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹为抛物线，其中，故轨迹方程为y2＝4x.故答案为：y2＝－8x或x2＝8y；y2＝4x.题型三：重点考查抛物线上点到定点距离及最值典型例题1．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】由题意知，焦点为,当|MA|＋|MF|的值最小时，的周长最小.设点M在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知，因此的最小值即的最小值.根据平面几何的知识可得，当三点共线时，即可作准线于,与抛物线交于,此时三点共线，此时.又，所以周长的最小值为故选：B2．（2023·全国·高二假期作业）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=.故选：B.3．（2023·全国·高二课堂例题）已知点P在抛物线上，且，求的最小值．【答案】【详解】设点P的坐标为，则，而且，又因为，所以时，．因此所求最小值为.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【详解】由题意知，，设，则，所以，

故当时，，所以.故选：B.2．（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为．【答案】【详解】设点，则，当时，，此时点.故答案为：.3．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为，距离＝，【答案】【详解】设抛物线上任一点P的坐标为，则，则，因为，且在此区间上随着x的增大而增大，所以当x＝0时，取得最小值，最小值为，则的最小值为.故距离点A最近的点P的坐标为，距离是.故答案为：，题型四：重点考查抛物线上点到焦点的距离和差最值典型例题1．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】由抛物线可知其焦点为，准线方程为记抛物线的焦点为，

所以，当且仅当点在线段上时等号成立，所以的最小值为3．故选：A．2．（2023·四川成都·校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.

3．（2023秋·高二课时练习）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．【答案】；【详解】根据题意，作图如下，设点在其准线上的射影为，由抛物线的定义得，欲使取得最小值，就是使最小，，当且仅当三点共线时，等号成立.所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标，设点的横坐标为，为抛物线上的点，，点的坐标为.

精练核心考点1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于，由抛物线定义可知，所以，则当共线时取得最小值，所以最小值为．故选：B．2．（2023·江西九江·统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为．【答案】【详解】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，圆外一点到圆上点的距离满足，即；所以，当且仅当三点共线时，等号成立；即的最小值为．故答案为：3．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，则，若点在抛物线上，点，则的最小值为.【答案】【详解】抛物线的焦点为，可得，即，抛物线方程为，则抛物线的准线方程为，过作直线的垂线，垂足为，，则当三点共线时，取得最小值，且最小值为（即到准线的距离）.故答案为：；

题型五：重点考查抛物线焦半径公式典型例题1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】抛物线的焦点为，由重心的性质有，又由抛物线的定义知，同理可得，又因为，所以，故选：C．2．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可知,所以有，带入得，整理得，判别式恒成立，设，则易知，点为抛物线的焦点，所以当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为.故选：B3．（2023春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为【答案】【详解】设直线的方程为，由消去并化简得，，则①，，当时等号成立，所以②，由①②解得或，因为，所以，即到抛物线的准线的距离为.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·湖南长沙·高三湘府中学校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，准线为，点P为C上一点，过P作的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【详解】由题意，得，准线方程为，设准线与轴交于点K，，则，如图，因为AF的倾斜角为150°，所以，故，所以，故，解得，所以.故选：A.2．（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则.【答案】【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，，由，得，所以，由抛物线的定义得.故答案为：

3．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则.

【答案】10【详解】依题意，过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为，则，.因为，所以.由，得，故.故答案为：

题型六：重点考查求抛物线标准方程典型例题1．（2023秋·高二课时练习）已知动抛物线的准线为y轴，且经过点，求抛物线焦点的轨迹方程.【答案】【详解】由题可知，动抛物线的准线为y轴，且经过点设抛物线焦点为，则点到焦点的距离与到准线的距离相等,则,则,综上所述,抛物线焦点的轨迹方程为.2．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是.【答案】(1)，(2)，【详解】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且，因此所求标准方程为，准线方程为.（2）因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的标准方程具有的形式，而且因此，从而所求抛物线的标准方程是，准线方程为.2．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为抛物线焦点为在y轴的负半轴上，设焦准距为p，则，即.因此，所求抛物线的标准方程为.（2）由抛物线准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，即，因此，所求抛物线的标准方程为.题型七：重点考查抛物线范围典型例题1．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【详解】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．2．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是

A． B．C． D．【答案】D【详解】解：显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上．当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为，，其中，且，则其关于点的对称点为，，所以这个点在曲线上，所以，即，所以，即，此方程的的解必须刚好有且只有两个，当时，其对称点的横坐标刚好为，故，于是，且，，即，故选：．3．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是．【答案】【详解】由已知，，.如图，设点，则，，在中，有，易知，则，则，因为，，所以当时，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范围是.故答案为：.精练核心考点1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【详解】由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.故选：B.

2．（2023秋·高二课前预习）已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为.【答案】【详解】解：已知点在抛物线上，且为焦点，由定义知，，抛物线.设，由题意知，则，当时，取得最小值8，则的最小值为.故答案为：.3．（2023秋·高二课时练习）已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是．【答案】5【详解】设，则，，从而．因为点在抛物线上，所以，所以，当且仅当时取等号．故答案为：5题型八：重点考查抛物线对称性典型例题1．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，抛物线中时可得，且则，取（如图）

，,又对称性可知.故选；C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（

）A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【答案】A【详解】∵抛物线C：，即，由