专题06 整式乘法与因式分解单元过关（培优版）解析版

专题06整式乘法与因式分解单元过关（培优版）考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）下列运算正确的是（）A．x16÷xC．2a2+3【答案】B【分析】选项A根据同底数幂的除法法则判断，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项B根据幂的乘方运算法则判断，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据合并同类项法则判断，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项D根据同底数幂的乘法法则判断，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【详解】解：A.x16B.(aC.2aD.b3故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．2．（2023春·福建泉州·九年级统考学业考试）下列计算中，正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．a2+a3＝a5 D．a8÷a2＝a4【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法逐一计算可得．【详解】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；C．a2+a3，无法计算，故此选项不合题意；D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023·福建福州·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（

）A．xy3=xy3 B．a+a=a2【答案】C【分析】根据幂的运算、整式的加减的运算法则即可求解．【详解】A.xy3=B.a+a=2a，故错误；

C.b2⋅D.y3故选C．【点睛】此题主要考查整式的加减、幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．4．（2023·福建福州·八年级统考期中）若2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】利用多项式乘以多项式法则进行计算，再结合“2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项”得出6+2m＝0，然后求解即可得出答案．【详解】解：（2x2+m）（2x2+3）＝4x4+6x2+2mx2+3m，=4x4+(6+2m)x2+3m，∵2x2+m与2x2+3的乘积中不含x的二次项，∴6+2m＝0，∴m＝﹣3．故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式．多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．5．（2023春·七年级课时练习）x15÷xA．x5 B．x45 C．x12【答案】C【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可求解．【详解】解：x故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．6．（2023春·七年级单元测试）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【

】A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a【答案】B【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【详解】如图，设左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，∴阴影部分面积之差S=AE⋅AF-PC⋅CG=PC+4b-a∵S始终保持不变，∴3b﹣a=0，即a=3b．故选:B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2023·七年级统考课时练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2=（x﹣y）2+2x【答案】C【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A、2a2-2a+1=2a（a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x-y）=x2-y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x-y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．8．（2023·福建泉州·八年级校联考期中）已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方展开式，那么k的值是(

)A．20 B．10 C．±20 D．±10【答案】C【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据中间项为这两个数乘积二倍即可确定k的值．注意有两种情况.【详解】解：∵25x2+kxy+4y2=（5x）2+kxy+（2y）2是一个完全平方展开式，∴k＝±20．故选C．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，这是一种数值转换机的运算程序．若输入的数x=5，则经过2022次运行后，输出的数是（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】由图示知，当输入的数x为偶数时，输出12x，当输入的数x是奇数时，输出3x+1，按此规律，求出若输入的数为5，每次输出的数的规律，判断出第【详解】解：若输入的数为5，第1次输出15+1=16，第2次输出12第3次输出12第4次输出12第5次输出12第6次输出3+1=4，…，故从第3次输出开始，三个一循环，2022-2所以2022次输出的数为4；故选：C．【点睛】此题考查了代数式求值，找到输出数据呈周期性变化规律是解决本题的关键．10．（2023·福建厦门·八年级统考期末）下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3(m是整数)的因式的是A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1【答案】B【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；故选：B.【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023·福建·模拟预测）把3a2-6a+3【答案】3【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．【详解】解：3=3=3a-1故答案为：3a-1【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．12．（2023·福建泉州·八年级统考期末）计算：20192+【答案】1【分析】根据完全平方公式因式分解计算即可.【详解】原式20192+2020故答案为：1.【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．13．（2023·福建泉州·八年级校考阶段练习）若M=2+122+12【答案】6【分析】将原式转化成M=(2-1)2+1【详解】M==(2-1)=(=(=(=(=(=∵232∴M=2+122故答案为：6．【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．（2023·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：1+12×【答案】2-【详解】试题分析：把求值的式子乘以2×1-1解：原式=2×1-1=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2×1-=2-115．（2022秋·八年级课时练习）若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m=【答案】7或-1【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．16．（2023·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，边长分别为a，b(a>b)的两个正方形并排放在一起，当a-b=m，ab=n时，阴影部分的面积为【答案】1【分析】利用割补法把图形阴影部面积为：两个正方形面积减去两个三角形面积，用a、b表示出面积并化简，最后配成完全平方形式即可求解．【详解】解：∵两正方形面积和为：a2+三角形①面积为：12三角形②面积为：12∴S阴影=整理得S阴影∵当a-b=m，ab=n则S阴影故答案为：12【点睛】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用．此类题主要是应用几何图形的面积间等量的关系，来验证完全平方公式；或者通过完全平方公式求解几何图形的面积的问题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系,更需注意要根据所找到的规律做题．评卷人得分三、解答题17．（2023·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）计算：x2（x+3）﹣x（x2+2x﹣1）．【答案】x2+x【分析】先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：原式＝x3+3x2﹣x3﹣2x2+x＝x2+x．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项法则，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．18．（2023·福建福州·八年级福建省福州则徐中学校考阶段练习）已知x2+y2＝25，x+y＝7，求xy和x﹣y的值．【答案】12，±1【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可.【详解】解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴25＝72﹣2xy，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝25﹣2×12＝1，∴x﹣y＝±1．故答案为12，±1.【点睛】本题考查完全平方公式.19．（2023·福建泉州·八年级校考期末）（1）利用乘法公式计算：(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2（2）利用乘法公式计算：20162【答案】（1）-5a2+6ab-8b【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可；（2）利用平方差化简分母即可求解．【详解】（1）解：原式==b（2）解：2016===1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．20．（2022春·福建三明·七年级统考期中）先化简，再求值：2a+b2-2a+b2a-b÷【答案】2a+b，-1【分析】先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【详解】解：2a+b＝4＝4ab+2＝2a+b，当a=-14，b=-12时，原式＝2×（-14）＋（【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．21．（2022秋·八年级课时练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c，例如：因为23=8，所以（1）根据上述规定，填空：(3,27)=_____，(5,1)=_____；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，3n设3n,4n=x∴3x=4，即∴3请你尝试用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)【答案】（1）3,0；（2）证明见解析.【分析】（1）根据材料给出的信息，分别计算，即可得出答案；（2）设(3,4)=x，(3,5)=y，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案.【详解】（1）∵33∴(3,27)=3；∵50∴(5,1)=0；（2）设(3,4)=x，(3,5)=y，则3x=4，∴3x+y∴(3,20)=∴(3,4)+(3,5)=(3,20)．【点睛】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则.22．（2022秋·福建泉州·八年级福建省惠安第一中学校联考期中）已知：a+b=1，ab=-(1)求ab(2)求a2(3)若a-b=k2-2【答案】(1)-(2)17(3)k=【分析】（1）将代数式ab2+a2b用提公因式法因式分解为（2）将a2+b2变形为(a+b)2（3）类似的方法将(a-b)2变形为(a+b)2-4ab，代入计算后求出a-b的值，继而根据a-b=【详解】（1）解：∵a+b=1，ab=-15∴ab（2）解：∵a+b=1，ab=-15∴a=1-2(-=1+=17（3）解：∵(a-b)=1-4(-15∴a-b=±4当a-b=4时，k2-2=4，∵k为非负数，∴k=6当a-b=-4时，k2-2=-4，∴k=6【点睛】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．23．（2023·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40．（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．【答案】（1）﹣12；（2）6，2【分析】（1）利用配方法可得m2+2mn+n2＝16，再代入m2+n2＝40即可求mn的值．（2）根据m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，可得m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，代入m2+n2＝40，可得（m+n）2﹣2mn＝40，即k＝20﹣3（m+n），再根据m2﹣6m﹣n2+6n＝0可求m+n的值，代入即可求出k的值．【详解】解：（1）∵m+n＝﹣4，∴（m+n）2＝16，m2+2mn+n2＝16，∵m2+n2＝40，∴40+2mn＝16，∴mn＝﹣12；（2）∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，∵m2+n2＝40，∴（m+n）2﹣2mn＝40，∴k＝20﹣3（m+n），∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，则（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，∵m、n不相等，∴m+n＝6，∴k＝2．【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握配方法和代入法是解题的关键．24．（2022秋·福建泉州·八年级福建省南安第一中学校考阶段练习）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2原式=(x例如：求代数式x2原式=x∵(x+2)2∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：m2(2)求代数式x2(3)若y=-x2+2x-3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是(4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+【答案】(1)(m+1)(m-5)；(2)x2-6x+12的最小值是(3)1，大，-2(4)△ABC是等腰三角形．理由见解析【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；（2）凑成完全平方加一个数值的形式；（3）和（2）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式；（4）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判