人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)

【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计第5章三角函数5.1.1任意角和弧度制（任意角）5.1.2任意角和弧度制（弧度制）5.2.1三角函数的概念5.2.2三角函数的概念（同角三角函数的基本关系）5.3诱导公式5.4.1三角函数的图形与性质（正弦函数、余弦函数的图像）5.4.2三角函数的图形与性质（正弦函数、余弦函数的性质）5.5.1三角恒等变换（两角和与差的正弦、余弦和正切公式）5.5.2三角恒等变换（简单的三角恒等变换）5.6函数y=Asin（ωx＋φ）5.7三角函数的应用本章综合与测试

5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了～，但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到～范围内的角.但是现实生活中随处可见超出～范围的角.例如体操中有“前空翻转体”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2)作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得BC，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．题型三任意角终边位置的确定和表示例3(1)若α是第一象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、三象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B(2)①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【解析】(1)因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)为第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第三象限角．所以eq\f(α,2)是第一、三象限角．(2)①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角nα或αn(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.1.15.1.1任意角1任意角例1例2例32.象限角3.终边相同的角七、作业课本171页练习及175页习题5.11、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.

5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1．1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算零负数正数零负数正数3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0ππeq\f(π,3)eq\f(π,2)2π3π5ππeq\f(3π,2)2π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝αr．(2)扇形面积公式：S＝12lr＝1四、典例分析、举一反三题型一角度制与弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.【答案】（1）－eq\f(5π,2)rad；(2)18°；(3)－240°；(4)eq\f(5π,8)rad.【解析】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).【答案】（1）eq\f(π,9)rad；（2）－eq\f(π,12)rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝eq\f(20π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－eq\f(15π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7π,12)rad＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.题型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))；（2）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))；（3）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).解题技巧：(表示角的集合注意事项)1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)如题图②，以OA为终边的角为eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)|α|r2和S＝eq\f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为()A.480cm B.240cm C.【答案】C【解析】:80°=π180×80=4π又r=6cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π32、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.【答案】12π-93【解析】S扇形AOB=12×120π180×S△AOB=12×6×6×sin60°=93故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-93.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.1.25.1.2弧度制1.弧度制例1例2例32.弧度制与角度制转化3.扇形弧长与面积公式七、作业课本175页练习及175页习题5.1.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.

5.2.1《三角函数的概念》教案教材分析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第3课时，这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象(概括)层次。它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。教学目标与核心素养：课程目标：A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；B.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；D.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。学科素养：1.数学抽象：三角函数的定义；2.逻辑推理：三角函数概念的推导过程；3.数学运算：根据定义求三角函数值；4.直观想象：三角函数定义的推导。教学重难点：1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。课前准备：多媒体教学过程：一、复习回顾，温故知新1.1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角角度制与弧度制的换算：【答案】关于扇形的公式【答案】4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？【答案】二、探索新知探究一.角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P。当时，点P的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？【答案】当时，点P的坐标为。当时，点P的坐标为。当时，点P的坐标为。探究二：一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？【答案】点P的横、纵坐标都能唯一确定。1.任意角的三角函数定义设角它的终边与单位圆交于点。那么（1）是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangentfunction)正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为。与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？【答案】都相等例1.求的正弦、余弦和正切值.变式：把角改为呢？【答案】如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证：探究四.1.根据三角函数的定义，确定三角函数的定义域。三角函数定义域RR2.确定三角函数值在各象限的符号。口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。求证：角为第三象限角的充要条件是.【答案】见教材思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一），其中，。作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.例4确定下列三角函数值的符号：例5求下列三角函数值：三、达标检测1．sin(－315°)的值是()A．－eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tanα的值为()A．1 B．－1C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)【答案】B【解析】由三角函数定义知tanα＝eq\f(－1,1)＝－1.3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝eq\f(1,5)，则sinβ＝________.【答案】－eq\f(1,5)【解析】设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，由题意知y＝sinα＝eq\f(1,5)，所以sinβ＝－y＝－eq\f(1,5).4．求值：(1)sin180°＋cos90°＋tan0°.(2)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4))).【解析】(1)sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0.(2)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).四、小结1.内容总结①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.方法总结运用了定义法、公式法、数形结合法解题.体现的数学思想化归的思想，数形结合的思想.五、作业习题5.21.（1）、（2）2题教学反思：任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论(与点的位置的选取无关)后，首先提供“坐标系”作为脚手架，引发学生的认知冲突一“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数?”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角(认识研究方法的变化，以及符号表示的变化0-2范围内的角(认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化)不同象限下终边相同的角(逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程)。锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是家当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。

5.2.2《三角函数的概念---同角三角函数的基本关系》教案教材分析：本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。教学目标与核心素养：课程目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．数学学科素养1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理：“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明教学重难点：重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2eq\f(π,19)＋cos2eq\f(π,19)＝1等．四、典例分析、举一反三题型一应用同角三角函数关系求值例1(1)若，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．【答案】(1)当α是第三象限角时，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝.α是第四象限角时，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝-(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\f(15,17)，tanα＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，sinα＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).【解析】(1)∵sinα＝－eq\f(3,5)，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角时，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝.α是第四象限角时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝-(2)∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练一1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【答案】角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).题型二三角函数式的化简、求值例2(1)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)若角α是第二象限角，化简：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).【答案】（1）1；（2）-1.【解析】(1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(－cosα,sinα)＝－1.解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练二1．化简：(1)eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；(2)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1).【答案】(1)1；(2)cosθ.【解析】(1)原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(cosθsinθ－cosθ,sinθ－cosθ)＝cosθ.题型三三角函数式的证明例3求证：.【答案】见解析【解析】解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练三1．求证：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).【答案】见解析【解析】证明：右边＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左边，∴原等式成立．题型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系例4已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【答案】(1)－eq\f(12,25)；(2)eq\f(7,5).【解析】证明：(1)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即sinαcosα＝－eq\f(12,25).(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵0＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).解题方法（“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系）1、已知sinθ±cosθ求sinθcosθ，只需平方便可．2、已知sinθcosθ求sinθ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sinθ±cosθ的正负．跟踪训练四1.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝．2.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.1、【答案】－eq\f(12,5).【解析】法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).2.【答案】（1）eq\f(8,9)；(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.（1）法一(换元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系例3例4例1例2七、作业课本184页练习及184页习题5.2.教学反思：学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学生感到困难，经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。

5.3《诱导公式》教案教材分析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第5课时。本节主要是推导诱导公式二、三、四、五、六,并利用它们解决一些求值、化简、证明三角恒等式。本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题。在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+a角为第一研究对象,a角为第二研究对象,正是化归思想的运用。课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角,学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习。教学目标与核心素养：课程目标：A.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式；B.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题；C.了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想。学科素养：1.数学抽象：利用单位圆找不同角的关系；2.逻辑推理：诱导公式的推导；3.数学运算：有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。教学重难点：1.教学重点：诱导公式的记忆、理解、运用；2.教学难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断。课前准备：多媒体教学过程：复习回顾，温故知新1.任意角三角函数的定义【答案】设角它的终边与单位圆交于点。那么（1）2.诱导公式一，其中，。终边相同的角的同一三角函数值相等二、探索新知思考1：（1）.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?【答案】相等（2）.角-α与α的终边有何位置关系?【答案】终边关于x轴对称（3）.角与α的终边有何位置关系?【答案】终边关于y轴对称（4）.角与α的终边有何位置关系?【答案】终边关于原点对称思考2：已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?【答案】点P(x,y)关于原点对称点P1(-x,-y)点P(x,y)关于x轴对称点P2(x,-y)点P(x,y)关于y轴对称点P3(-x,y)探究一如图，角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？角π+与角的终边关于原点O对称，，（公式二）sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，tan(π+)=tan。探究二角与的三角函数值之间有什么关系角与角的终边关于x轴对称，有。。（公式三）sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan。探究三根据上两组公式的推导，你能否推导出角与角的三角函数值之间的关系？角与角的终边关于轴对称，故有所以，（公式二）sin(π-)=sin，cos(π-)=cos，tan(π-)=-tan。思考3：这四个诱导公式有什么规律？的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．总结为一句话：函数名不变，符号看象限。例1.求下列三角函数值(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2040°).活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=.思考4：通过例题，你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗？利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.例2.化简：解析见教材探究四作P（x,y)关于直线的对称点P1,以OP1为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？，，公式五探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么结论？。，公式六思考5：你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？【答案】的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.思考6：诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？【答案】口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀的意义：证明：。解析见教材例4化简解析见教材例5已知，且，求的值。解析见教材三、达标检测1．下列各式不正确的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．【答案】B2．sin600°的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)【解析】sin600°＝sin(720°－120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).故选D．【答案】D3．cos1030°＝()A．cos50° B．－cos50°C．sin50° D．－sin50°【解析】cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.【答案】A4．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三角限角 D．第四象限角【解析】由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．【答案】B5．已知sinφ＝eq\f(6,11)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)的值.【解】∵sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)＝eq\f(6,11)＋sin(π－φ)＝eq\f(6,11)＋sinφ＝eq\f(12,11).四、小结1.诱导公式；2.诱导公式的记忆；3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。五、作业习题5.34,6题教学反思：对本节内容在进行教学设计之前,本人反复阅读了课程标准和教材,针对教材的内容,精心编排了导学精要,让学生亲历知识发生、发展的过程,积极投入到思维活动中来,通过与学生的互动交流,关注学生的思维发展,在逐渐展开中,引导学生用己学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展,收到了一定的预期效果,尤其是练习的处理,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,感受“观察—一归纳—一概括一一应用”等环节,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力,充分发挥了学生的主体作用,也提高了学生主体的合作意识,达到了设计中所预想的目标然而还有一些缺憾:对本节内容,难度不高,本人认为,教师的干预(讲解)还是太多。在以后的教学中,对于一些较简单的内容,应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化,教学理念、教学模式、教学内容等教学因素,都在不断更新,作为数学教师要更新教学观念,从学生的全面发展来设计课堂教学，关注管学生个性和潜能的发展,使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己,让自己的课堂更有效。

5.4.1《三角函数的图形与性质---正弦函数、余弦函数的图像》教案教材分析：由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．教学目标与核心素养：课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.教学重难点：重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．正弦曲线、余弦曲线(1)定义：正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图步骤：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10cosx10－101(2)描点：画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0)．；画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，(eq\f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq\f(3π,2)，0)，(2π，1)．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可．四、典例分析、举一反三题型一作正弦函数、余弦函数的简图例1画出下列函数的简图(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】(1)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．图1(2)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．图2解题技巧：（简单三角函数图像画法）1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.跟踪训练一1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．【答案】见解析．【解析】按三个关键点列表：x0eq\f(π,2)πsinx010y＝|sinx|010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)．图32.在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))在区间[0，π]上的图象．【答案】见解析．【解析】列表取点如下：x0eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)π2x＋eq\f(π,4)eq\f(π,4)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(9π,4)f(x)10－eq\r(2)0eq\r(2)1描点连线作出函数f(x)＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π,4))在区间[0，π]上的图象如图5所示．图4图5题型二正弦函数、余弦函数图象的简单应用例2求函数f(x)＝lgsinx＋eq\r(16－x2)的定义域.【答案】见解析.【解析】由题意，得x满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>0，,16－x2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4，,sinx>0，))作出y＝sinx的图象，如图所示.结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).例3在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数.【答案】见解析.【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示.由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个解题技巧：(正弦函数、余弦函数图象的简单应用)1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练二1.函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为_________________________________.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.【解析】由题意知，自变量x应满足2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f(1,2).由y＝sinx在[0,2π]的图象，可知eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5,6)π，又有y＝sinx的周期性，可得y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.2.若函数f(x)＝sinx－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.【答案】m∈(－1，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，0).【解析】由题意可知，sinx－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sinx＝2m＋1有两个根.可转化为y＝sinx与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.由y＝sinx图象可知：－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，解得－1＜m＜0，且m≠－eq\f(1,2).∴m∈(－1，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，0).五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.4.1正弦函数、余弦函数的图像5.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.正弦曲线例1例2例32.余弦曲线3.五点作图七、作业课本200页练习，213习题5.4第1题.教学反思：本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．

5.4.2《三角函数的图形与性质---正弦函数、余弦函数的性质》教材分析：本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.教学目标与核心素养：课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题.数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.教学重难点：重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：一、情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1.周期函数、周期、最小正周期等的含义？2.怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3.通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.四、典例分析、举一反三题型一正、余弦函数的周期性例1求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(QUOTE13),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.【答案】(1)2π；(2)π；(3)4π；(4)π.【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cosx的最小正周期为2π.(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正周期为π.解题技巧：（求函数最