专题04 一元二次方程的应用（八大类型）（题型专练）（解析版）

专题04一元二次方程的应用（八大类型）【题型1一元二次方程应用-变化率】【题型2一元二次方程应用-传染问题】【题型3一元二次方程应用-分支问题】【题型4一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】【题型5一元二次方程应用-销售问题】【题型6一元二次方程应用-每每问题】【题型7一元二次方程应用-几何面积问题】【题型8一元二次方程应用-几何动态问题】【题型1一元二次方程应用-变化率】1．（2023春•鄞州区期中）某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64【答案】B【解答】解：根据题意，得100（1﹣x）2＝64，故选：B．2．（2023•东莞市校级一模）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．25（1+x）2＝64 B．25（1+x2）＝64 C．64（1﹣x）2＝25 D．64（1﹣x2）＝25【答案】A【解答】解：设游客每月的平均增长率为x，依题意，得：25（1+x）2＝64．故选：A．3.（2021·松北期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【答案】C【解答】一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x2）=196．故答案为：C．4．（2023•沭阳县模拟）某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是．【答案】20%．【解答】解：设平均每次的降价百分率是x，依题意得：75（1﹣x）2＝48，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），∴平均每次的降价百分率为20%．故答案为：20%．5.（2022秋•确山县期中）2022年是中国共产党建党101周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年8月份该基地接待参观人数10万人，10月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计11月份的参观人数能否突破13.5万人？【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．13.31＜13.5，∴11月份的参观人数不能突破13.5万人．答：11月份的参观人数不能突破13.5万人．6．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【题型2一元二次方程应用-分支问题】7．（2022秋•青川县期末）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．故选：B．8．（2022秋•澄海区期末）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【答案】9．【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合题意，舍去），答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9．【题型3一元二次方程应用-传染问题】9．（2022春•南谯区校级期中）新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人【答案】B【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝196，解得：x＝13或x＝﹣15（舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了13个人．故选：B．10．（2023•兴庆区校级一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故选：D．11．（2022秋•沈丘县月考）若有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感（这2个人在第二轮传染中仍有传染性），则每轮传染中平均一个人传染人．【答案】4．【解答】2解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，依题意得2+2x+x（2+2x）＝50，∴x＝4或x＝﹣6（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染了4个人，故答案为：4．12．（2023•城关区一模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．【答案】见试题解答内容【解答】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．平均一人传染12人．故答案为：12．13.（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被感染，根据题意得：1+x+x（1+x）＝196，整理得：（1+x）2＝196，解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了13个人14．（2022秋•甘井子区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【答案】（1）11人；（2）1728人．【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x＝144，x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．答：平均一人传染11人．（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：144+11×144＝1728（人），答：经过三轮传染后患上流感的人数为1728人．【题型4一元二次方程应用-比赛问题及迁移运用】15．（2023•东莞市二模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：设共有x支队人伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比寒，故选：D．16.（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，依题意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：C．17.（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解答】解：设该校八年级有x个班级，依题意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．故选：A．18．（2023•惠东县一模）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有参赛队伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：C．19．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，x（x﹣1）＝66，整理，得x2﹣x﹣132＝0解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）则参加这次会议的有12人．故选：C．20．（2022秋•南平期中）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有（）名同学．A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，则x（x﹣1）＝182，整理得：x2﹣x﹣182＝0，解得x1＝﹣13（不合题意舍去），x2＝14．故全组共有14名同学．故选：C．21．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是人．【答案】5．【解答】解：设这次会议到会的人数是x人，根据题意得：x（x﹣1）＝10，整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去），∴这次会议到会的人数是5人．故答案为：5．22．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有支球队．【答案】4．【解答】解：设该小组有x支球队，根据题意得：x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），∴该小组有4支球队．故答案为：4．23．（2023春•安徽月考）网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为人．【答案】12．【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．故答案为：12．24．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有人．【答案】9．【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴该小组共有9人．故答案为：9．25．（2023春•肇源县月考）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，全班有多少名学生？【答案】全班有41名学生．【解答】解：设全班有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）＝1640，解得x＝﹣40（舍去）或x＝41，答：全班有41名学生．26．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？【答案】共有10支队参加比赛．【解答】解：设有x队参加比赛．依题意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：共有10支队参加比赛．【题型5一元二次方程应用-销售问题】27．（2023春•盐都区月考）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．（1）该商品的进价是多少？（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？【答案】（1）该商品的进价是20元；（2）该商店需将商品的售价定为30元或40元．【解答】解：（1）设该商品的进价是m元，依题意得：500m＝30000﹣20000，解得：m＝20．答：该商品的进价是20元．（2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，整理得：x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40．答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．28．（2023•西乡塘区校级模拟）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：销售单价x（元）202530销售量y（件）200150100（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；（2）应将销售单价定为22元．【解答】解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b，根据题意可得：，解得：，故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；（2）根据题意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，整理得：x2﹣50x+616＝0，（x﹣28）（x﹣22）＝0，解得：x1＝28（不合题意，舍去），x2＝22，答：应将销售单价定为22元．29．（2023•福田区校级二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商场以20元/台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若物价局规定，产品的利润率不得超过60%，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得150元利润，销售单价应定为多少？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）销售单价定为25元时，每天获利150元．【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由图可知，直线y＝kx+b经过点（25，30）和点（35，10），则有：，解得：，即函数关系式为：y＝﹣2x+80；（2）根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为：20×（1+60%）＝32元，根据题意有：（x﹣20）y＝150，将y＝﹣2x+80代入（x﹣20）y＝150中，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得x1＝25，x2＝35，∵价格不得超过32元，∴x＝25，即售价应该定为25元．30．（2023•中山市一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）这种干果每千克应降价12元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．答：这种干果每千克应降价12元．31．（2022秋•九龙坡区期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元．（1）该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；（2）在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．【答案】（1）20%；（2）．【解答】解：（1）设图书店每次降价的百分率为x，由题意得：15（1﹣x）2＝9.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意舍去），答：图书店每次降价的百分率为20%；（2）国庆节的总利润为：500×（9.6﹣8）＝800（元），国庆节后的进货量为：500（1+3a%）本，进货价为：8×（1+a%）售价为：15×0.8＝12（元），由题意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，解得：a%＝或a%＝0（不符合题意舍去），∴a%＝，答：a%的值为．32．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？【答案】（1）20%；（2）该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．【解答】解：（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，根据题意得：62.5（1﹣x）2＝40，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．答：该小家电出厂价平均每年下调的百分率为20%；（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，根据题意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，解得：y1＝65，y2＝75，当y＝65时，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合题意，舍去；当y＝75时，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合题意．答：该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．33．（2023•桂林一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：售价x（元/件）80828486…销售量y（件）500490480470…（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+900；（2）90元．【解答】解：（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），将x＝80，y＝500和x＝82，y＝490代入，得，解得，∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣5x+900；（2）根据题意，得（x﹣70）（﹣5x+900）﹣800＝8200，解得x1＝160，x2＝90，∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，∴x＝90，答：该产品的售价每件应定为90元．34．（2022秋•通川区期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．【答案】（1）每套A型健身器材年平均下降率为20%；（2）总费用最少为180万元．【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤115.2，解得：m≥40．∴B型健身器材最少可购买40套，此时A型需要40套．则：40×2.5+40×2＝180（万元）．35．（2023•抚州一模）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：销售单价x（元/千克）40455560销售量y（千克）80705040（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）80千克．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，整理得：x2﹣110x+2800＝0，解得：x1＝40，x2＝70．又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，∴x＝40，∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．答：每天的销售量应为80千克．36．（2022春•莱芜区期末）某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）25元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．（2）依题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．又∵要让利消费者，∴x＝25．答：销售价应定为每千克25元．【题型6一元二次方程应用-每每问题】37．（2023春•沙坪坝区校级月考）将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300【答案】D【解答】解：根据题意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．故选：D．38．（2023•朝阳二模）世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．【答案】0.2元或0.05元．【解答】解：设每张书签应降价x元，则每张的销售利润为（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）张，根据题意得：（0.5﹣x）（500+×200）＝270，整理得：100x2﹣25x+1＝0，解得：x1＝0.2，x1＝0.05．答：每张书签应降价0.2元或0.05元．39．（2023春•鄞州区校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？（2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？【答案】（1）13200元；（2）40元．【解答】解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120﹣x）（100+2x），当x＝10时，（120﹣x）（100+2x）＝110×120＝13200元；（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，（120﹣x）（100+2x）＝14400，整理得x2﹣70x+1200＝0，解得x1＝30，x2＝40；∵尽可能地清理库存，∴x＝40答：每箱应降价40元，可使每天销售饮料获利14400元．40．（2023•张店区一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？【答案】（1）20%；（2）38元．【解答】解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意，得400（1+x）2＝576，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；（2）设这种台灯售价应定为m元，根据题意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，解得m1＝38，m2＝80，∵售价在35元至40元范围内，∴m＝38，答：这种台灯售价应定为38元．41.（2022秋•东明县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）个，依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，整理得：x2﹣36x+128＝0，解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）答：每个“冰墩墩”应降价4元．42．（2022秋•龙岗区期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）A款保温杯B款保温杯进货价（元/个）3528销售价（元/个）5040（1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数．（2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？【答案】（1）购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；（2）将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元．【解答】解：（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，依题意得：，解得，答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个；（2）设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，∵经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，∴平均每天可售出个，依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36，答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元．43．（2023春•长沙期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】（1）A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．【解答】解：（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，由题意得：，解得，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）设购进A种苹果m件，则购进B种苹果（80﹣m）件，由题意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，设利润为w元，则w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w随m的增大额增大，∴当m＝40时，w最大值＝2×40+960＝1040．故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天利润为（12﹣a），由题意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵为了尽快减少库存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．44．（2023春•北仑区期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）当商品降价5元时，商品获利4250元．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元【题型7一元二次方程应用-几何面积问题】45．（2023春•温州期中）如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100【答案】B【解答】解：设道路的宽x米，则32x+20x＝100+x2．32x+20x﹣x2＝100．故选：B．46.（2023•两江新区一模）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750【答案】B【解答】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，且绿化带的宽度为x米，∴被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形．根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．故选：B．47．（2023春•涡阳县期中）如图，长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，现在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，且在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为（10﹣2x）cm，宽为（8﹣2x）cm的长方形．根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合题意，舍去），∴x的值为2．故选：A．48．（2023春•永嘉县校级期中）如图，在高3m，宽4m的长方形墙面上有一块长方形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有宽度为x（m）的空白墙面．若长方形装饰板的面积为4m2，则以下方程正确的是（）​A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4【答案】B【解答】解：根据题意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，故选：B．49．（2023•碑林区校级模拟）如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？【答案】长方形硬纸板的宽为20cm．【解答】解：设长方形硬纸板的宽为xcm，根据题意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：长方形硬纸板的宽为20cm．50．（2022秋•城固县期末）如图，现有一块长11cm，宽7cm的长方形硬纸板，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（图中阴影部分）做成一个底面积为21cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【答案】剪去的小正方形的边长为2cm．【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，由题意得，（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，解得x＝2（不合题意的值舍去），∴剪去的小正方形的边长为2cm．51．（2023春•包河区校级月考）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？【答案】矩形场地的长为30米，宽为16米【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为米，由题意得：，∴，∴x2﹣62x+960＝0，∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，解得：x＝30或x＝32（舍去），∴，∴矩形场地的长为30米，宽为16米．52．（2023•政和县模拟）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为（30﹣3x）米（用含x的代数式表示）；（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由见详解．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案为：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由题意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程无解，∴矩形ABCD的面积不能为80m2．53．（2022秋•从化区期末）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB长度不限），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm，矩形面积为ym2．（1）矩形面积y＝﹣2x2+20x（用含x的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长．（3）能否围成面积为60m2矩形动物场？说明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由见解析．【解答】解：（1）根据题意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案为：﹣2x2+20x；（2）根据题意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墙AB长度不限，∴CD边的长为4m或6m；（3）不能，理由如下：根据题意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程没有实数根，∴不能围成面积为60m2矩形动物场．【题型8一元二次方程应用-几何动态问题】54．（2022秋•舞钢市期中）如图，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，动点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向B运动，动点F从C出发，以2cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．3s B．s C．3s或s D．2.5s【答案】C【解答】解：过点E作EM⊥CD于点M，如图所示．当运动时间为ts时，AE＝3tcm，CF＝2tcm，EM＝8cm，∴MF＝|AB﹣AE﹣CF|＝|21﹣5t|cm．根据题意得：82+（21﹣5t）2＝102，整理得：5t2﹣42t+81＝0，解得：t1＝3，t2＝，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是3s或s．故选：C．55.（2022•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s【答案】A【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．故选：A．56.（2022•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？【答案】1.2s或3s【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝CA＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP＝2t，AQ＝6﹣t，当∠APQ＝90°时，AP＝AQ，即2t＝（6﹣t），解得t＝1.2，当∠AQP＝90°时，AQ＝AP，即6﹣t＝×2t，解得t＝3，所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；57．（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．【答案】（1）△PQB的面积不能等于9cm2，理由见解析；（2）1s或4秒后，四边形APQC的面积等于16cm2．【解答】解：（1）△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：∵5÷1＝5s，8÷2＝4s，∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，根据题意可得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，假设△PQB的面积等于9cm2，则，整理得：t2﹣5t+9＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，∴所列方程没有实数根，∴△PQB的面积不能等于9cm2；（2）由（1）得：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，∵四边形APQC的面积等