第3讲12.3 角的平分线的性质（原卷版）

12.3角平分线的性质（原卷版）一、学习目标1.掌握角平分线的尺规作图的方法，知道作法的理论依据。能理解角平分线与三角形的角平分线的区别与联系2.探索并证明角平分线的性质与判定定理（高频考点，难点）3.能用角平分线的性质与判定定理解决问题（高频考点，难点）4.通过三角形的角平分线，了解三角形中三条角平分线交于一点的事实（高频考点，难点）5.掌握命题的一般步骤二、新知解读知识点1角平分线的尺规作图典例1在平行四边形ABCD中，用尺规作图画∠BAD的角平分线（不用写过程，留下作图痕迹），交DC于点H，若BC＝6，DH＝2HC，求平行四边形ABCD的周长．知识点2角平分线的性质典例2如图，在△ABC中，C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝3，AB＝10，则S△ABD＝．知识点3命题的证明典例3-1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高．求证：BD＝CE．典例3-2投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F．求证：PE＝PF．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之间作补充，下列正确的是（）A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵∠OPE＝∠OPF” C．应补充：“又OE＝OF，OP＝OP” D．应补充：“又OP＝OP”知识点4角平分线的判定典例4如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．三、易错预警易错点：在应用角平分线的性质时由于漏掉条件而出错。易错题如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，点F是射线OB上一个动点，若PE＝2，则PF的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4四、题型梳理题型1角平分线性质的一般应用方法点拨：点在角平分线上，得垂线段相等，从而求线段的和差、周长、面积，以及作为证明全等的条件典例1如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°．针对训练1．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．5cm B．6cm C．9cm D．不能确定2．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD＝5，△ABC的周长为50，求△ABC的面积．题型2角平分线性质的实际应用方法点拨：利用角平分线的性质去确定符合条件的点的位置典例2为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处针对训练1．如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．题型3角平分线判定定理的应用方法点拨：做垂直，证相等，根据角平分线的判定定理得角平分线典例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB．若CD＝3，AB＝10，△ABD的面积为15，AD是∠BAC的角平分线吗？请说明理由．针对训练1．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积求证：OP平分∠AOD．题型四角平分线的性质与判定的综合运用方法点拨：利用角平分线的性质和判定定理去解决线段相等或角相等的问题，不必再去证明两个三角形全等，有时需要添加辅助线，过角平分线上的点向角的两边作垂线段，将符合性质定理的基本图形构造出来。典例4如图，BP，CP都是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN．针对训练1．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．题型5角平分线在探究题中的应用此类题灵活性较强，一般是将角平分线的性质定理和三角形全等综合使用，用于探究线段间的数量关系或者等积变形等问题典例5在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．针对训练1．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．五、重点题型重点题型——利用角平分线的性质解决面积问题方法点拨：1.三角形三条角分线的交点到三边的距离相等，链接这个交点与各个顶点，讲角平分线的交点到三边的距离转化为三个小三角形的高2.登高三角形的面积等于底边长的比典例角平分线上的点到角两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有何妙用呢？阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝BC•r+AC•r+AB•r＝（a+b+c）•r，∴r＝（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于O点，如图（2），各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求点O到四边的距离r；（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝BC＝13，对角线BD＝20，点O1与O2分别为△ABD与△BCD的三条角平分线的交点，设它们到各自三角形三边的距离为r1和r2，求的值．针对训练1．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．六、考向预测考点1角平分线的性质考情分析：与教材第56页第12题考点相同，中考中考查利用角平分线的性质证明或计算，题型以选择题、填空题为主，难度中等。典例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，AC＝2，DE＝1，则△ACD的面积为（）A．2 B．1 C．4 D．3考点2角平分线的判定考情分析：和教材第55页第5题考点相同，中考中考查通过角平分线的判定方法进行判定，进而计算角度。题型以选择题、填空题为主，难度中等典例2如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．最新考法——三角形的面积与周长的关系方法点拨：角平分线的性质与垂直相关，进而联想到三角形的边长那个、高于面积或周长之间的关系。预测题如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1七、提优训练（一）夯实双基1．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为．2．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．143．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE＝DC．求证：AD＝BD．4．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例，（二）提高能力5．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．7．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则△ABE的面积＝（直接写出结果，不需要过程