人教版高数必修二第5讲：空间中的平行关系

空间中的平行关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________了解直线和平面的三种位置关系；理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握直线与平面平行的性质定理；理解并掌握平面与平面平行的性质定理．一、直线与平面的位置关系位置关系交点个数图形语言符号语言直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行直线和平面平行1.定义：如果一条直线和一个平面________，那么这条直线与这个平面平行．2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线面平行．3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．”3.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这______________．推理模式特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线线平行．3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．”三、平面和平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点有一条公共直线符号表示图形表示四、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：．简言之：线面平行面面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________．推理模式：．简言之：面面平行线线平行特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段_________．类型一线面平行例1：b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交练习1：(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多有一个公共点练习2：点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情形都有可能练习3：在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有________条．例2：(2014江西丰城三中高一期末测试)如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.练习1：((2014·山东济南一中月考)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.练习2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点，求证：C1O∥平面AB1D1.例3：已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，求证a∥b.练习1：三个平面α、β、γ两两相交，有三条交线l1、l2、l3，如果l1∥l2.求证：l3与l1、l2平行．练习2:如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD∥MN.类型二平面与平面平行例3：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()A．0 B．1C．2 D．3例4：将已知：平面α∥平面β，AB、CD是夹在这两个平面之间的线段，且点E、G分别为AB、CD的中点，AB不平行于CD，如图所示．练习1：知平面α、β、γ，α∥β∥γ，异面直线l、m分别与平面α、β、γ相交于A、B、C和D、E、F.求证：eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).练习2：若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a∥α，则b⊂α或b∥α2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．43．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则MN与平面BDC的位置关系是________．5．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（）A、都垂直于B、内存在不共线的三点到的距离相等C、是内两条直线，且D、是两条异面直线，且6.有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α、β、γ分别表示平面，a、b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a∥α，则b⊂α或b∥α2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．43．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．能力提升6．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线7.已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β()A．只能作一个 B．至少有一个C．不存在 D．至多有一个8.已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，