2022年新高考数学基础考点第07讲 导数的概念和几何意义(基础训练)(解析版)

第07讲导数的概念和几何意义

【基础训练】

一、单选题

1.若函数y=『(x)在x=xo处可导，则lim，(日广")一/&一〃)等于()

/ioh

A.f'(xo)B.2f\m)C.~2f\xo)D.0

【答案】B

【分析】

转化为］im"x。+')一了("。)+lim"x。—")―/(/),然后根据导数的定义得解.

/TOhT?->O—h

【详解】

/ioh

=lini/(X。+/?)一/(X。)+/(X。)一/(X。—h)

>oh

_,.f^+h)-f(x)+f(x)-f(x-h)

-iim0000

20h

=lim/(x°+”)—/(Xo)+lim/(X。j)7(Xo)

hT。h-hT°—h

/(x0+Ax)-/(x0)/(x0+Ar)-/(x0)

=lim--------------4-----------+lim--------------4--------

——°AJT&t-»oAY

=21伍)

故选B.

2.如图，函数y=/(x)在口，5］上的平均变化率为()

11

A.—B.----C.2D.—2

22

【答案】B

【分析】

根据平均变化率的定义字='㈤'㈤计算即得・

♦.Vx2-%）

【详解】

Q45）7⑴———1

嬴—一rn-—5-1一2'

故选B.

3.若函数“X）可导，则妈里嘿2%等于（）

A.-2r⑴B.力⑴c.-|r（i）D.

Z乙咱

【答案】C

【分析】

根据导函数的定义得lim川+（_A、）］_&=f（I）,根据

AX->O-AX

lim/（13-/⑴=_llim川+（3）］-/⑴,即可求出结果.

&»-->（）2Ax2——Ax

【详解】

.J3生」lim+=.

Ax->o2AX2A—o-Ax2

故选：C.

4.已知曲线y=xlnx,若/'（玉））=2,则/=（）

In2-,,

2

A.eB.eC.D.］n2

【答案】B

【分析】

先求出函数的导数，根据已知即可求出•

【详解】

由y=xlnx可得y0=lnx+1,

则/'(Xo)=lnxo+1=2,解得/=e.

故选：B.

5.已知函数〃力=/+以，若血贝ija=()

△XTOAX

A.36B.12C.4D.2

【答案】c

【分析】

根据函数在X。处的导数的定义将］im/(2心°―/(一6")变形为

△XT。Ax

3lim/3x)-/(-△［=3/⑼即可求解.

23Ax、)

【详解】

解：根据题意，/(X)=X4+OX,则/'(xbdd+Q,则/〈0)=々，

厂］./(2Ax)-/(-△%)

右lim-----------------=12，则

△”。△%

lim但上止生1=3lim/STS)=3/(。)=12，

△xfOAJCAxfO3Ax

则有3a=12,即a=4,

故选：C.

6.若函数y=/(x)的图象在点(2,/(2))处的切线方程是y=x-l,则/⑵+八2)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

由切点在切线上可得，可得/(2)=2-1=1,根据导数的儿何意义，导数值就是该点处的切线的斜率

尸(2)=1,即可得解.

【详解】

函数y=于(X)的图象在点(2,/(2))处的切线方程是y=x-\,

可得/(2)=2-1=1,/'⑵=1,

则/⑵+.(⑵=2.

故选：B.

7.已知函数〃x)=(x-l)(x-2)(x—3),则曲线y=〃x)在点(2,0)处的切线方程为()

A.y-x+2B.y=-x+2C.y-x-2D.y=-x-2

【答案】B

【分析】

求得函数f(x)的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)=(x-2)[(x-l)(x-3)],

可得/'(x)=(x—l)(x—3)+(x—2)[(x—l)(x—2)丫,

所以曲线y=/(x)在点(2,0)处切线的斜率为k=/'(2)=-1,

所以切线方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2.

故选：B.

/X

8.函数/(x)=《--2e,图像的切线斜率为鼠则Z的最小值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】

根据导数的几何意义，结合配方法进行求解即可.

【详解】

出

/(尤)=2e*nf(x)=*-2ex=>k=(e'-l)2-l，

当d=1时，即当x=0时，%有最小值，最小值为一1，

故选：B

9.曲线/5)=2/一产在(0,/(0))处的切线方程为()

A.y=x+lB.y=x-l

C.y=-x+lD.y--x-\

【答案】D

【分析】

求导可得/'(幻=4%-^,代入犬=0,可求得切线斜率k,又/(0)=-1,代入点斜式方程，即可求得答案.

【详解】

由题意得：f\x)=4x-ex,

所以切线的斜率左=f'(0)=-1,又/(0)=-1,

所以切线方程为：y-(-l)=-(-x-O),即y=-x—1.

故选：D

10.若直线y=gx+6是函数/(x)的一条切线，则函数/(x)不可能是()

A./(x)=evB./(x)=x4C./(x)=sinxD./(x)

【答案】D

【分析】

由导数的几何意义知：若切点为(X。,%)则/'(%)=g，结合各选项的导数确定是否存在切点.

【详解】

由题设知：若切点为(为,为),则/'(豌)=；，

1

1

一

一-

A：/(%)=/2

B：r(/)=4£

C：f'(x0)=cosx0=—,有=2ZTT±5(ZeZ)；

*,,、11

D：/(%)=-^=彳，显然无解.

/2

故选：D.

11.函数於)=犬3-7/+而&-4)的图象在点(4,/(4))处的切线斜率为()

【答案】C

【分析】

根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】

因为尸（X）=3X2/4X+COS（X-4）,所以所求切线的斜率为/'（4）=3x16-14x4+1=-7.

故选：C

12.曲线y=ei—2sin（5x）在点（1,—1）处的切线方程为（）

A.x-y=OB.ex—y-e+l=O

C.ex—y-e-l=OD.x-y-2=0

【答案】D

【分析】

根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】

因为y=e*T-2sin（］x）,所以y'=一JTCOS（］x）,当x=l时，y'=l，所以曲线丁=e*T-2sinf|'X）

在点（1,一1）处的切线的斜率&=1,所以所求切线方程为y+l=x-l,即x—y-2=0.

故选：D

13.已知函数“X）的图象如下所示，/'（X）为"X）的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）

A.r(xj</"(x2)B.f(x,)>f(x2)

C.f(x,)<f(x2)<0D./(%,)>/'(与)>。

【答案】B

【分析】

利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断广（为）与/（々）、/（西）与/（々），及其与o的大小关系.

【详解】

,,

由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：/（xl）＞/（x2）＞0,而/（玉）＜0＜/（々），

故选：B.

14.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移力（单位：m）

关于时间：（单位：s）的函数关系式为〃“）=—尸一27+弓，则〃'«）的实际意义是（）

A.汽车刹车后1S内的位移B.汽车刹车后1S内的平均速度

C.汽车刹车后1S时的瞬时速度D.汽车刹车后1S时的瞬时加速度

【答案】C

【分析】

根据导数的物理意义判断.

【详解】

由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.

故选：C.

15.函数〃力=V-7/+1的图象在点（4,7（4））处的切线的斜率为（）.

A.—8B.—7C.6D.—5

【答案】A

【分析】

利用导数的几何意义求解即可

【详解】

解：由/（x）=V-7/+1,得/（x）=3f-14x,则/（4）=3x42-14x4=-8,

所以函数=d-7d+l的图象在点（4,7（4））处的切线的斜率为-8,

故选：A

16.设直线/是曲线/（x）="+cosx在点（0,2）处的切线，则直线/与文轴,），轴围成的三角形面积为（）

A.2B.1C.—D.4

2

【答案】A

【分析】

利用导数的几何意义求出切线方程，再求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可得结果.

【详解】

因为f（^）=ex+cosx,所以/'（无）="-sinx,

所以r（0）=e°—sin0=l,

所以直线/的方程为V—2=》-0,即y=x+2,

令x=0,得y=2,令y=0,得*=一2,

所以直线/与x轴，y轴围成的三角形面积为gx2x2=2.

故选：A

17.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（/SMCNew3，1643-1727）在《流数法》一

书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解.如图，方程/（x）=0的根就是函数/（x）的零点r,

取初始值4处的切线与x轴的交点为七，/（x）在西的切线与x轴的交点为々，一直这样下去，得到七,

百，％…，与，它们越来越接近，.若%=2,则用牛顿法得到的「的近似值々约为（）

B.1.417D.1.375

【答案】B

【分析】

利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得乙.

【详解】

/（X）=X2-2,/（X）=2X,

42）=4-2=2,/（2）=4,在点（2,2）的切线方程为丁—2=4（%一2）,令y=0解得玉=j

3J_的切线方程为y—；=313

3,在点

254

令y=0解得々=1.417.

故选：B

18.函数/。）=/一7炉+1的图象在点（4,7（4））处的切线斜率为（）

A.-8B.-7C.-6D.-5

【答案】A

【分析】

利用导数求得切线的斜率.

【详解】

因为/'（X）=3x2-14x,所以所求切线的斜率为/'（4）=3x16-14x4=-8.

故选：A

19.曲线y=2x-d在％=一1处的切线方程为（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0

C.x-y+2=0D.x-y-2=Q

【答案】A

【分析】

利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】

x=—l时，y=-2+l=-l,故切点为（一1,一1）,

y=2-3x2,当x=—1时，y=2-3=—1>

所以切线方程为y+l=-l（x+l）,即x+y+2=0.

故选：A

20.一质点的运动方程为S=*+]0,其中s的单位是米，，的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是

（）

A.4米/秒B.6米/秒C.8米/秒D.10米/秒

【答案】c

【分析】

根据导数求瞬时速度.

【详解】

S'=2t,当，=4时，S'=8,即物体在4秒末的瞬时速度是8米/秒.

故选：C

21.已知曲线G：/（x）=e*+a和曲线G:8（6=m（%+份+。2（。,匕€11）,若存在斜率为1的直线与G，

C2同时相切，则b的取值范围是（）

A.-j,+ooIB.[0,+oo）C.（F,l]9

D.-00,—

4.

【答案】D

【分析】

分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出

切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得。与4的关系式，再根据二次函数性质可求出匕

的取值范围.

【详解】

r（x）=e\腔（x）=S，设斜率为1的切线在G，上的切点横坐标分别为王，工2，

X1八

由题知？'=---7=11，，玉=0，%=1-6,

x2+b

两点处的切线方程分别为＞一（1+。）=工和y-/=%一。一。），

（1丫99

故。+1=。2-1+人，即人=2+。一。2=—a——.

I2；44

故选：D.

22.已知点尸（。,。）是曲线C：），=；■?_；/+]上的点，曲线。在点p处的切线平行于直线6x-3y-7=0,

则实数a的值为（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

【答案】A

【分析】

求出导函数并把X=。代入令其值等于2可求得。可得答案.

【详解】

=—x3——X2+1,

32

.，2

•.y-x-x,

曲线C在点P处的切线平行于直线6x-3y-7=0,

2

结合题意得：y'\x=a=a-a=2,

解得：4=2或。=一1,

当a=2时，ZJ=-X23--X22+1=-,

323

切点坐标为（2,1）,代入6x2—3x3—7=0,所以不合题意，舍去,

b=；x(T)3_gx(_l)2+]=]_

当。二一1时,

6

切点坐标为,代入6x(-1)—3X」—7H0,

6

故选：A.

23.曲线y=2cosx+sinx在（肛-2）处的切线方程为（）

A.x-y+7r—2=0B.x-y—万+2=0

C.x+y+%-2=0D.x+y—4+2=0

【答案】D

【分析】

先求得导函数，根据切点求得斜线的斜率，再由点斜式即可求得方程.

【详解】

y'=-2sinx+cosx

当工=4时，左=-2sin»+cos；T=-l

所以在点（乃，一2）处的切线方程，由点斜式可得y+2=—lx（x—4）

化简可得X+>-"+2=0

故选:D

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法,属于基础题.

24.设曲线=和曲线g(x)=cosm+c在它们的公共点"(0,2)处有相同的切线，则

h+c-a的值为()

A.0B.1

C.-2D.3

【答案】D

【分析】

利用导数的几何意义可知/'(o)=g'(0),可求得a；根据M(0,2)为两曲线公共点可构造方程求得b,c,

代入可得结果.

【详解】

•：f\x)=aex,g,(x)=--^sin^,/,(0)=a,g<0)=0,，a=0，

又"(0,2)为与g(x)公共点，.•./(0)=b=2,g(0)=l+c=2,解得:c=l,

Z?+c—a=2+l—0=3.

故选：D.

25.己知aeR,设函数/(幻="一111了+1的图象在点(1,八1))处的切线为/,则/过定点()

A.(0,2)B.(1,0)C.(l,a+l)D.(e,l)

【答案】A

【分析】

根据导数儿何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解

【详解】

由/(x)=ax—lnx+ln/'(x)=a--,/'(l)=a-l,/(l)=a+l,故过(1,7(D)处的切线方程为：

y=(4—l)(x-l)+a+l=(a-l)x+2,故/过定点(0,2)

故选：A

【点睛】

本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题

26.若函数/(x)=Inx+x与g(x)=生士的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+1平行,

x-l

则实数"?=()

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

【答案】A

【分析】

设函数〃%)=lnx+x图象上切点为(%，为)，求出函数的导函数，根据/'(%)=2求出切点坐标与切线方

程，设函数g(x)=^¥的图象上的切点为q，x)(x尸1),根据g'(%)=2,得到根=2#一4%+4,

X-1

八2x,-m

再由2x「l=_=,即可求出国，从而得解：

玉-1

【详解】

解：设函数〃x)=lnx+x图象上切点为(%,%),因为/*)=工+1,所以尸(%)='+1=2,得%=1,

X冗0

所以为=/(/)=/(1)=1，所以切线方程为y-l=2(x-l),即y=2x-l,设函数g(x)=在二/的图象

X-Y

上的切点为(芭，因为g'(x)=2。])一；?一机)=,所以8，(玉)=产今=2,即

(x-1)-U-1)-Ui-1)

加=2x；-4X1+4,又必=2%|-IngOiXNl1~即相=-2x；+5X|-1,所以

2x；—4%]+4=—2x「+5Xj—1,即4x；—9%+5=0,解得玉=1或西=1(舍)，所以

c(5丫5,17

m=2x--4x—+4=—.

⑷48

故选：A

27.曲线/(x)=<2¥—无Inx在点处的切线与直线x+y=0垂直，则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】

求得了(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得。的方程，解方程可得所求值.

【详解】

解：f{x}=ax-xlnx的导数为/'(*)=。-1一/公，

可得在点(1,7(1))处的切线的斜率为k=/'(1)=,

由切线与直线x+y=O垂直，可得=

解得Q=2,

故选：D.

28.已知定义在(0,+力)上的函数“X)满足/(«)=lnx-or,若曲线y=/(力在点处的切

线斜率为2,则/(1)=()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】

先由换元法求出了(X)的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出。的值，然后可得出/(1)的值.

【详解】

2

设/=«，则/(。=21型一。产，/'«)=—-2at.

由/'(1)=2—2a=2,解得a=。,从而=—a=0,

故选:C.

29.设函数=一%,则f(x)在(1,0)处的切线斜率为()

A.0B.2C.3D.1

【答案】B

【分析】

先求解出尸(力，然后计算出r⑴的值即为在(i,o)处的切线斜率.

【详解】

因为(1,0)在“X)图象上且/'(x)=3%2-I,所以/，⑴=3一1=2,

所以/(可在(1,0)处的切线斜率为2，

故选：B.

30.抛物线C:/=4y的焦点为凡准线为/,斜率为2的直线机与抛物线C切于一点A,与准线/交于点

B,则AAB尸的面积为（）

25

A.15B.—

2

257

C.—D.一

42

【答案】C

【分析】

结合导数求得切线方程，进而求得3点坐标，从而求得三角形A5户的面积.

【详解】

设切点A（毛,%）,则y'=gx,y'Lf=（/=2=Xo=4,%=4,可求切线为y=2%一4,

则由「，得8不一1,切线与y轴的交点为C（0,-4）,故

3=-1（2）

°o°I„I31525

S4ABF=5AAFC-5ACBf=2X5X4-2X5X2=10-"T=

故选：C

31.若曲线/（X）=f+Xhu在点（1,7（1））处的切线与直线%-@+1=0平行，则实数。的值为（）

11

A.-B.—C.1D.2

32

【答案】A

【分析】

求导/，(x)=2x+l+lnx,进而得到了'(1)=3,然后根据/(x)在点(1,/(1))处的切线与直线

x—ay+l=0平行求解.

【详解】

因为/(x)=f+xlnx,

所以r(x)=2x+l+lnx,

所以/'(1)=3,

因为/(x)在点(1,/(1))处的切线与直线x-ay+1=0平行，

所以二3,

a

解得a=L

3

故选：A

32.韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程

c

G？+笈2+6+d=0(。工0)的3个实数根为玉，X2,X3,则芯+超十七=一一,+尤2工3+工3%=—，

aa

中2%,=-].已知函数/(力=2%3—%+1,直线/与/(x)的图象相切于点尸■，/(%)),且交/(X)的图

象于另一点°(々，./■(£))，则()

A.2X]—々=0B.2内一%2—1—0

C.2玉+々+1=0D.2x(+x2=0

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义求切线的斜率，再由切线上的两点求斜率，建立方程求解即可.

【详解】

/(])=6%2—1,

/.k=r(玉)=6Xj2-1,

乂直线过点°（工2，/（%2）），

：.k=A%）T（%）=2%3-233+内一々=2（/2+尤/+X：）—1

x2-x}x2—x]

2（/2++x「）—1—6%12—1,

2XX-

化简得X2+122x；=0,

即（龙2+2%）（工2—X]）=0，

,・•％W/，

.，.x2+2xl=0,

故选：D

33.函数f（x）=d—sinx的图象的切线斜率可能为（）

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】D

【分析】

对函数求导可得r（犬）＞-i,进而可得结果.

【详解】

因为（x）=3f—cosxN-cosxN-l（当x=0时等号成立），

所以切线的斜率可能为-1,

故选：D.

3

34.已知函数/（"=必-"+ja的图象在点A（1J（1））处的切线与直线/:x—3y+2=0垂直，则

/（x）=（）

■■75V

A.x2+5x-3B.x-§x+l

C.x2—5x+3D.x2+x—1

3

【答案】C

【分析】

根据切点处导数的几何含义，结合直线垂直可得/'。)=-3,即可求参数“，进而写出

【详解】

由题设知，f'(x)=2x-a,

••・函数的图象在A0J。))处的切线与直线/：x—3y+2=0垂直,

.•./'(1)=2-"=1=一3,解得口=5，

3

:./(JC)=X2-5X+3.

故选：C.

’5%，近'，处的切线方程为(

35.函数/1(x)=2x+cos2x的图象在点

、运.

.5万百八一包+立=0

A.x-y-\--------=0B.x-y-

122122

5万百包+叵=0

C.X+yH--------=0D.x+y-

12242

【答案】A

【分析】

由函数解析式可得了'(x)=2—2sin2x、/(一),进而求『'("),即可写出—二处的切线方

【详解】

由解析式知：/'(x)=2-2sin2x,则(生)=2—2sin2=1,

126

而/哈)5457c57rV3

——+cos——=-------

6662

,r5乃，51处的切线方程为"一浮*日…冷亭

・••在——，于

(12

日n5兀八

即x-yd--------=0.

122

故选：A.

36.已知函数〃x)="—史—4+a,若曲线y=/(x)在点伍"伍))处与直线y=0相切，则。=()

A.1B.0C.-1D.-1或1

【答案】C

【分析】

求出了'(x),由题意可得了'修)=0,/伍)=0,解方程即可求解.

【详解】

由f(x\=ex—+a,

XX

、x1-lnx1xInx

贝I"'(x)=靖———+—=e+—,

XXX

•••曲线y=.f(x)在点(上/(。))处与直线y=o相切，

则/'e)=0,即e%+罕=0,

…、卜,In/71,1

所以e"•/?=-----=一•In—,

bbh

两边同时取以©为底的对数，可得In(Z.Z?)=lnQ-ln：J,

B|JIneb+ln0=ln"+ln「n：J,

所以Z7+ln〃=ln』+lnhn』］,

b\h)

设g(x)=x+lnx,^r(x)=l+—>0,

函数在((),+8)上单调递增，

所以b=In—,即Z?=—lnb,

b

又/(。)=。，所以/(〃)=/—度—」+a=0,

bb

解得a=-l.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了导数的几何意义，解题的关键是通过构造函数得出人=-In力，考查了数学运算能

力.

37.飞轮在制动后的，秒钟时间内转过的角的大小伙弧度）可由函数eQ）=6r-0.5/来模拟，则飞轮从开始

制动到完全停止转动所需的时间（单位：秒）为（）（注：瞬时角速度0（。="。））

A.6B.8C.9D.12

【答案】A

【分析】

根据瞬时速度&Q）=。'什）=0即可得结果.

【详解】

由夕«）=6，—0.5*,得完全停止转动即瞬时速度0（7）=。'"）=6—r=0,解得，=6,

即轮从开始制动到完全停止转动所需的时间为6秒，

故选：A.

38.已知直线/与曲线y=/+inx相切，则下列直线不可能与/平行的是（）

A.y=3x-lB.y=1x+\

C.y—y/2x-1D.y=2y/2x+1

【答案】C

【分析】

利用曲线在某点的导函数值为曲线在该点的切线方程的斜率.对曲线求导，根据导函数的取值范围即可得出

切线斜率的取值范围.即可选出答案.

【详解】

y=2x+-..2V2,（x>0）,即直线/的斜率上..20，故直线y=&x-l不可能与/平行，故选C

x

【点睛】

本题考查曲线的切线方程.属于基础题.熟练掌握函数的求导公式是解本题的基础.

39.己知函数“X）的导函数/'（X）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）

y

A.x=l是/（x）的极值点B.导函数尸（x）在x=-l处取得极小值

C.函数“X）在区间（—2,3）上单调递减D.导函数/'（X）在x=0处的切线斜率大于零

【答案】A

【分析】

由/“（X）图象知/（x）在（0,2）上单调递减，知A错误；

/'（X）在（一2,-1）上单调递减，在（-L1）上单调递增，由极值的定义知B正确；

由/'（x）W0在（―2,3）上恒成立可知C正确；

由/的单调性和在％=0处切线斜率不等于零可知D正确.

【详解】

对于A,由图象可知：当xe（0,2）时，/'（%）40恒成立，在（0,2）上单调递减，

.•“=1不是/（%）的极值点，A错误；

对于B,由图象可知：f'（x）在（一2,—1）上单调递减，在上单调递增，

."'（X）在尤=一1处取得极小值,B正确；

对于C,由图象可知:当x«—2,3）时,/'（力、0恒成立，；./（同在（一23）上单调递减,

/（x）在（—2,3）上单调递减，c正确；

对于D,（尤）在（-1,1）上单调递增，.•._T（x"0在（-1,1）上恒成立;

又由图象可知：f'（x）在X=O处的切线斜率不等于零，即/"（0）/0,

/'(X)在x=0处的切线斜率大于零，D正确.

故选：A.

40.己知函数y=/(x)的图象如图所示，f(x)是函数,f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.2/'(2)</(4)—/⑵<2/(4)

B.2r(4)<2/⑵</(4)一/⑵

C.2r(2)<2/(4)</(4)-/(2)

D./(4)-/(2)<2/(4)<2/(2)

【答案】A

【分析】

由函数/,(x)的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象切线斜率的变化情况，判断/‘(X)的增减性，最

后根据函数的凸凹性进行判断，从而得出结论.

【详解】

解：由函数f(x)的图象知，当了>0时，/0)单调递增，

/(4)-/(2)>0,

；函数图象切线斜率逐渐增大，

.•./'(X)单调递增，

尸⑵<尸(4),

二2尸(2)<2/(4),

■■■/0)〈弋、⑵<广(4),

.•.2/,(2)</(4)-/(2)<2//(4),

故选：A.

二、多选题

41.已知函数/(x)=V-办+1的图象在x=2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是()

A.a=3B./'(X)在x=—l处取得极大值

C.当xc(—2,1］时，/(x)e(-l,3］D.〃x)的图象关于点(0,1)中心对称

【答案】ABD

【分析】

A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判

断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令g(x)=%3-x,则〃x)=g(x)+l,即可确定对称

中心.

【详解】

A：/f(x)=3x2-a,由题意/'(2)=12—a=9,得a=3’正确；

B：/'(x)=3(x—l)(x+l),由/«x)=0得：x=—1或1，易知在(—「I),(1,-HX))±/^X)>0,/(X)

为增函数，在(一1,1)上用x)<0,为减函数，所以“X)在％=-1处取得极大值，正确；

C：由B知：/(-2)=-1,/(-1)=3,/(1)=-1，故在(一2,1］匕的值域为［-1,3］,错误；

D：令g(x)=V一无且为奇函数，则/(x)=g(x)+l,而g(x)图象关于(0,0)中心对称,所以“X)关

丁(0,1)中心对称，正确；

故选：ABD.

42.直线y=2x+m能作为下列函数图象的切线的有()

A./(x)=-B./(x)=%4

C./(x)=sinxD./(x)=eA

【答案】BD

【分析】

分别求得各个函数的导数，若f\x)=2有解，则直线y=2x+m能作为该函数图象的切线，若f'(x)=2无解，

则不满足题意，即可得答案.

【详解】

对于A：/'(x)=—4<0,故无论x取何值，/(X)不可能等于2,故A错误；

X

对于B：/<x)=4?,令/(X)=4/=2,解得x=所以直线y=2x+机能作为该函数图象的切线;

对于C：/'(x)=cosxe[—1,1],故无论x取何值，/'(无)不可能等于2,故C错误；

对于D：f(x)=ex,令e*=2，解得x=ln2,所以直线y=2x+m能作为该函数图象的切线:

故选：BD

43.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r

是/(x)=0的根，选取与作为r的初始近似值，过点毛))作曲线丁=/(幻的切线

/：丁一/(%))=/(%)(工一%)，则/与x轴的交点的横坐标西=/一答2(1(七)声。)，称王是r的一

次近似值；过点(不，/(%))作曲线y=/(x)的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为股，称也是r的二

犬系尸(土)工0),称加

次近似值；重复以上过程，得，•的近似值序列，其中X,用是r的〃+1

次近似值，这种求方程/(x)=0近似解的方法称为牛顿迭代法,若使用该方法求方程f=2的近似解，则

17

A.若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为乜

12

17

B.若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为二

/(X。)_/(%)_/㈤_/(七)

7U)-7W~7U)-7U)

、Y-X/(，。)।♦(%)/(—)/(♦)

).=X-----------:7H7777­*77

nf'Mf'Mf'Mf'M

【答案】ABC

【分析】

构造函数/(x)=f-2,并求得导数，然后按照题干的定义依次代值计算结合排除法可得结果.

【详解】

构造函数/(%)=/一2,则尸(x)=2x,

fM,1-23

取初始近似值%=1,则%=/一务々=1一丁T=w，

./(%)2x12

2.

乙217

%,=花一半［=3生==一，则A正确;

•f'M22x312

2

2-2

cfMc4-23〃不)3幺r="，则8正

取初始近似值%=2,则为不，々

J(%o)2x22广㈤22x312

2

确;

(x)

根据题意，可知/一/片(%言0)，％=不一/'下(%]岩)，&=%一f片/2，％=吃一下淆，上述四式相

力n徨Y-X/(*0)/(*1)/(“2)./(*3)

加’得z7T荷一事一行一可’

则。不正确，C正确，

故选：ABC.

44.已知函数/5)=小川，则下列说法正确的是()

A.函数/(X)在(0,+8)上单调递增

B.函数f(x)是奇函数

C.函数/(x)有两个零点

D.曲线〃x)在原点处的切线方程为＞=*

【答案】AD

【分析】

通过导数与。的关系，可判断A；直接根据奇函数的定义即可判断B；通过函数图象的大致形状可判断C；

根据导数的几何意义可判断D.

【详解】

f'(x)=(x+l)ex+i,令/'(x)>0,解得x>-l,令/'(x)<0,解得x<T,

所以函数“X)在上单调递减，在(—1,+^)上单调递增，所以选项A正确；

/(-x)=-xe-v+l所以函数不是奇函数，选项8错误；

当4>0时,/(%)>o:当％=0时,/(%)=o；当x<o时，y(x)<o,又画出函数/(X)

的大致图象如图，可知函数/(X)只有一个零点，所以选项C错误：

易知/'(0)=e,所以曲线f(x)在原点处的切线方程为>=选项D正确.

故选：AD.

45.直线y=x+b可以作为下列函数图象的切线的有()

1Inxa,

A.y=—+xB.y=---C.y=-x+xD.y-er-x

xx

【答案】BD

【分析】

根据导数的几何意义，判断选项中的导数y'=i是否有解，即可判断选项.

【详解】

因为y=x+b的斜率为1,根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1.

A.y'=—二+1=1,无解，故A不正确；

X

B.y=-―止^=1,解得：x=1,故B正确；

x

C.y--3x2+2x=1,即3%2-2X+1=0，/<0，无解，故C不正确；

D.y'