概率论课件第二章第3讲2.3(第三讲)

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例解向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数X的分布函数为HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY则称

X为连续型随机变量,称

f(x)

为X的概率密度函数，简称为概率密度

.有,使得对任意实数

,

对于随机变量

X,如果存在非负可积函数

f(x),

连续型随机变量的分布函数在上连续定义HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYxf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY密度函数的性质①②③有④在的连续点处有①②是密度函数的本质特征？,几何意义如下在x轴上方,f(x)下方图形面积为1③的几何意义等于曲边梯形面积④设

是的连续点,由上述性质有则当充分小时，有注解：近似于小矩形面积HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY同时得以下计算公式HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY问题设

为连续型

为任意常数,问？注对于连续型r.v

有问题设

为连续型为任意常数,则那么是否是不可能事件？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有若X为离散型随机变量,连续型离散型HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY解例计算概率设

的密度函数为①②①确定常数并求

的分布函数②的分布函数是HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例解HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例设随机变量X的概率密度为现对X进行n次独立重复观测，以Y表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y的分布律．解事件“观测值不大于0.1”，即事件{X

0.1}的概率由题意Y服从B(n，0.01)，于是Y的分布律为HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY故有解(1)因为X是连续型随机变量,HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYHENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例随机变量X

的概率密度为12/1/202312/1/202312/1/2023几种重要的连续型随机变量（一）均匀分布如果

的密度函数为则称服从区间上的记为均匀分布①②注故

的确是密度函数的图形③有即

落在中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即

在区间上“等可能取值”问若为常数,则？其它HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY三段木棒能构成

将长度为2l的木棒任意截为两段,求这两段木棒与另一长度为

l

的木棒能构成三角形的概率.设截下的两段木棒长度分别故三段木棒能构成△的概率为解则例HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．例解因为随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，所以X的概率密度为事件“对X的观测值大于3”的概率为设Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数，HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY越大曲线越平（二）指数分布如果

的密度函数为则称服从参数为的记为指数分布①②注故

的确是密度函数的图形下方面积为1③的分布函数为HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例指数分布通常用来描述“寿命”的分布电子元件的寿命；生物的寿命；电话的通话时间；机器的修理时间；营业员为顾客提供的服务时间；······指数分布广泛应用于可靠性理论和排队论指数分布密度函数参数的意义θ指数分布实际背景de中参数表示平均寿命称为失效率HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY指数分布的重要性质--无记忆性设考虑概率如果已知寿命长于年,则再活年的可能性与年龄无关！即指数分布是“永sts说明什么？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例5

设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

X的分布函数为解HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY指数分布的重要性质:“无记忆性”.HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY（三）正态分布如果

的密度函数为其中参数则称服从参数为的正态分布,记为正态分布密度函数的性质①②故

确是密度函数HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY正态分布密度函数的性质④③,即关于对称当时当时在处取极大值⑤即曲线以

轴为渐近线

关于对称中间高，两头低样子像座“山”当参数发生变化时,曲线会发生怎样的变化?问,图形向右平移,形状不变小大大小,图形向左平移,形状不变小大,图形变平坦大小,图形变尖锐HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY自然界许多指标都服从或近似服从正态分布

成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等例一个班的某门课程的考试成绩例海浪的高度例一个地区的日耗电量例各种测量的误差例炮弹弹着点例一个地区的家庭年收入例正态分布实际背景deHENANPOLYTECHNICUNIVERSITY服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫“正态”分布正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态

(normal)”的分布.

正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时的到的，故正态分布也称为高斯分布.问题？问题？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYOx-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678这是什么曲线?高尔顿钉板试验HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY其概率密度和分布函数分别为可查附表2求的值特别当

时,称为标准正态分布,记为HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY解例6

HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY练习题：1.函数当D=(),f(x)可以成为一个连续型随机变量的概率密度.12/1/20232.随机变量X的密度函数是(1)0.25(2)0.5(3)1(4)2则常数A=()3.任何一个连续型随机变量的概率密度函数f(x)一定满足（）(4)f(x)在定义域内单调不减12/1/20234.设ξ服从θ=9的指数分布,则=（）5.设随机变量,则（）12/1/20236.设随机变量ξ服从正态分布,其概率密度函数的最大值为（）(1)0；(2)1；(3);(4)12/1/20237.设随机变量X的密度函数f(x)为12/1/20238.设连续型随机变量X的分布函数求:(1)密度函数f(x);(2)9.设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A,B,C,D的值;(2)X的密度函数;12/1/202310.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数为求: