也“从一道高考题的课堂探究说起”

也“从一道高考题的课堂探究说起”福州华侨中学李文明问题提出文[1]作者在高三复习时，给学生出了一道高考题（2005年高考湖南卷理科第10题）设点P是△ABC内任意一点，表示△ABC的面积，,定义，若点G是△ABC的重心，且，则（）A.点P在△GAB内B.点P在△GBC内C.点P在△GCA内D.点P与点G重合并在课堂上对问题进行探究，得出8个结论，问题探究得“红红火火”，什么“不甘示弱”，什么“热烈掌声”，什么“淋漓尽致”，什么“意犹未尽”等等，但是笔者仔细研读，总有“人造景观”之感，为什么文[1]中三个图形画的如此那般，点P的位置到底如何确定的？始终是似是而非，这真是教学的场景吗？为什么解决问题时不是直指问题本身，而是先从“课本”里找根据，这样的“经验主义”的解题模式，更像是老师所为，因为老师‘武艺’高强，遇到“新问题”，联想“旧问题”，往往是先“外围强攻”；却忽略了“堡垒”往往从内部攻破的通俗战略，导致问题的“探究”脱离了问题的数学本质的“正轨”！问题探究问题的探究从何入手，是解决问题的关键，对于“创新试题”的解决没有固定的“套路”和“模式”，考生思维水平和思想方法决定了解题过程或易或难，解题时间或长或短，解题效率或高或低；这正是命题专家在“选择题”上大胆创新，以此考查考生的分析问题和解决问题的能力的目的所在。数形结合——分析定位由于,如图1所示△PAC与△GAC面积相等，且△PAB面积小于△GAB面积△PBC面积大于△GBC面积，所以点P在△GAB内部（2）数形结合——几何定位由于，所以,过点G作GP∥CA交AB于E，则，如图2所示（3）数形结合——分类定位根据题意，，=1\*GB3①当时，点P与△ABC重心G重合；=2\*GB3②当，且，则GP平行于所对应的分子三角形与△ABC的公共边；点P在中较小的分子所对应的三角形所在的重心G与△ABC的边连成的三角形内部。如点P在△GBC内部=3\*GB3③当，则点P在的分子所对应的三角形与△ABC公共边的中线上。如点P在GC上；=4\*GB3④当时，点P在对应的分子三角形所在的△ABC的重心G与边连成的三角形内部；如点P在△GCA的内部（4）数形结合——解析定位建立如图所示的平面直角坐标系设,直线AB方程为；直线AC方程为点P，A到直线CB的距离的比为,点P，B到直线AC的距离的比为点P，C到直线AB的距离的比为,所以……（1）……（2）……（3）由（1），（2），（3）得至此。我们建立了三角形面积定比分点坐标与定比比值的一一对应关系，即由此可见，对于给定的三角形（顶点位置已知），面积定比分点坐标由定比比值唯一确定，与重心位置无关，原高考题之所以给出重心，是便于探究点P的相对位置，使创新试题保持合理梯度，有利于充分发挥检测考生思维能力的不同层次，同时也展现了高考命题专家对考生的人文关怀，其实我们也可以根据点P的位置，判断点P到三角形的三边的距离，进而判断其相对位置。对于2005年高考湖南第10题，我们设由，点P到直线AB的距离为，显然点P距离边AB最近，若给出重心G的位置，则点P在△GAB内部！如图3所示寻根溯源（2004年全国高中数学联赛题第4题）设O在△ABC内部，且有，则△ABC与△AOC的面积比是（）B.D.由此不难发现2005年高考湖南卷理科第10题的是将“陈题”2004年全国高中数学联赛题第4题进行改造所得对于2005年高考湖南理科第10题我们有如下的结论结论1若点P是△ABC内一点，且满足,则有证明：（构造法）如图4作辅助△’G为其重心，分别在GA’、GB’、GC’的延长线上截取A，B，C使得GA=GA’,GB=GB’，GC=6GC’，所以，因此G与P重合，所以故同理可证结论2若点P是△ABC内一点，且满足,则有根据上述结论，我们很容易得到2004年全国高中数学联赛第4题答案：如图5所示构造辅助△AB’C’，其重心为O，取OB’中点为B，OC= 则△ABC符合题设条件纵向联想可得结论3若点P是锐角△ABC的外心，则,结论4若点P是△ABC的内心，则,横向类比可得结论5若点P是四面体V—ABC内一点，且满足则有结论6若点P是四面体V—ABC内切球的球心，则问题启示数学探究应该从学生的最近发展区出发，从所要解决的问题出发，经过敏锐的思考和探究，精心的计算和求证，合理的类比与猜想，不但要解决问题本身，更重要是理解问题的本质所在，不搞