人教版高数选修23第1讲：计数原理

计数原理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.1.分类计数原理与分步计数原理(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法注意：eq\o\ac(○,1)分类计数原理又称为加法原理；eq\o\ac(○,2)弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；eq\o\ac(○,3)解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；eq\o\ac(○,4)每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).(2)分步计数原理:完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.注意：eq\o\ac(○,1)分步计数原理又称为乘法原理；eq\o\ac(○,2)弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；eq\o\ac(○,3)解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；eq\o\ac(○,4)每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.2.分类计数原理和分步计数原理的区别辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。类型一分类计数原理例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种 [答案]Ｃ[解析]只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（）种 种 种 种[答案]A[解析]按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.类型二分步计数原理例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？[解析]从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N=3×2=6.练习1：有四名同学同时参加了学校的100m,800m,1500m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有种 种 种 D. 24种[答案]Ａ[解析]第一步,100m冠军有4种可能;第二步,800m冠军也有4种可能;第三步,1500m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=4练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种 [答案]Ｂ[解析]第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.类型三分类计数原理与分步计数原理的区别例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？[解析](1)分三类：第一类从国画中选一幅，共5种；第二类从油画中选一幅，共有2种；第三类从水彩画中，选一幅，共有7种，由分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.(2)分三步：第一步从国画中选一幅共5种；第二步从油面中选一幅共有2种；第三步从水彩画中选一幅共：7种，由分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.练习1：已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为() [答案]Ｃ[解析]取法可分为两类.(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.类型四两个原理的综合应用例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.[答案]242[解析]任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本，二、取语文、英语各一本，三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解.取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8=72种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80种不同取法.综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242种不同取法.练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种. 56 [答案]Ｄ[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种．1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有()种不同乘车方法. 60 [答案]C[解析]从A地到B地共分两类方法，第一类：直达班车4班；第二类，转车从A到C再到B，共有5×3=15种乘车方法，根据分类加法计数原理，共有4+15=19种不同的乘车方法.2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有()种 种 种 种[答案]B[解析]每个苹果有4种不同的投法，所以共有46种不同的投法３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()个 个 个 个[答案]C[解析]要使得点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同，故也有9种情况，故共可确定9×9=81个符合题意的点.４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有()种 种 种 种[答案]A[解析]我们可以一本一本的插入，先插第一本，可在原来的5本书形成的6个空中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8=336种不同的插法.５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.[答案]12[解析]根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的走法.６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.[答案]1000[解析]由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有)种 种 种 种[答案]Ａ2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有()种 种 种 种[答案]Ｃ[解析](1)从有7本不同故事书的包内任取一本书的取法有7种;(2)从有5本不同教科书的包内任取一本书的取法有5种.综上,共有12种取法．3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有()种 种 种 种[答案]Ｃ[解析]由于每班火车、汽车、飞机、轮船都能完成从甲地到乙地这件事,因此这是一个分类问题,应采用分类计数原理,有10+15+3+2=30种,即一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地共有30种不同的走法.4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为() [答案]Ａ[解析]原定的5个节目共有6个空位,将其中1个新节目插入有6种插法,然后6个节目形成7个空位,将另一新节目插入,由分步计数原理共有7×6=42种方法．名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有() [答案]Ａ6.已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为() [答案]Ｃ[解析]取法可分为两类.(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种. 56 [答案]Ｄ[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种.8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.[答案]组成四位数:个位数有9种选法,十位数有9种选法,百位数也有9种选法,千位数同样有9种选法,根据分步计数原理,四位数共有9×9×9×9=94个.同理,七位数共有97个.故第一个空填94,第二个空填97.能力提升1.(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种 B．70种 C．75种 D．150种[答案]Ｃ2.（2014·全国大纲）卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种 B．16种 C．24种 D．36种[答案]Ｄ3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．9[答案]Ｂ4.（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)[答案]Ａ5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(