五年级下册知识点汇总 公开课教学设计

五年级下册知识点汇总（数学——人教2013版）目录（按住ctrl并单击鼠标直接转到相应单元）TOC\o\h\z\u第一单元观察物体（三） ②较小数判断法（割尾法）将一个整数的个位数划去，再用余下的数，减去个位数的2倍，如果得到的差是7的倍数，则原数能被7整除。如果得到的差太大不易看出是不是7的倍数，就需要继续上述过程，直到能明确判断是不是7的倍数为止。例如判断133是不是7的倍数，过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是不是7的倍数，过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。可以设y是个位上的数字，x是个位数前面的其他数字，那么原数为10x+y，也可以写成10（x-2y）+21y，其中21y肯定是7的倍数，只要x-2y是7的倍数即可。注：这种方法（“割尾法”）也适用于判断3的倍数。同学们也可以根据这种方法创造新的判断一个数倍数的方法，详见另文：数学“傻问题”之四——“倍数特征”割不割？（五下）13的倍数（割尾法）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。可以设y是个位上的数字，x是个位数前面的其他数字，那么原数为10x+y，也可以写成10（x+4y）-39y，其中39y肯定是13的倍数，只要x+4y是13的倍数即可。这种方法也适用于判断3的倍数，另外上面7的倍数特征中的较大数判断法也可以。其它数的倍数常考的一般是2、3、5、6、9、10、15等的倍数（同时是2和5的倍数的数就是10的倍数，同时是3和5的倍数的数就是15的倍数），其它的如11、13、17的倍数都不用硬记，可以直接除以这些数看能否整除就可以了。平时在做计算题的时候留个心眼，看看数字相乘的得数，把一些好玩有趣的记一下（如37×9＝333等），有助于培养对数字的感觉，对提高计算能力是有帮助的，有兴趣的同学可以看看我写的两位数乘法口算方法的文章（两位数乘两位数的口算技巧分解）。偶数与奇数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。也就是说，非0偶数都含有因数2，奇数都不含有因数2。因此，偶数与奇数有下列性质：（1）偶数＋偶数＝偶数偶数＋奇数＝奇数奇数＋奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数偶数－奇数＝奇数奇数－奇数＝偶数口诀：奇偶相加减，同性得偶数，异性得奇数。（2）偶数×偶数＝偶数偶数×奇数＝偶数奇数×奇数＝奇数口诀：奇偶相乘，有偶得偶，全奇得奇。例题：把36个小球放在13个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数，对吗？解答：利用“反证法”，假设13个盘子里放的都是奇数个小球，那么奇数加奇数得偶数，12个盘子两两相加得偶数，最后一个盘子里放的是奇数，相加肯定也是奇数，不可能是36。因此“把36个小球放在13个盘子里，至少有一个盘子里放的是偶数”这句话是对的！质数与合数在非0自然数中，按照因数个数的多少，分为1、质数和合数。（以下所说的数，都是非0自然数，因为谈及“因数”或“倍数”时都必须是非0整数）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。如2,3,5,7都是质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。1既不是质数，也不是合数。质数与合数相关知识（1）100以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。这些数必须记住。（2）最小的质数是2，既是偶数又是质数（偶质数）的也只有2。（3）最小的合数是4，既是奇数又是合数（奇合数）的最小的是9，20以内的还有15。（4）连续的两个数是质数的只有2和3。（5）20以内的数中，连续三个数是合数的有8,9,10和14,15,16。（6）20以内的数中，加上2还是质数的质数有3,5,11,17。分解质因数分解质因数就是将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。如18＝2×3×3，每个质数都是这个合数的因数，因此叫做“质因数”。常用的表示方法：可以用乘法算式法，也可以用连线分解法，我推荐的是“短除法”。在后面学习最大公因数和最小公倍数时，使用短除法非常简单。有空多练习吧。哥德巴赫猜想德国数学家哥德巴赫最先提出：“所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和”，这就是“哥德巴赫猜想”，被称为“数学王冠上的明珠”。中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者可表示为两个质数的乘积。”通常这个结果表示为“1+2”。这是目前解决“哥德巴赫猜想”问题的最佳结果。我们在平时的学习中，也可以练习将一个大于2的偶数表示成两个质数的和，以提高自己对质数的熟悉程度。如：12＝5＋7，18＝5＋13＝7＋11，20＝7＋13，24＝5＋19＝7＋17＝11＋13。有些数还可以表示成三个质数的和，这时要注意加数的奇偶，注意2是唯一的偶质数。如：12＝2＋5＋5＝2＋3＋7，18＝2＋5＋11，23＝3＋7＋13＝5＋5＋13＝5＋7＋11。第三单元长方体和正方体长方体、正方体是立体形状，长方形、正方形是平面图形，要区分开来。它们都是几何图形。生活中有许多物体的形状可以近似地看成是长方体或正方体。长方体定义：长方体一般是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。特征：在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱（的长度）分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高各有4条，分别相互平行且相等。分别两两垂直。正方体定义：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。特征：在一个正方体中，6个面完全相同，12条棱长度相等。正方体与长方体的联系正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。其它异同点见下表：注意：（1）当长方体有两个相对的面是正方形时，另外4个面就一定是完全相同的长方形。因此，长方体最多有8条棱可以相等。已知：a＝24cmb＝12cm已知：a＝24cmb＝12cmh＝9cm求：C长TC长T＝4（a＋b＋h）＝4×（24＋12＋9）＝180（cm）答：纸巾盒棱长总和180cm。长方体与正方体的棱长总和已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C长TC长T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C长TC长T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4＝370（m）答：工人叔叔至少需要370m长的彩灯线。例，课本P21第1题：纸巾盒长24cm，宽12cm，高9cm，求棱长总和。例，课本P21第6题：为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知工人俱乐部的长90m，宽55m，高20m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12×10＝120（cm）答：它的棱长总和是120cm。正方体有12条相等的棱，因此：正方体棱长总和＝棱长×12，用a表示棱长，则字母表达式为C正方体＝12a。例，课本P31第2题：棱长为10cm的正方体粉笔盒，棱长总和是多少？在求长方体、正方体棱长总和（以及后面的面积）时，要注意包含哪几条棱（哪几个面），用相应的公式去计算。长方体与正方体的表面积长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。因为长方体（或正方体）相对的面完全相同，因此只要算出3个面（上或下、前或后、左或右）再扩大到2倍就可以了。注意：长方体每个面的面积构成（请理解后记忆）情况一：假设长面对着我们，则前面（后面）的面积是“长×高”，左面（右面）的面积是“宽×高”，上面（下面）的面积是“长×高”。情况二：假设宽面对着我们，则前面（后面）的面积是“宽×高”，左面（右面）的面积是“长×高”，上面（下面）的面积是“长×高”。因此，上、下面（底面）的面积都是“长×宽”，侧面四周都和“高”有关。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S长TS长T＝2（ab＋ah＋bh）＝2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S长TS长T＝2（ab＋ah＋bh）＝2×（50×40＋50×78＋40×78）＝2×（2000＋3900＋3120）＝18040（cm²）答：做邮箱至少需要18040平方厘米的铁皮。例，课本P25第4题：光华街口装了一个新的铁皮邮箱，长50cm，宽40cm，高78cm。做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？例，课本P24做一做：亮亮家要给一个长，宽，高的简易衣柜换布罩（没有底面）。至少需要用布多少平方米？已知：a＝b＝h＝求：S布罩S已知：a＝b＝h＝求：S布罩S布罩＝2（a＋b）h＋ab＝2×（＋）×＋×＝2××＋＝（m²）答：做布罩至少需要用布平方米。附：不完全表面积公式只有侧面四周，也叫烟囱（或者叫上下通风管，还叫商标纸）：S侧＝2（a＋b）h=2ah+2bh没有下面：S布罩＝2（a＋b）h＋ab=2ah+2bh+ab没有上面：S鱼缸＝2（a＋b）h＋ab=2ah+2bh+ab左右通风管：S左右通＝2（b＋h）a=2ab+2ah前后通风管：S前后通＝2（a＋h）b=2ab+2bh已知：a＝3dm求：S鱼缸S已知：a＝3dm求：S鱼缸S鱼缸＝5a²＝5×（3×3）＝45（m²）答：制作这个鱼缸至少需要玻璃45平方米。正方体的表面积＝（棱长×棱长）×6字母表达式为S正方体＝6a²。例，课本P26第8题：一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长3dm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米？（鱼缸的上面没有盖。）此题当中鱼缸没有盖，只有5个面。注意：“平方”的运算是第三级运算，优先于乘除法，落后于小括号。但乘法有结合律，不影响计算结果。（长方体、正方体）组合图形的表面积由若干正方体、长方体组合而成的立体图形的表面积计算方法：根据五年级下册第一单元“观察物体”的原理（相对面看到的外形相等，面积相等），计算出3个面能看到的面积，再扩大到2倍。例，丛书P13思考题，算出下列用1立方厘米的小正方体搭成的图形的表面积。因为这个图形是不规则图形，要算出它的表面积比较困难，要数出有几个面积是1平方厘米的小正方形。可以用“观察物体”的方法：从正面可以看到6个面，从右面可以看到4个面，从上面可以看到5个面，因此总共可以看到15个面，而从反面、左面、下面三个相对的面看到的也分别相同，所以共有15×2＝30个面，表面积就是30平方厘米。窍门：因为本来看这个图形就能看到3个面，只要数出能“看到”的面的个数，再扩大到2倍即可——根本不用“观察物体”那么麻烦！这种方法也适合所有“凸立体图形”，即没有凹进去的部分的立体图形。例，课本P37第9题：颁奖台如右图，前后面涂黄色油漆，其它露出来的面涂红色油漆，求涂两种油漆的面积各是多少？求黄色油漆的面积略，求出3个长方形的面积加起来，得数再扩大到2倍（前后都有）即可。而计算红色油漆的一般方法是一面面地算出面积，再进行加和，比较麻烦。可以运用“观察物体”的方法：已知：a＝120cmb＝40cm已知：a＝120cmb＝40cmh＝65cm求：S上左右S上左右＝ab＋2bh＝120×40＋2×40×65＝10000（cm²）答：涂红色油漆的面积是10000平方厘米。规律：只要从某一方向看形状不变，那么从那一方向上所看到的表面积也不变。长方体和正方体的体积（一）体积物体所占空间的大小叫做物体的体积。（二）体积单位计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以分别写成cm³，dm³和m³。棱长是1cm的正方体，体积是1cm³。一个手指尖的体积大约是1cm³。棱长是1dm的正方体，体积是1dm³。一个粉笔盒的体积大约是1dm³。棱长是1m的正方体，体积是1m³。1m³的空间大约能容纳10个同学（是一个比较大的体积单位）。在工程上，“1m³”的土、沙、石等均简称“1方”。棱长是1mm的正方体，体积是1mm³。一粒砂子的体积大约是1mm³。附：身边物体的体积及其单位橡皮的体积约是10cm³，课本的体积约为150cm³，魔方的体积约为1dm³，影碟机的体积约是4dm³，讲台桌的体积约为³，集装箱的体积约是40m³，教室的体积约为134m³。（三）长方体和正方体的体积可以用小正方体拼组成长方体的方法来求长方体的体积。如：用棱长为1cm的小正方体拼成长4cm，宽3cm，高2cm的长方体，长需要4个，宽需要3个，高需要2个，共24个，因此推出：长方体的体积＝长×宽×高V长方体＝abh而正方体可以看成是长宽高都相等的长方体，所以：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V正方体＝a³例，课本P30例题第一题，计算长方体和正方体的体积。已知：a＝5dm求：已知：a＝5dm求：V正TV正T＝a³＝5³＝5×5×5＝125（m³）答：正方体的体积是125立方米。已知：a＝8cmb＝3cmh＝4cm求：V长TV长T＝abh＝8×3×4＝96（m³）答：长方体的体积是96立方米。注：一般“＝5×5×5”可以略去不写。已知：a＝5mS已知：a＝5mS左＝²求：V长TV长T＝S左·a＝×5＝（m³）答：长方体木料的体积是立方米。长方体（或正方体）的体积＝底面积×高用字母S表示底面积，公式可以写成：V＝Sh而长方体有3个不同的面，公式可推广为V长方体＝S底h，V长方体＝S左a，V长方体＝S前b已知：S底＝4dm²h＝6dm求：已知：S底＝4dm²h＝6dm求：V长TV长T＝S底·h＝4×6＝24（dm³）答：这个长方体纸盒的体积是24立方分米。例，有一个长方体纸盒，底面为4平方分米的正方形，高为6分米，求它的体积是多少？（四）用小正方体拼大正方体因为大正方体的棱长是小正方体的倍数，而V正T＝a³，体积的倍数等于棱长的倍数的三次方，因此要拼成棱长是2倍的大正方体就需要小正方体2³个，即8个。所以，用小正方体拼大正方体时所需要的小正方体的个数分别是：2³、3³、4³…，推荐记住10以内（包括10）的数的立方：1,8,27,64,125,216,343,512,729，1000。例，把棱长为8cm的正方体分割成棱长为2cm的小正方体，可以分成几个？解答，大正方体棱长是小正方体的8÷2＝4倍，所以体积是4³＝64倍，即可以分成64个小正方体。也可以直接写出综合算式：(EQ\F(8,2))³＝4³＝64（五）体积单位间的进率从正方体可以推出，1dm³的正方体可以分成10×10×10＝1000个1cm³的小正方体，以此类推，得出相邻两个体积单位间的进率是1000。与长度单位、面积单位的关系见下表：单位类型单位名称相邻两个单位间的进率长度m、dm、cm10面积m²、dm²、cm²10²＝100体积m³、dm³、cm³10³＝1000图形切割前后棱长总和、表面积和体积的增减已知：a＝8m求：S已知：a＝8m求：S增、C增S增＝2a²C增＝8a＝2×（8×8）＝8×8＝128（m²）＝64（m）答：分割后表面积增加了128平方米，棱长总和增加了64米。想象：“一刀切”长方体（或正方体）为两个长方体（或正方体），多出了2个面,多出了4条边（也就是棱）。可以根据切割的次数来计算增加的表面积和棱长总和。例，把一个棱长为8m的正方体分成两个完全相同的长方体，问表面积和棱长总和各增加了多少？例，将27个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面积减少了多少？已知：a＝1cm求：S增a已知：a＝1cm求：S增a’＝3a＝3（cm）S增＝12a’²＝12×（3×3）＝108（cm²）答：分割后表面积增加了108平方厘米。容积和容积单位（一）基本概念箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。（容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。）计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。1L＝1000ml1L＝1dm³1ml＝1cm³1m³＝1000dm³＝1000L＝1,000,000ml长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。也就是说，容积也是一种体积，容积单位也是体积单位，只不过当容器容纳的物体是液体时，一般使用液体的体积单位（L和ml）。此外，家用电器如微波炉、冰箱、热水器的容积也常用L来做单位（虽然它们装的不都全是液体）。（二）常见容器容积固体：粉笔盒1dm³，微波炉12dm³，集装箱40m³液体：口服液10ml，矿泉水600ml，大瓶饮料，食用油5L（三）用“排水法”求不规则物体的体积形状不规则的物体，可以用它们完全浸入水中时所排出的水的体积来计算它们的体积。V物体＝V排出的水，根据容器形状的不同所采用的公式不同。一般考查长方体容器，公式为物体体积＝排出的水的体积＝容器长×容器宽×水面升高的高度V△＝abh△＝ab（h’－h）已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cm已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cmh’＝7cm求：V4个鸡蛋V4个鸡蛋＝ab（h’－h）＝15×10×（7－5）＝300（cm³）300÷4＝75（cm³）答：平均每个鸡蛋的体积是75立方厘米。思考过程：先求四个鸡蛋共排出水的体积（运用长方体），再求一个鸡蛋平均排出水的体积，也就是一个鸡蛋的体积。常考题（棱长、棱长总和、表面积与体积的转换，等等）类型一：用铁丝围（棱长总和不变）已知：a正已知：a正＝5ma＝6mb＝5m求：hC正＝12a正h＝C÷4－a－b＝12×5＝60÷4－6－5＝60（m）＝4（m）答：围成的长方体的高是4米。思考过程：同样的铁丝长度相等，也就是棱长总和相等，先算出正方体棱长总和，再根据公式求长方体的高的长度。已知：a正＝9dm已知：a正＝9dma＝4dmb＝3dm求：hV正＝a正3h＝V÷a÷b＝9³＝729÷4÷3＝729（dm³）＝（dm）＝答：锻造成的钢块的高是米。把一块棱长9dm的正方体钢坯锻造成一个长为4dm，宽为3dm的长方体钢块，则这个钢块的高是多少米？思考过程：锻造不改变钢材体积（不考虑锻造损耗），所以先算出正方体体积，再根据公式求长方体的高度。注意，这题当中，问题问的是“多少米”，而给的条件是分米，所以在计算之后，要进行单位转化。已知：a＝10m已知：a＝10mb＝8mh＝30dm＝3m求：S教室S教室＝2（a＋b）h＋ab＝2×（10＋8）×3＋10×8＝108＋80＝188（m²）粉刷面积：188－23＝165（m²）粉刷价钱：165×4＝660（元）答：粉刷面积是165平方米，一共需要660元。类型三：局部粉刷求价钱（部分表面积）粉刷一间长10m，宽8m，高30dm的教室，要求粉刷教室的屋顶和四面墙壁，除去们窗的黑板的面积23平方米，问粉刷的面积是多少平方米？如果每平方米的粉刷成本是4元，一共需要多少钱？思考过程：要先弄清楚粉刷的面积，也就是要明确粉刷表面积的哪几个面，最后再计算价钱，注意单位不统一时要先化成同一单位才能计算。类型四：切割后成为正方体时的面积增减（增减了几个面）一个长方体，高减少5dm，正好成为一个正方体，这时表面积减少了200dm²，求原来的长方体的体积是多少？已知：h变＝5dmS四个面＝200dm²已知：h变＝5dmS四个面＝200dm²求：V长方体S变＝S四个面÷4＝200÷4＝50（dm²）a＝S变÷h变＝50÷5＝10（dm）h＝a＋h变＝10＋5＝15（dm）V长T＝abh＝10×10×15＝1500（dm³）答：原来长方体的体积是1500立方分米。类型五：由长方体的表面积求高一个游泳池表面积236m²，已知这个游泳池长24m，宽5m，那么这个游泳池有几分米深？已知：S游泳池＝236m已知：S游泳池＝236m²a＝24mb＝5m求：hS侧＝S游泳池－S底h＝S侧÷2÷（a＋b）＝S游泳池－ab＝116÷2÷（24＋5）＝236－24×5＝2（m）＝116（m²）＝20（dm）答：这个游泳池深20分米。最后注意单位转换。已知：h＝20dma＝b已知：h＝20dma＝b侧面展开是正方形求：S、Va＝b＝h÷4＝20÷4＝5（dm）S＝2（ah＋bh＋ab）V＝abh＝2×（5×5＋5×20＋5×20）＝5×5×20＝2×225＝500（dm³）＝450（dm²）答：这个长方体的表面积是450dm²，体积是500dm³。一个高20分米的长方体，底面是正方形，而将它的侧面展开也正好形成一个正方形，求这个长方体的表面积和体积？思考过程：因为底面是正方形，所以侧面是4个完全相同的长方形，展开后能形成正方形，说明长方形的长是宽的4倍（如右图），因此“宽”（即原来的底面边长）就是20÷4＝5分米，一旦知道了长方体的长、宽、高，问题就迎刃而解。探索图形序号（无关可忽略）棱长块数三面涂色的块数两面涂色的块数一面涂色的块数没有涂色的块数总共的块数1280008238126127348242486445836542712556848966421667860150125343…n-1n812（n-2）6（n-2）²（n-2）³n³第四单元分数的意义和性质分数的产生在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。比较小数的概念：“当测量物体时往往会得到的不是整数的数，就可以用小数来表示。”说明分数和小数是相互联系的（详见后面），都是用来补充整数的。分数的意义、读写法和分数单位一个物体、一些物体等都可以看做一个整体（可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”），把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。这就是分数的意义。分数的写法：先写分数线表示“平均分”，再写分母表示总的分成几份，最后写分子表示取其中的几份。分数的读法：先读分母，然后把分数线读作“分之”，最后读分子。如，EQ\F(3,10)读作“十分之三”，EQ\F(2,3)读作“三分之二”。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。如EQ\F(2,3)的分数单位就是EQ\F(1,3)，EQ\F(3,10)的分数单位就是EQ\F(1,10)。最大的分数单位是EQ\F(1,1)，没有最小的分数单位。在研究一个分数时，必须时刻注意分数的意义，要结合实际情境来说分数的意义。而在说分数的意义的时候，特别要注意的是单位“1”，要明确分数表示的单位“1”是哪个或哪些数量。例，说出下面分数的意义：课本P63第2、3题每个茶杯是这套茶杯的EQ\F(1,3)。单位“1”是“这套茶杯”，要求的分量是“每个茶杯”。分数的意义：把这套茶杯平均分成3份（即3个），每个茶杯占其中的1份，是这套茶杯的EQ\F(1,3)。每块月饼是这盒月饼的EQ\F(1,8)。单位“1”是“这盒月饼”，要求的分量是“每块月饼”。分数的意义：把这盒月饼平均分成8份（即8块），每块月饼占其中的1份，是这盒月饼的EQ\F(1,8)。每袋粽子是这些粽子的EQ\F(1,4)。单位“1”是“这些粽子”，要求的分量是“每袋粽子”。分数的意义：把这些粽子平均分成4份（即4袋），每袋粽子占其中的1份，是这些粽子的EQ\F(1,4)。每种颜色的跳棋是这盒跳棋的EQ\F(1,6)。单位“1”是“这盒跳棋”，分量是“每种颜色的跳棋”。分数的意义：把这盒跳棋（的跳棋棋子）平均分成6份（即有6种颜色的棋子），每种颜色的跳棋占其中的1份，是这盒跳棋（的跳棋棋子）的EQ\F(1,6)。课本P64第7题头部的高度约占身高的EQ\F(1,8)。分数的意义：把身高平均分成8份，头部的高度占其中的1份，是身高的EQ\F(1,8)。长江干流约EQ\F(1,5)的水体受到不同程度的污染。分数的意义：把长江干流（的水体）平均分成5份，受到不同程度污染的水体占其中的3份，是长江干流（的水体）的EQ\F(1,5)。死海表层的水中含盐量达到EQ\F(3,10)。分数的意义：把死海表层的（盐）水（的重量）平均分成10份，盐（的重量）占其中的3份，是死海表层的（盐）水的EQ\F(3,10)。课本P68第6题（分量有具体数量的要在最后说明）先找准单位“1”：“这盒橙子”、“这板电池”分数的意义：把这盒橙子平均分成5份，每袋橙子占其中的1份，是这盒橙子的EQ\F(1,5)，有3个橙子。分数的意义：把这板电池平均分成4份，每对电池占其中的1份，是这板电池的EQ\F(1,4)，有2个电池。注意：讲“分数的意义”的时候，总量（分母）和分量（分子）的单位必须是相同的，才能比较，如“每袋橙子占这盒橙子的EQ\F(1,5)”中暗含“这盒橙子=5袋橙子”的意思，因此EQ\F(1,5)表示“把这盒橙子平均分成5份（5袋），每袋橙子占其中的1份”。分数与除法根据分数的意义（将单位“1”平均分成若干份，取其中的一份或几份），而平均分成几份就是除以几，取几份就是乘以几，因此发现了分数与除法的关系：被除数÷除数＝EQ\F(被除数,除数)或a÷b＝EQ\F(a,b)（b≠0）因为在除法中除数不能为0，因此分数中分母也不能为0。根据分数与除法的关系，可以有以下四个方面的应用：1、算出一个分数的具体数值，将分数转化成小数如，EQ\F(1,5)＝1÷5＝，EQ\F(3,10)＝3÷10＝，EQ\F(4,9)＝4÷9＝0.，EQ\F(18,6)＝3。2、将小数转化成特殊的分数，利用其进行单位转换例，课本P67第3题9cm＝dm将单位是cm的整数转化成单位是dm的分数，就要以“1dm”为单位“1”，将1dm平均分成10份（每份就是1cm），9cm占其中的9份，是1dm的EQ\F(9,10)，也就是EQ\F(9,10)dm。因此9cm＝EQ\F(9,10)dm79dm＝m将单位是dm的整数转化成单位是m的分数，就要以“1m”为单位“1”，将1m平均分成10份（每份就是1dm），79dm占其中的79份，是1m的EQ\F(79,10)，也就是EQ\F(79,10)m。因此79dm＝EQ\F(79,10)m比较以上题目，发现：将单位较小的整数数量，转化成单位较大的分数数量，分数的分母就是这两个单位的进率，分数的分子就是原来那个整数。这也可以由口诀“低聚高，除以进率”得到（详见“四年级知识点汇总”）——整数除以进率，就是把这个整数当做分子，把进率当做分母得到分数。3、求一个数量是另一个数量的几分之几求一个数量是另一个数量的几分之几，就是把第二个数量当做单位“1”，把它分成若干份，取其中第一个数量那几份，也就是用第一个数量除以第二个数量。用字母表示：求A是B的几分之几，就是用A除以B，就是A÷B＝EQ\F(A,B)例，课本P68第9题求一张课桌的长度是纺锤树最粗直径的几分之几，就是用一张课桌的长度去除以纺锤树最粗直径的长度。1÷5＝EQ\F(1,5)，一张课桌的长度是纺锤树最粗直径的EQ\F(1,5)。注意：这里容易把一张课桌的长度占纺锤树最粗直径的分数EQ\F(1,5)和一张课桌的长度的具体数值弄混，这是请参看此分数的意义：将纺锤树最粗直径平均分成5份，一张课桌的长度占其中的1份，是纺锤树最粗直径的EQ\F(1,5)，具体数值为5÷5＝EQ\F(5,5)或1（m）。将小数化成分数在后面比较分数和小数的定义时说到。真分数、假分数和带分数（一）概念分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。当一个分数的分母确定时，真分数的个数也随之确定，而且总比分母少1。如，以9为分母的真分数有9-1＝8个，分别是EQ\F(1,9)，EQ\F(2,9)，EQ\F(3,9)，EQ\F(4,9)，EQ\F(5,9)，EQ\F(6,9)，EQ\F(7,9)，EQ\F(8,9)。其中最小的那个就是这些分数的分数单位，即EQ\F(1,9)是这8个分数的分数单位。分数单位都是真分数。当分母确定时，最大的真分数的分子比分母少1，如，以9为分母的真分数最大是EQ\F(8,9)。分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。当一个分数的分母确定时，有最小的假分数，这时分子等于分母，分数的数值等于1。如，以12为分母的分数中，假分数最小为EQ\F(12,12)。没有最大的假分数。也就是说，当分母确定时，真分数的个数是有限的，假分数的个数是无限的。反之，当分子确定时，真分数的个数是无限的，假分数的个数是有限的（与分子相同）。由一个整数和一个真分数合成的分数叫做带分数，带分数都大于1。带分数的读法是用“又”字连结整数和分数部分，写法是将整数与分数部分紧靠。如，1EQ\F(1,5)读作“一又五分之一”，12EQ\F(312,406)读作“十二又四百零六分之三百一十二”因为带分数都大于1，是假分数（大于或等于1）的一部分，因此带分数是一部分（不能化成整数的）假分数的特殊表现形式。真分数、假分数和带分数的关系如右图：（二）假分数、带分数和整数的互相转化根据分数与除法的联系，可以将假分数、带分数和整数的互相转化。将假分数转化成带分数或整数在假分数中，当分子是分母的倍数的时候，能化成整数，就是将分子除以分母所得到的商。如：EQ\F(18,9)＝18÷9＝2，EQ\F(13,13)＝13÷13＝1，EQ\F(90,15)＝90÷15＝6在假分数中，当分子不是分母的倍数的时候，能化成带分数，将分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。如：EQ\F(16,9)＝16÷9，因为16÷9＝1……7，所以EQ\F(16,9)＝1EQ\F(7,9)EQ\F(20,7)＝20÷7，因为20÷7＝2……6，所以EQ\F(20,7)＝2EQ\F(6,7)注意：以上式子千万不能写成连等式EQ\F(16,9)＝16÷9＝1……7，不能将整数与分数混淆。联系：将假分数转化成整数或带分数的区别就在于分子是否是分母的倍数。如果是带分数，可以看成是可以整除的部分加上不能整除的部分。如，EQ\F(40,9)＝EQ\F(36,9)＋EQ\F(4,9)＝4＋EQ\F(4,9)＝4EQ\F(4,9)此外，在解题当中，为了便于查看和检查，一般也要将假分数化成带分数。（考试不要求，而且假分数和带分数的意义也不相同，请自己理解。）将带分数或整数转化成假分数将带分数转化成假分数的方法与前面类似，分母不变，将带分数的整数部分化成假分数，再与分子相加得到新的分子。如，7EQ\F(4,9)＝EQ\F(7×9＋4,9)＝EQ\F(67,9)，9EQ\F(3,5)＝EQ\F(9×5＋3,5)＝EQ\F(48,5)将整数转化成假分数，就是让假分数的分子除以分母的商是这个整数，答案有无数个，题目一般会给定分子或分母。如，2＝EQ\F(10,5)＝EQ\F(24,12)＝EQ\F(154,77)，5＝EQ\F(35,7)＝EQ\F(75,15)＝EQ\F(145,29)又如，把7转化成分子是28的分数7＝EQ\F(28,4)，转化成分母是9的分数7＝EQ\F(63,9)。不规范的带分数与假分数和整数之间的转化丛书P38第3大题中有一个小题5＝3带分数的整数部分是3，分数部分是，而这两个部分之和是5，因此这题相当于求＝5－3＝2，,6×2＝12，所以要填12。然而3EQ\F(12,6)的分数部分是假分数，不符合带分数的定义，因此是不规范的带分数。平时我们在写带分数时一定不要这么写，但如果题目有出到，我们要懂得它的意思并能解答即可。（三）图形中的真分数、假分数和带分数在习题或考试当中，常有给定图形（阴影或空白部分）写分数或给定分数涂色（阴影）的题目，关键是找到相应的单位“1”。例，课本第63页第1题单位“1”就是整个图形，把整个图形平均分成几份，涂色部分占几份，就是几分之几。答案分别是EQ\F(3,4),EQ\F(5,9),EQ\F(3,5)和EQ\F(2,4)。最后一题也可以看成是平均分成2份，答案也可以是EQ\F(1,2)。分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。根据分数和除法之间的联系，也可以把分数看成是用分子除以分母的除法算式，因此分数的基本性质也就是“把被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变”即商不变性质的另一种说法。因此我们也可以将分数的基本性质和商不变规律结合起来记忆。利用分数的基本性质，我们可以将分数化成给定分子或分母的等值分数。例，＝＝，＝＝，＝＝＝＝最大公因数概念两个数公有的因数，叫做它们的公因数。因为每个非0自然数都含有因数1，因此任意两个数的公因数都有1，它们的最小的公因数也就是1。两个数的公因数中，最大的公因数，叫做它们的最大公因数。两个数的所有公因数也都是它们最大公因数的因数。求最大公因数的方法以求18和24的最大公因数为例，介绍3种主要的方法。枚举法将两个数的所有因数写出来，找出相同的因数，即为公因数，其中最大的就是这两个数的最大公因数。18的因数有：1,2,3,6,9,1824的因数有：1,2,3,4,6,8,12,2418和24的公因数有：1,2,3,618和24的最大公因数是：6短除法要求出两个数的最大公因数，可以先找出这两个数有哪些公因数，将这两个数同时除以相同的质因数（是质数的因数），能除以的质因数的积就是最大公因数。如图更相减损法《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”——百度百科“更相减损术”简单说来，就是将两个数大数减去小数，得到的差再和小数相减，如此反复多次，直到差和减数相等为止。24－18＝6,18－6＝12,12－6＝6，这时6就是18和24的最大公因数。更相减损法可以帮助我们检验短除法等其它方法的结果。其他示例：36和4848－36＝1236－12＝2448－36＝1236－12＝2424－12＝1236的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,3648的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,4836和48的最大公因数：1298－70＝2870－28＝4298－70＝2870－28＝4242－28＝1428－14＝1498的因数：1,2,7,14,49,9870的因数：1,2,5,7,1014,35,7098的因数：1,2,7,14,49,9870的因数：1,2,5,7,1014,35,7098和70的最大公因数：14互质数公因数只有1的两个数，叫做互质数。因为两个互质数只有公因数1，因此它们的最大公因数也是1。两个互质数的最小公倍数是它们的乘积。运用短除法求两个数的最大公因数，除到最后剩下的结果一定是两个互质数（否则的话还可以继续除以其它不是1的因数）。公因数只有1的两个数的关系叫做“互质”，如5和7是互质数，或者说5和7互质。两个数是互质数的情况有以下几种：结论举例1和其他数字互质1和9、1和26质因数只有2的数和所有奇数互质16和37、128和253两个不同的质数互质17和37、61和89无倍数关系的合数和质数互质7和22、17和86较大数是质数的两个数互质（可以由上一条推理出来）4和19、18和97两个连续的非0自然数互质6和7、18和19相邻的两个奇数互质3和5、13和15掌握了两个数互质的情况，可以帮助我们快速判断短除法是否结束。约分（一）约分把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分的根据是“分数的基本性质”：将分子与分母同时除以一个相同的数（0除外），使得分子和分母都变得比较小的同时分数的大小不变。约分可以先约一些较小的数，反复几次完成，也可以一步到位（即同时除以分子和分母的最大公因数）。如EQEQ\F(24,30)可以在约分时这样写：（二）最简分数分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。最简分数的分子和分母互质。如右上方图，EQ\F(24,30)的分子和分母先同时除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同时除以3，得到EQ\F(4,5)，这时分子和分母只有公因数1（互质），因此EQ\F(4,5)是一个最简分数。反复约分的最终结果是一个最简分数。在约分时，分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到的约分结果就是一个最简分数。（三）约分的注意事项1、约分一般要约到最简分数，除非题目要求约到给定的分子或分母时。2、要判断是否约到了最简分数，要明确分子和分母是否还有共同因数，因此要使约分更加正确、高效，就必须对分子和分母（数字）的因数以及各个数字的倍数非常了解。常见易错数字的倍数：（请参考20×20乘积表，掌握400以内数的因数和倍数）7的倍数：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍数：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍数：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍数：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍数：29,58,87,116,145,174,203,232,261最小公倍数概念两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。两个数的公倍数中，最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。两个数的所有公倍数也都是它们最小公倍数的倍数。求最小公倍数的方法以求18和24的最小公倍数为例，介绍2种主要的方法。大数翻倍法将较大的数乘以2，3,4，…，看看它的哪个倍数也是较小数的倍数，即是这两个数的最小公倍数。24的倍数有：24,48,72,96,120,144，…其中72、144也是18的倍数，因此18和24的最小公倍数就是72。短除法要求出两个数的最小公倍数，可以先找出这两个数的最大公因数，将这两个数独有的因数和它们公有的因数相乘，就得到它们的最小公倍数。如图其他示例：36和4848的倍数：48,96,144,192,240，48的倍数：48,96,144,192,240，…36和48的最小公倍数：14498和7098的倍数：98,196,294,392,490，98的倍数：98,196,294,392,490，…98和70的最小公倍数：490（三）求多个数（三个及以上）的最小公倍数求多个数（三个及以上）的最小公倍数，如果其中有几个数字有倍数关系，那么只要考虑较大的数字和其它数字的最小公倍数即可（因为较大数字的倍数这时肯定也是较小数字的倍数），如求10,12,20的最小公倍数就只要求20和12的最小公倍数即可，6、8、12的最小公倍数就是12和8的最小公倍数，7,20,28的最小公倍数也只是20和28的最小公倍数。三个数的最小公倍数的求法和两个数的类似，只不过只要其中2个数有共同质因数，就把它们除以这个相同的质因数，第3个数字照抄，直到3个得数两两互质为止（即把可能重复的质因数都找出来为止）。如求12、15、20的最小公倍数，用短除法如下：其它示例：6、8、9以及16、24、30的最小公倍数通分（一）通分把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的根据也是“分数的基本性质”：将分子与分母同时乘以一个相同的数（0除外），使得分子和分母变成一样的同时分数的大小不变。通分一般要将异分母的分数化成以异分母的最小公倍数为公分母的同分母分数。（二）通分的应用异分母分数由于分母不同，分数单位也不同，无法进行直接的比较和计算，因此通分可以作为分数比大小和计算的先行步骤。分数的大小比较真分数、假分数与带分数真分数都小于1，假分数都大于或等于1，带分数都大于1，因此假分数或带分数都大于真分数，假分数与带分数的大小比较见后面（先将带分数化成假分数再进行比较）。例：EQ\F(4,7)＜1＜EQ\F(5,3)EQ\F(3,8)＜1＜2EQ\F(4,9)两个同分母分数两个分母相同的分数，说明它们平均分成的份数相同，因此只要比较它们的分子就可以了。即“分母相同，分子大的分数大”。例：EQ\F(4,7)＜EQ\F(5,7)＜EQ\F(6,7)EQ\F(3,8)＜EQ\F(5,8)＜EQ\F(7,8)两个同分子分数两个分子相同的分数，说明它们取的份数相同，因此分得的份数越多，每份就越小，比较方法是“分子相同，分母大的数反而小”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(4,7)＜EQ\F(4,5)EQ\F(7,17)＜EQ\F(7,15)＜EQ\F(7,13)分子、分母均不相同的两个分数分子、分母均不相同的两个分数，可以运用“分数的基本性质”，将它们都转化成分母或分子（主要是分母）相同的分数，再进行比较。也可参考前面“通分”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(7,12)（通分成EQ\F(16,36)＜EQ\F(21,36)）EQ\F(7,15)＞EQ\F(14,31)（化成分子相同EQ\F(14,30)＞EQ\F(14,31)）若干个分数（小数也可以比较，见后面“小数与分数互化”）有两个以上的分数同时进行比较，也可以将它们都转化成分母相同的分数（如果通分后公分母太大就不要通分了），还可以将分数都化成小数取合适的近似值进行比较。示例见后面。分数和小数的互化分数化成小数：运用分数与除法的联系，将分数看成分子除以分母，可以算出相应的结果（整数或小数）。1、可以化成有限小数的分数：当一个最简分数的分母中只含有质因数2和5（不含有其他质因数）那么这样的分数就能化成有限小数。只含有质因数2和5的数有：2、4、8、16、……，5、25、125、……，10、100、1000、……，20、40、50、……，以这些数字为分母的最简分数一定能化成有限小数。2、常见的需要记忆的分数：EQ\F(1,2)=EQ\F(1,4)=EQ\F(3,4)=EQ\F(1,5)=EQ\F(2,5)=EQ\F(3,5)=EQ\F(4,5)=EQ\F(1,8)=EQ\F(3,8)=EQ\F(5,8)=EQ\F(7,8)=EQ\F(1,20)=EQ\F(1,40)=EQ\F(1,25)=EQ\F(1,125)=……小数化成分数：根据小数的意义，将小数看成若干个分数单位（如：表示35个，即35个百分之一，也就是一百分之三十五，写成EQ\F(35,100)，再约分成EQ\F(7,20)）。而当小数的整数部分不是0时，可以直接将整数部分当做化成带分数的整数部分。如可以看成整数部分的4和68个百分之一，即＝4EQ\F(68,100)＝4EQ\F(17,25)比大小常见题目多个小数与分数比较大小例题：按从小到大的顺序排列下列各数，EQ\F(1,2)、、EQ\F(3,8)、EQ\F(4,9)、EQ\F(9,20)分析与解答：观察题目数据，EQ\F(4,9)不能化成有限小数，而且通分起来公分母会很大，因此对这些分数转化成小数并取近似值（保留两位小数），EQ\F(1,2)＝、EQ\F(3,8)＝、EQ\F(4,9)≈、EQ\F(9,20)＝，因为＜＜＜＜，所以EQ\F(3,8)＜＜EQ\F(4,9)＜EQ\F(9,20)＜EQ\F(1,2)。工作效率的比较例题：小王5分钟打字90个，小李6分钟打字100，小陆7分钟打字120个个，问他们谁的打字速度最快，谁的最慢？分析与解答：“工作效率＝工作量÷工作时间”，在单位时间内打字字数最多的速度就快（工作效率就高）。如果按照工作效率比较，此题其实是在比较EQ\F(90,5)、EQ\F(100,6)、EQ\F(120,7)三个分数的大小，将它们都化成小数取近似值比较，EQ\F(90,5)＝18、EQ\F(100,6)≈、EQ\F(120,7)≈，因为18＞＞，所以EQ\F(90,5)＞EQ\F(120,7)＞EQ\F(100,6)，因此小王最快，小李最慢。第五单元图形的运动（三）图形的运动：本单元所说的“图形的运动”指图形的旋转，另外两种图形的变换方式（平移、对称）已经在以前的内容中学习，作为技能基础。对应点：图形中的某一点通过变换后形成的新的点，叫做这点的对应点。如三角形ABC绕点0旋转形成新的三角形A’B’C’，其中A点的对应点是A’，以此类推。旋转：一个物体绕着某一点或轴运动的方式叫做旋转。如钟面中，时针、分针、秒针都绕着同一个中心旋转；又如风车、电风扇的叶片绕着中心轴旋转。旋转的规范说法是：XX物体，绕点X（旋转中心），顺（或逆）时针方向旋转XX°。钟面指针旋转问题：钟面被平均分为12个点钟，因此每两个点钟之间的角度是360°÷12＝30°。如指针（时针、分针或秒针）从3点绕钟面中心O点顺时针旋转60°到5点，从5点绕O点顺时针旋转120°到9点。而逆时针旋转和顺时针旋转类似，同一结果如方法不同那么角度相加得360°，如顺时针旋转90°相当于逆时针旋转270°，逆时针旋转150°相当于顺时针旋转210°。结合相应的钟面时间，可以考察不同指针的变化。如从4:30到5:30，时针绕O点顺时针旋转了30°，分针绕O点顺时针旋转了360°。作旋转图形的方法：要作一个图形关于某点（旋转中心）旋转一定角度后的图形，相当于有若干个指向每个关键点的指针同时进行旋转后的结果。如要作四边形ABCD绕着O点顺时针旋转90°后的图形，则作图步骤如下：（1）选取关键点因为“两点可以确定一条直线”，四边形ABCD只需要四个顶点就能确定，所以选择四个顶点ABCD作为作图的关键点。一般来说，多边形的关键点是其顶点，其他图形的关键点是线段的端点和交点。（2）连结关键点和对称中心，形成“指针”，旋转后确定各关键点的对应点因为旋转前后图形中四个关键点到对称中心的距离都不变，可以分别连结ABCD四点和对称中心，再分别绕O点进行旋转，得到的点就是ABCD的对应点A’B’C’D’。注意，需要选择其中一个“指针”形成的夹角，标上角度，以表示整个图形的旋转角度。（3）连结相应的对应点对照原图形中的关键点，将对称图形中的对应点分别连结，形成对称图形四边形A’B’C’D’。旋转“元件“与旋转角度利用旋转可以作出许多美丽的图形。由基本图形“元件”通过旋转形成中心对称图形时，要注意旋转角度的确定（每次转的角度＝360°÷单元件个数）和旋转“元件”的多样性。如紫荆花，有5个花瓣，旋转角度是360°÷5＝72°，既可以看成是由一个花瓣旋转而成的，也可以看成是、、甚至是旋转而成的。旋转角度和次数可以是72°转5次，也可以是144°、216°、288°甚至是360°转4、3、2次，等等。再如，既可以看成是由旋转360°÷8＝45°或135°、225°、315°等，也可以看成是绕着图形中心旋转45°或其倍数若干次形成的。元件不止一种，切勿惯性思维。正多边形、对称中心与对称轴课本86页。长方体围绕两条对称轴交点O旋转180°、360°…与原图形重合。一个平面图形，围绕某一点旋转360°及其倍数都会与原图形重合。像正方形、三角形、正六边形等图形，属于正多边形（各边相等，各角也相等的）。它们围绕着中心点旋转360°÷n及其倍数（n为边数），也会与原图形重合。正n边形有n条对称轴。（参考百度百科“正多边形”）图形的连续运动课本87页，要求说出“七巧板”的各块是如何运动，形成“小鱼”图形的。方法不止一种，锻炼的是表达能力。规范的表达语句：图形X绕点X顺（或逆）时针旋转X°图形X向上（或下、左、右）平移X格此外，还有一些其他表达方式：图形X沿直线X左右翻转（也叫“水平翻转”），相当于旋转180°再上下翻转图形X沿直线X上下翻转（也叫“垂直翻转”），相当于旋转180°再水平翻转不论怎样表达，都要注意图形的起始位置、达到位置以及图形运动时的参照物（平移要看对应点，旋转要看中心点，对称、翻转要看对称轴）数学与艺术课本86页。艺术家们利用几何学中的平移、对称和旋转，设计出了许多美丽的图案。我们可以利用可密铺图形进行改造，设计出其它也可以密铺的不规则图形。可以密铺的常见图形有：平行四边形、梯形、三角形、正六边形、正方形、长方形、菱形。不可以密铺的常见图形有：圆形、正五边形。原理：拆东补西，在有限范围内肯定不能铺满，但在数学理想的无限状态下可以“密铺”。第六单元分数的加法和减法分数加减法与整数、小数加减法的联系例题：EQ\F(3,8)例题：EQ\F(3,8)＋EQ\F(1,8)＝EQ\F(3＋1,8)＝EQ\F(4,8)＝EQ\F(1,2)EQ\F(7,12)＋EQ\F(11,12)＝EQ\F(7＋11,12)＝EQ\F(18,12)＝1EQ\F(6,12)＝1EQ\F(1,2)EQ\F(5,6)＋EQ\F(11,6)＝EQ\F(5＋11,6)＝EQ\F(16,6)＝EQ\F(8,3)＝2EQ\F(2,3)不同点：虽然三者都应当统一计数单位再计算，但表现形式不同：整数与小数是对齐数位再计算，分数是将分数单位化成一致（通分）再计算。同分母分数加、减法例题：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)例题：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)＝EQ\F(30,35)＋EQ\F(21,35)＝EQ\F(51,35)＝1EQ\F(16,35)EQ\F(13,9)－EQ\F(5,6)＝EQ\F(26,18)－EQ\F(15,18)＝EQ\F(11,18)EQ\F(5,8)＋EQ\F(7,12)＝EQ\F(15,24)＋EQ\F(14,24)＝EQ\F(29,24)＝1EQ\F(5,24)异分母分数加、减法异分母分数的分数单位不同，不能直接相加减，必须通分成同分母分数才能直接相加减。异分母分数通分一般以各自分母的最小公倍数为公分母。EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(2,7)）＝EQ\F(5,7)－EQ\F(3,8)＋EQ\F(2,7)＝（EQ\F(5,7)＋EQ\F(2,7)）－EQ\F(3,8)＝1－EQ\F(3,8)＝EQ\F(5,8)例题：3EQ\F(5,7)－（EQ\F(7,8)＋EQ\F(5,7)）＝3EQ\F(5,7)－EQ\F(7,8)－EQ\F(5,7)＝（3EQ\F(5,7)－EQ\F(5,7)）－EQ\F(7,8)＝3－EQ\F(7,8)＝2EQ\F(1,8)分数加减混合运算的顺序与整数、小数加减混合运算的顺序相同，都是先算小括号里的，然后从左往右依次计算。（例题略，请参考“分数加减法混合运算的简便计算”部分）分数加减混合运算的简便计算例题2x＋EQ\F(5,8)＝解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝－例题2x＋EQ\F(5,8)＝解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝－EQ\F(5,8)2x＝32x÷2＝3÷2x＝1EQ\F(1,2)（EQ\F(4,5)＋EQ\F(3,4)）－x＝EQ\F(7,10)解：EQ\F(16,20)＋EQ\F(15,20)－x＝EQ\F(14,20)EQ\F(31,20)－x＋x＝EQ\F(14,20)＋xEQ\F(14,20)＋x－EQ\F(14,20)＝EQ\F(31,20)－EQ\F(14,20)x＝EQ\F(17,20)解分数加减法方程与解整数、小数方程相同，都要运用“等式的性质”，在方程两边同时加上或减去相同的数，最后使未知数X单独出现在方程的左边。（具体请见“五年级下册分数加减法常见题型解析”）打电话“打电话”的最快方案就是要“使时间得到充分利用”。按照这种思路，每个人每次（每分钟）都不闲着，都能通知一个人，因此接到通知的人数应当是随着时间翻倍的。如下表：总时间（第几分钟）新接到通知的人数接到通知的总人数接到通知的学生数01011212243348748161551632316326463…………n2n-12n2n-1其中，因为每个人下一分钟都会打电话给另一个人，因此“新接到通知的人数”等于上一分钟“接到通知的总人数”，而“接到通知的学生数”比“总人数”少1是因为总有一个老师。（详见另文，数学“傻问题”之六——“刻舟求剑”打电话？（五下））第七单元统计复式折线统计图（这部分与四年级“单式折线统计图”类似，所以主要看例题）折线统计图的定义：折线统计图是用一个单位长度表示一定数量，根据数量多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来形成的一种统计图。它以折线的上升或下降来表示所统计数量的增减变化情况。折线统计图的特点：折线统计图既能表示出数量的多少（描点的高低），又能表示出数量的增减变化情况（折线的上升或下降）。折线的变化趋势：上升（或增加）、下降（或减少）。折线统计图的绘制方法（组成部分）：=1\*GB3①原点，即0点=2\*GB3②横纵轴，横轴一般是时间，纵轴一般是数量，要有类型和单位，如“年份/年”，纵轴中若有省略，则省略部分要用折线表示。=3\*GB3③网格线，网格线应当比描点往四周多出约1格（现在考卷中网格一般已经画好了）=4\*GB3④描点，根据数据在网格线上描出相应的数据点来=5\*GB3⑤连线，把相邻的两个数据点用线段连接起来=6\*GB3⑥标注标题，在数据点旁合适的位置写上数据大小，最后补充上标题，检查总的来说有3步，描点，连线，写数据。5、错误示例，请从中找出错误之处，至少10处。实际考题：根据下表画出我国博物馆数量折线统计图，并解答问题。数量/个1218128913711371139414511519年份/年1997199819992000200120022003哪年我国博物馆数量最多？哪年最少？答：2003年博物馆数量最多，1997年最少。折线统计图的特点是怎样的？答：能反映出数量的增减变化情况。我国博物馆数量这几年来的总趋势是怎样的？答：我国博物馆数量这几年来呈逐年上升的趋势。你还能提出两个其它的数学问题吗？答：=1\*GB3①我国2000年和2003年博物馆总数为多少？1371＋1519=2890（个）=2\*GB3②我国1998~1999年增加的博物馆数量比2002~2003年增加的多多少？（1371－1289）（1371－1289）－（1519－1451）=82－68=14（个）6、正确示例，请跟错误示例进行比较，分析、学习可能的错误点在哪！实际考题：根据下表画出我国博物馆数量折线统计图，并解答问题。数量/个1218128913711371139414511519年份/年1997199819992000200120022003改正之处