八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：直角坐标系中的面积问题（强化）（解析版）

专题3.1直角坐标系中的面积问题【例题精讲】如图，平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的面积．【解答】解：如图，作轴于点，轴于点．则，，，，答：四边形的面积是8.5．如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．（1）求，的值及；（2）若点在轴上，且，试求点的坐标．【解答】解：（1），，，，，点，点．又点，，，．（2）设点的坐标为，则，又，，，，即，解得：或，故点的坐标为或．【题组训练】静态面积1．如图，四边形各个顶点的坐标分别是，，，．求这个四边形的面积．【解答】解：分别过点和点作轴和轴的平行线，如图，则，所以．2．如图，写出各顶点的坐标并且求出三角形的面积．【解答】解：如图，，，，．3．如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．（1）建立以点为原点，边所在直线为轴的直角坐标系．写出点、、、的坐标；（2）求出四边形的面积．【解答】解：（1）如图，，，，；（2）四边形的面积．4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【解答】解：（1），，；（2）如图所示：．5．如图，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足方程．（1）求点，的坐标；（2）点为轴负半轴上一点，且的面积为12，求点的坐标；【解答】解：（1）解方程，得到，，．（2），，，，，，点在轴的负半轴上，，．动态面积7．已知：，，（1）求的面积；（2）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．【解答】解：（1）；（2）如图所示：以，为底，符合题意的有、、以，为底，符合题意的有：、．8．如图，已知、、（1）求点到轴的距离；（2）求的面积；（3）点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标．【解答】解：（1），，点到轴的距离为3；（2）、、，点到边的距离为：，的面积为：．（3）设点的坐标为，的面积为6，、，，，或，点的坐标为或．9．如图，，，点在轴上，且．（1）求点的坐标；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点在点的右边时，，点在点的左边时，，所以，的坐标为或；（2）的面积；（3）设点到轴的距离为，则，解得，点在轴正半轴时，，点在轴负半轴时，，综上所述，点的坐标为或．10．已知：如图，的三个顶点位置分别是、、．（1）求的面积是多少？（2）若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标？（3）若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标？【解答】解：（1），，，，点到的距离为3，的面积；（2），以为底时，的高，点在轴正半轴时，；点在轴负半轴时，；（3），以为底时，的高为3，底边，点在的左边时，，即；点在的右边时，，即．11．已知在平面直角坐标系中有三点、、．请回答如下问题：（1）在坐标系内描出点、、的位置；（2）求出以、、三点为顶点的三角形的面积；（3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）描点如图；（2）依题意，得轴，且，；（3）存在；，，点到的距离为4，又点在轴上，点的坐标为或．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒．（1）直接写出点和点的坐标0，、，；（2）当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围；（3）点，连接、，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，故答案为：0、6，8、0；（2）当点在线段上时，由，，可得：，，，；当点在线段上时，点走过的路程．（3）存在两个符合条件的值，当点在线段上时，解得：，当点在线段上时，，解得：，综上所述：当为3秒和5秒时，13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．（1）填空：，；（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；（3）在（2）条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，请求出点的坐标．【解答】解：（1），且，解得：，，故答案为：，3；（2）过点作轴于点，，，，又点在第三象限；（3）当时，，点有两种情况：①当点在轴正半轴上时，设点，，，解得：，点坐标为；②当点在轴负半轴上时，设点，，，，解得：点坐标为，故点的坐标为或．14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．（1）求，的值；（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；（3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），满足，，，解得，．故的值是2，的值是3；（2）过点作轴于点．四边形面积；（3）当时，四边形的面积．，①当在轴负半轴上时，设，则，解得；②当在轴负半轴上时，设，则，解得．或．15．已知点、，且．（1）求、的值．（2）在轴的正半轴上找一点，使得三角形的面积是15，求出点的坐标．（3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，；（2）如图1，、，，三角形的面积是15，，，；（3）存在，如图2，三角形的面积是15，，，，或．16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，其中，满足关系式，．（1）求、、三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点，使得面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在第四象限内有一点，请用含的代数式表示四边形的面积．【解答】解：（1）根据题意得，，，解得，，，点，，；（2），点在轴上时，，解得，点的坐标为或，点在轴时，，解得，点的坐标为或，综上所述，点的坐标为或或或；（3），，，．17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式，（1）求、、的值．（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知，可得：，，；（2），，；（3）因为，，则，所以存在点使．18．如图在直角坐标系中，已知，，，三点，若，，满足关系式：．（1）求，，的值．（2）求