八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：将军饮马最值问题（强化）（解析版）

专题3.2将军饮马最值问题【例题精讲】如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出关于直线的对称图形；（2）求的面积；（3）在直线上取一点，使得最小（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，即为所求．（2）．的面积为7．（3）如图，点即为所求．【题组训练】1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）在图中画出绕原点逆时针旋转后的△；（2）请画出关于原点对称的△；（3）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并写出点的坐标为．【解答】解：（1）如图，△为所作；（2）如图，△为所作；（3）如图，为所作，点坐标为．2．在网格中的位置如图所示．（1）请画出绕着点逆时针旋转后得到的△；（2）若网格中每一个小正方形的边长为1，请求出的面积；（3）在上找一点，使最小（不写法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，△为所作；（2）的面积；（3）如图，点为所作．3．如图所示．（1）作出关于轴对称的图形△；（2）在轴上确定一点，使得最小；（3）求出的面积．【解答】解：（1）如图，△即为所求．（2）如图，点即为所求．（3）．的面积为．4．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图．（1）作出关于直线的对称图形；（2）在网格中建立直角坐标系，使点坐标为；（3）在直线上取一点，使得最小．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；（2）如图所示；（3）如图所示，连接，交于点，则点即为所求．5．如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）在图中作出关于轴的对称图形△；（2）求的面积；（3）若在轴上存在点，使最小，求的最小值和点的坐标．【解答】解：（1）△即为所求．（2）．（3）连接，与轴交于点，则此时最小，最小值即为的长，，的最小值为．设直线的解析式为，代入点，，得，解得，直线的解析式为，令，得，点的坐标为，．6．如图，已知的三个顶点在格点上．（1）作出与关于轴对称的图形△；（2）直接写出点关于轴对称的坐标：；（3）在轴上找一点，使得周长最小．请在图中标出点的位置．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，（2）如图所示：，故答案为：；（3）如图所示：点为所求，7．在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：，都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．（1）画出线段关于轴对称的线段；（2）在轴上找一点，使最小；（3）连接，，画出关于轴对称的△．【解答】解：（1）如图，线段即为所求；（2）如图，点即为所求；（3）如图所示，△即为所求．8．如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）作出关于轴的对称图形△，并标出点，，；（2）写出下列点坐标：，4，，；（3）点是轴上一动点，当点的坐标是时，的和最小．【解答】解：（1）如图，△为所作；（2），，，故答案为：，4，，2，，1；（3）连接交轴于，，，直线的解析式为，令，则，点的坐标是，故答案为：．9．如图，在正方形网格上有一个（三个顶点均在格点上）．（1）作关于直线的轴对称图形△（不写作法）；（2）画出中边上的高；（3）在上画出点，使最小．【解答】解：（1）如图．（2）如图．（3）如图．10．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）的面积是．（2）请画出绕点顺时针旋转后的△．（3）已知点为轴上一点，当取得最小值时，的值是．【解答】解：（1）的面积为．（2）如图，△即为所求．（3）如图，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为所求的点．，，设直线的解析式为，将点，代入，得，解得，直线的解析式为，令，得，点的坐标为，．故答案为：2．11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标分别为，，．（1）以原点为对称中心画出与成中心对称的图形，其中，，的对应点分别为，，，写出点，的坐标；（2）在（1）的条件下，点在轴上，连接、，当取得最小值时，求此时点的坐标．【解答】解：（1）如图，△为所作，点的坐标，点的坐标；（2）作点关于轴的对称点，如图，则点的坐标为，，此时的值最小值，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，当时，，解得，此时点坐标为，．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．（1）将线段绕点逆时针旋转90”，画出旋转后所得的线段，并直接写出点的坐标为；（2）在轴上找出一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为．【解答】解：（1）如图，线段即为所求，．故答案为：．（2）如图，点即为所求．设直线的解析式为，，，，解得，直线的解析式为，令，得到，，．故答案为：，．13．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△；（2）求△的面积；（3）在上画出点，使最小．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图．（2）．△的面积为．（3）如图．14．如图，三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出关于原点对称的△；并写出点，，的坐