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文档简介
§7.6泰勒公式与泰勒级数一、泰勒公式二、泰勒级数一、泰勒公式用微分作近似计算的不足在函数的微分一节中我们有
f(x)
f(x0)
f
(x0)(x
x0)
o(x
x0)(当|x
x0|很小时)
略掉o(x
x0)
我们有求f(x)的近似公式
f(x)
f(x0)
f
(x0)(x
x0)(当|x
x0|很小时)
其误差为
R(x)
f(x)
f(x0)
f
(x0)(x
x0)需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.设想与分析我们希望找出一个关于(x
x0)的n次多项式
Pn(x)
a0
a1(x
x0)
a2(x
x0)2
an
(x
x0)n来近似表达f(x).关键：确定n次多项式系数2若有相同的切线3若弯曲方向相同近似程度越来越好
1若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn
(x0)=f
(x0)Pn
(x0)=f
(x0)
y=f(x)假设
Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn
(x)xoyx0Pn(x)
a0
a1(x
x0)
a2(x
x0)2
an
(x
x0)nf
(n)(x0)
Pn(n)(x0)
n!an
f
(x0)
Pn
(x0)
3!a3
f
(x0)
Pn
(x0)
2!a2
f
(x0)
Pn
(x0)
a1
f(x0)
Pn(x0)
a0
提示
Pn
(x)
a1
2a2(x
x0)
nan(x
x0)n
1Pn
(x)
2a2
3
2a3(x
x0)
n(n
1)an
(x
x0)n
2
Pn
(x)
3!a3
4
3
2a4(x
x0)
n(n
1)(n
2)an
(x
x0)n
3
Pn(n)(x)
n!an
于是Pn(x)
a0
a1(x
x0)
a2(x
x0)2
an
(x
x0)nf
(n)(x0)
Pn(n)(x0)
n!an
f
(x0)
Pn
(x0)
3!a3
f
(x0)
Pn
(x0)
2!a2
f
(x0)
Pn
(x0)
a1
f(x0)
Pn(x0)
a0
于是
f(x)
则
f(x)
则误差f
(n)(x0)
Pn(n)(x0)
n!an
f
(x0)
Pn
(x0)
3!a3
f
(x0)
Pn
(x0)
2!a2
f
(x0)
Pn
(x0)
a1
f(x0)
Pn(x0)
a0
于是猜想：
f(x)Pn
(x)其误差为Rn
(x)
f(x)
Pn
(x)
f(x)
猜想：
f(x)Pn
(x)其误差为Rn
(x)
f(x)
Pn
(x)
f(x)
则
f(x)=+Rn
(x)定理7
14(泰勒中值定理)
如果函数f(x)在含有x0的区间(a
b)内有一阶直到(n
1)阶的连续导数
则当x
(a
b)时
f(x)可以表示为
上述等式称为f(x)按(x
x0)的幂展开的n阶泰勒公式
而Rn(x)的表达式称为拉格朗日(Lagrange)型余项
泰勒系数k=0,1,2,
···,n是唯一的.定理7
14(泰勒中值定理)
当x0
0时的泰勒公式称为麦克劳林公式
就是
如果函数f(x)在含有x0的区间(a
b)内有一阶直到(n
1)阶的连续导数
则当x
(a
b)时
f(x)可以表示为解例1
求f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式.因为f(n)(x)=ex,n=1,2,3,
所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,
于是
f(x)=ex在x=0的n阶泰勒公式为:其中二、泰勒级数
如果f(x)在区间(a,b)内各阶导数都存在
则对于任意的正整数n
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