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文档简介
§6.4微积分基本定理
上述结果对你有什么启发？
设有一物体在一直线上运动
时刻t时物体所在位置为s(t)
速度为v(t)
s
(t)
则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程??变上限积分
设函数f(x)在区间[a,b]上连续
x为区间[a,b]上的任意一点
定理6
1(变上限积分的导数)——微积分基本定理
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
则变上限积分在[a,b]上可导，且导数为被积函数在上限x处的值
即即函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分是区间[a,b]上的函数.abxyo定理6
1
简要证明
给x以改变量
x
则应用积分中值定理
有
p
f(
)
x
其中
在x与x
x之间
x
0时
x
于是定理6
2(原函数存在定理)
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
则函数是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数
定理的重要意义
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的（2）初步揭示了定积分与原函数之间的联系
情况1：情况1：情况2：情况1：情况2：情况3：例4.例5.
f
(x)
x
1
f
(x)
1
令f
(x)
0
得x
1
因为f
(1)
0
所以f(1)为极小值
极小值为例6.定理6
3(牛顿-莱布尼茨公式)——微积分基本公式
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
且F(x)是f(x)的一个原函数
则注
定理6
3(莱布尼茨公式)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
且F(x)是f(x)的一个原函数
则所以它们相差一个常数C
即有一常数C
使
F(x)
p(x)
C(a
x
b)
当x
b时
当x
a时
所以C
F(a)
而p(a)
0
有F(a)
p(a)
C
即所以p(b)
F(b)
F(a)
F(b)
p(b)
F(a)
定理6
3(牛顿-莱布尼茨公式)——微积分基本公式
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
且F(x)是f(x)的一个原函数
则例7.例8.定理6
3(莱布尼茨公式)
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续
且F(x)是f(x)的一个原函数
则例10.例9.例11.
解
若k
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