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文档简介

§6.4微积分基本定理

上述结果对你有什么启发？

设有一物体在一直线上运动

时刻t时物体所在位置为s(t)

速度为v(t)

s

(t)

则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程??变上限积分

设函数f(x)在区间[a,b]上连续

x为区间[a,b]上的任意一点

定理6

1(变上限积分的导数)——微积分基本定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

则变上限积分在[a,b]上可导，且导数为被积函数在上限x处的值

即即函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分是区间[a,b]上的函数.abxyo定理6

1

简要证明

给x以改变量

x

则应用积分中值定理

有

p

f(

)

x

其中

在x与x

x之间

x

0时

x

于是定理6

2(原函数存在定理)

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

则函数是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数

定理的重要意义

（1）肯定了连续函数的原函数是存在的（2）初步揭示了定积分与原函数之间的联系

情况1：情况1：情况2：情况1：情况2：情况3：例4.例5.

f

(x)

x

1

f

(x)

1

令f

(x)

0

得x

1

因为f

(1)

0

所以f(1)为极小值

极小值为例6.定理6

3(牛顿-莱布尼茨公式)——微积分基本公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

且F(x)是f(x)的一个原函数

则注

定理6

3(莱布尼茨公式)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

且F(x)是f(x)的一个原函数

则所以它们相差一个常数C

即有一常数C

使

F(x)

p(x)

C(a

x

b)

当x

b时

当x

a时

所以C

F(a)

而p(a)

0

有F(a)

p(a)

C

即所以p(b)

F(b)

F(a)

F(b)

p(b)

F(a)

定理6

3(牛顿-莱布尼茨公式)——微积分基本公式

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

且F(x)是f(x)的一个原函数

则例7.例8.定理6

3(莱布尼茨公式)

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续

且F(x)是f(x)的一个原函数

则例10.例9.例11.

解

若k

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