山西省吕梁市交城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案解析】

2023—2024学年第一学期期中质量监测试题九年级数学一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是中心对称图形又是是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先求出的值，再判断出其符号即可，熟知一元二次方程的根的判别式的意义是解题的关键．【详解】解：∵，∴一元二次方程没有实数根，故选：．3.如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若，，则此抛物线的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了根据实际问题列二次函数解析式，直接根据题意得出点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案，正确得出点坐标是解题关键．【详解】解：∵，，∴，设抛物线解析式为：，则，解得：，∴抛物线的表达式为：，故选：．4.在足球联赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共进行了20场比赛，请问共有多少支足球队参加了足球联赛？（）A.10 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分析出每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有个足球队，比赛场次共有场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．【详解】解：设有个足球队参加，依题意，，整理，得，，解得：，（舍去）；即：共有5个足球队参加比赛．故选：C．5.已知是抛物线上的一点，点与点关于对称轴对称，则点的坐标为()A. B. C. D.，【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴为直线，进而根据轴对称的性质，可得答案．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴点与点关于对称轴对称，∴，故选：C．6.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先根据抛物线的顶点坐标根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解题的关键是熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】解：抛物线的顶点坐标为，∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后的抛物线为，即，∴平移后的抛物线的顶点坐标为：．故选：D．7.如图，是的直径，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理的应用，由圆周角定理可以求得的度数，再由是的直径可得是直角三角形，再由直角三角形的性质即可得到的度数，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题的关键．【详解】解：由圆周角定理可得：，∵是的直径，∴∴，∴，故选．8.某工厂生产一种产品，第一季度生产了万件，由于市场供不应求，该工厂加大了产量，此后两个季度产量逐季度增加，前三个季度共生产万件．已知第二季度和第三季度的增长率相同．设第二季度和第三季度的增长率为，则可列正确的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，等量关系为：1月份利润1月份的利润(1+增长率)1月份的利润，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设2，3月份的月增长率是，依题意有，故选：．9.如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键．【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，，，四边形是平行四边形，，，，故选：C．10.如图，是直角三角形，，以为直径作，交于点D，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查求不规则图形的面积，掌握分割法求面积，是解题的关键．连接，圆周角定理得到，，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出半径，以及的长，利用三角形的面积减去三角形的面积再减去扇性的面积，即可得出结果．详解】解：连接，则：，∵为直径，，∴，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的中线∴，∵，，∴阴影部分的面积为；故选B．二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.把二次函数化为顶点式为___________________.【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解．【详解】解：故答案是：12.如图，在平面直角坐标系中，将绕着原点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，抓住旋转的性质是解题的关键．【详解】解：如图，绕着原点逆时针旋转得到，∵，是绕着原点逆时针旋转后的对应点，∴，故答案为：．13.如图，是的直径，弦于点E，，则的长为________．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，设圆半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设圆的半径为r，则，∵，，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴的长为，故答案为：5．14.已知点A，B，C三点在抛物线上，则，，的大小关系是为__________________________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线，开口向上，，∴点A和点C到对称轴距离相等，点B到对称轴距离最近，．故答案为：．15.我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．【答案】或或【解析】【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．【详解】解：将关联数为代入函数得到：，∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），∴y=0，即，因式分解得，又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，即∴m=1，∴，与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，即坐标为或，与y轴交点即x=0解得y=2，即坐标为，∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；故答案为：或或．【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.按要求解下列方程：（1）（公式法）（2）（因式分解法）【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，（1）利用公式法，即可解答，（2）提取公因式，即可解答，解题的关键是熟练掌握各种解一元二次方程的方法技巧．【小问1详解】解：，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根∴，；【小问2详解】解：，，，可得或，．17.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该一元二次方程总有实数根；（2）若该方程的两个根为，并且，试求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）把方程整理成一元二次方程的一般形式，求出根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的内容是解题的关键；（2）根据根与系数关系得到，，再代入变形后的已知条件，进行解方程即可得到答案.熟练掌握根与系数关系和正确变形是解题的关键．【小问1详解】证明：，整理得：，∵，∴，∴该一元二次方程总有实数根【小问2详解】由题意可得：，，∵∴，∴，∴，解得：18.为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为，长为的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路,余下的部分种上草坪（阴影部分）,并使草坪的面积为．现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）【答案】道路的宽为1米或道路的宽为2米或道路的宽为米．【解析】【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，利用平移把道路进行平移，再根据草地的面积公式列出一元二次方程即可求解，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程进行求解．【详解】解：选择方案一设道路的宽为米，根据题意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去），答：道路的宽为1米；选择方案二设道路的宽为米，根据题意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去），答：道路的宽为2米；选择方案三设道路的宽为米，根据题意可列方程：，整理得：，解得：，（舍去）；答：道路的宽为米．19.一次函数的图象与二次函数的图象交于点，.（1）确定二次函数表达式；（2）请在如图所示的网格中画出二次函数的图象；（3）根据函数的图象直接写出不等式的解集.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）将点坐标代入二次函数解析式，求解出，即可求出解析式；（2）先确定顶点、与坐标轴的交点，再描点作图即可；（3）不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据图象以及交点的横坐标，可以直接求解．【小问1详解】解：把，代入中，得：解得：∴抛物线的解析式为【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：根据图像得，不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据交点坐标可得对应解集为：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答的关键．20.如图，是的直径，点C，D是同侧圆上两点，，与交于点E，延长到F使，连接（1）求证：；（2）若平分，求证：为的切线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，及公共边证，得，进而得．（2）由及直径所对的圆周角为直角，证BD是EF的垂直平分线，进而得，，再由平分进而证明即可．【小问1详解】证明：是的直径，，在和中，，，，；【小问2详解】，，，是的垂直平分线，，，平分，，，，，，，，，是的切线．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形全等，线段垂直平分线，等腰三角形的判定定理与性质定理．21.某超市经销一种鱼，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：销售单价（元/千克）55606570销售量（千克）70605040（1）求（千克）与（元/千克）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当销售单价定为60元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【小问1详解】解：设与之间的函数表达式为，由题意得，解得：．与之间的函数表达式为．【小问2详解】解：设当天的销售利润为元，由题意得，，当时，．答：当销售单价定为60元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数在实际问题中的应用，掌握解法是解题的关键．22.综合与实践【问题情境】如图1，有两张等腰三角形纸片和，其中，，，绕着顺时针旋转，旋转角为（），点为的中点．【特例感知】（1）如图，当时，和的数量关系是______________；（2）如图，当时，连接，，请判断和的数量关系，并说明理由；【深入探究】（3）如图，当为任意锐角时，连接，，则（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由见解析．【解析】【分析】（1）利用等腰三角形两腰相等和为中点，得到，，，则可推出两线段的数量关系；（2）利用已知条件求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，再证明，即可得到；（3）添加辅助线，延长至点，使得，证明，则，最后根据三角形中位线定理即可得到．【小问1详解】∵，，∴，又∵点为的中点，∴，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】，理由如下：∵，∴，∵，∴，在和中∴，∴，在中，∵为的中点，∴，∴；【小问3详解】成立，理由，证明：如图，延长到，使得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵是的中点，，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，以及旋转，直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半和中位线定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．23.如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线与抛物线交于点.（1）请确定直线的解析式；（2